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et applique ces résultats à l'étude de la harpe éolienne. On trouve d'autre part à la fin du troisième fascicule du Bulletin de l'Institut Aérodynamique de Koutchino (1909) un article de D. RiaBoucriNskY sur les « Spectres aérodynamiques » avec toute une série de photographies, sur beaucoup desquelles on distingue de tourbillons alternés dans le sillage. Je signale encore une publicalion de G. von dem BorKE sur les tourbillons alternés dans Pair (1).

10. Je n'ai mentionné jusqu'à présent que les travaux (expérimentaux) relatifs à la production et à l'observation des tourbillons alternés et encore les plus importants seulement. Mais il est facile à concevoir que la présence de ces tourbillons dans le sillage peut réagir sur la cause même qui les crée, en particulier sur l'obstacle lui-même. Les phénomènes qui résultent de cette réaction sont principalement :

1° l’entrelien de la vibration transversale des obstacles, placés dans un courant fluide ;

2° « l’autorotation » des disques-secteurs aulour d’un axe parallèle (ou à peu près parallèle) à l’écoulement.

L’explication théorique de l'entretien de la vibration des obstacles nous entraînerail dans le problème de la naissance des tourbillons, problème auquel certains physiciens ont apporté des contributions qualitatives, telles que la théorie de « l’enroulement de la couche limite »; mais nos connaissances théoriques actuelles sont insuffisantes pour aborder ce problème dans toute sa rigueur. Voyons pourtant ce qui se passe en grandes lignes. Imaginons un obstacle cylindrique, dont le plan médian de symétrie coïncide avec la direction de l'écoulement à l’amont. Si le nombre de Reynolds est inférieur au critérium, on prévoit que par suite de raisons de symétrie, la composante transversale de la pression totale éprouvée par l’obstacle, sera nulle. Mais il n’en sera pas de même dans le régime à tourbillons alternés. Le détachement régulier périodique de ces derniers, déterminera un écoulement non-permanent autour de l'obstacle, tel que si à un moment donné la composante transversale est différente de zéro, ce qui est probable, cette composante, dile portance, sera une fonction périodique du temps, de même période que celle du détachement des tourbillons. Il en sera probablement de même pour la variation de la composante longitudinale ou traînée.

Ainsi, une fois le régime des tourbillons alternés établi, l’obstacle sera sollicité par une force de portance alternativement positive et négative, de sorte que si ce dernier peut vibrer, cette vibration pourra être entretenue et aura une intensité d'autant plus grande, que la période de détachement des tourbillons sera plus voisine de la période vibratoire propre de l'obstacle.

L'application de la loi de similitude à ces vibrations ou « sons de bâton », date de SrouHAL (2) à qui l’on doit l'introduction du paramètre sans

dimensions ST, dont il était déjà question ici. La relation R—/(S) dont

(1) Zeitschrift für Flugtechnik, t. 3, 1912, p. 30. (2) Wiedemann'sche Annalen, t. 5, 1878, p. 216.

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j'avais également l’occasion de parler, est due à lord RayrEiGn (1), toutefois sans qu'il en ait donné l'explication hydrodynamique.

Ce n’est que plus tard, en 1914, à la suite des travaux de H. BÉNARD, que les acousticiens allemands, principalement F. KRUGER (?), À. LAUTH ($) et E. ScaMipTkE (#) et les physiciens anglais, comme lord RayLeIGH (5), EF. Rezr (f) et E.G. RicHarpsoN (‘) font intervenir les tourbillons alternés pour expliquer la vibration transversale des cordes, exposées dans un courant d'air. Effectivement, tout un ensemble de chapitres de l’acoustique se trouve ainsi interprété par ces travaux, comme la production des sons de bâton, les sons de biseau, sons de jet, etc. À ces travaux, tous expérimentaux et d’un très grand intérêt, il faut ajouter l'étude des tourbillons à l'embouchure des tuyaux d'orgue, faite par l’abbé Z. CARRIÈRE (8) et les recherches récentes de P. Dupin et M. Teissié-SouiEr (°) sur la vibration des obstacles dans un courant d’eau, effectuées au Laboratoire de Ch. CaAmMIcHEL. Pour avoir plus de détails sur ce sujet, je peux recommander la lecture de l’Acoustique de À. Focx (Ed. A. Colin), Chapitre XVII le Sound de E.G. RicHArpsoN (Londres 1927), Chapitre VI, ainsi que le Tome VIII du Handbuch der Physik (Berlin 1927), Chapitre V.

41. C’est dans cette catégorie de phénomènes qu’il faut ranger l'étude de D. RrasoucxiNsKkY (10) sur l’entrelien de loscillation d’un pendule, placé dans un courant d'air. Le plan d’oscillation de celui-ci étant perpendiculaire à la direction de l'air qui le frappe, ce pendule parfaitement symétrique se met à osciller tout seul.

L'autorotation, découverte en 1912 par le même auteur, a aussi quelque parenté avec les tourbillons alternés, quoique sa théorie est encore insuffisamment développée pour pouvoir l’affirmer en toute certitude.

D. RIABOUCHINSKY a remarqué (!!) que si un secteur de cercle tel que celui de la figure 3 est placé dans un courant d'air, avec son axe de rotation parallèle à l'écoulement, ce secteur une fois lancé avec une vitesse suffisante, continue sa rotalion avec une vilesse proportionnelle à celle du courant d’air. Le cadre de ce travail ne me permel pas d’insister davantage. Pour plus de détails, je renvoie à l’article cité de D. RraBoucaiNsKY ainsi qu'à l’Introduction à la Mécanique des Fluides de A. Focx (Coll. A. Colin), Chapitre XII, où une théorie élémentaire de ce phénomène se trouve esquissée.

12. Nous avons vu, au début de ce Chapitre, que les tourbillons alternés naissent par le déplacement d’un corps solide dans un liquide. Plus précisémenl, si on crée aux flancs de l'obstacle une couche à forts gradients de vitesse,

(4) Theory of Sound, London, 1896, t. 2, p. 413.

(2,3 et4) F. KRuGER-A. LauTu, Annalen der Physik, t. 44, 1914, p. 801; F. KRUGER, t, 60, 1919, p.279 ; F. KRUGER- SCHMIDTKEF, t. 60, 1919, p. 701; KRUGER, t. 62, 1920, p. 673.

(5) Philosophical Magazine, t. 29, 1915, p. 433. (6) Philosophical Magazine, t, 42, 1921, p. 173 et t. 49, 1925, p. 509. (7) Proceedings of the London Physical Society, t. 36, 1924, p. 153. (8) Journal de Physique, 6° série, &. 6, 1925, p. 52, et t. 7, 1926, p. 7. (9) Loc. cit.

(0) L’Aérophile, t. 9, 1911, p. 15.

(i) Bulletin de l'Inst. Aérodyn. de Koutchino, t. 1, 1912, p. 18.

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les forces de viscosité peuvent déterminer sa dislocation et alors on constate l'apparition de lourbillons individuels. Qu'on appelle ce processus + l'enroulement de la matière de la couche limite » ou autrement, l'essentiel ne change pas. Une fois ces tourbillons formés el libérés de l'obstacle, ils se groupent suivant la seule configuration de BÉNARD-KARMAN. Que le mécanisme de la formalion des tourbillons est bien ceci, c’est-à-dire la décomposition en tourbillons distincts d’une ligne de discontinuité, ou ligne de jet, c’est très probable. C’est ce qui explique entre autres, le mécanisme de la production des sons de jet, dont il était question tout à l'heure, où la présence de

l'obstacle n'était nullement indispensable.

À la suite de ce fait fondamental qu'on peut produire des tourbillons alternés sans avoir besoin d’un obstacle, nous nous sommes posé la question, M. Lunrz et moi, si les tourbillons alternés s’obtiennent vraiment à partir d'une ligne de jet de forme quelconque. Nos expériences nous ont confirmé qu'il en était bien ainsi; nous avons montré (1!) qu'une ligne de jet circulaire, concentrique à un cylindre en rotation rapide, peut se décomposer en un ensemble de tourbillons distincts. Une fois cette décomposition obtenue, les tourbillons se groupent suivant une configuration stable, formée par un ensemble positif et négatif de tourbillons, répartis sur deux cercles concentriques. Cette configuration a des analogies frappantes avec la rue rectiligre de tourbillons de Bénard-Karman. Ces tourbillons apparaissent pour une valeur suffisamment grande de la vitesse de rotation du cylindre; ils sont toujours en nombre pair 2n, avec n tourbillons sur chaque cercle. Suivant la grandeur croissante de la vitesse, on peut avoir n=— 1, 2, 3, 4, etc. respectivement. D'autre part, dans les limites de la vitesse angulaire, correspondant à une valeur déterminée de n, le mouvement de révolution de cet ensemble (ou mouvement de précession) est d’abord positif, puis négatif, suivant la vitesse angulaire croissante du cylindre. Dans le cas de la figure 4, on a n=3.

Fig. 3

Ce résultat frappant, tout en ayant beaucoup d’analogies avec la configuration rectiligne, montre aussi des divergences profondes, qui n'ont pas encore été expliquées théoriquement. La partie expérimentale de cette étude a été publiée par M. LunrTz et moi, in exlenso, dans les « Publications Scientifiques du Ministère de l'Air n° 71 et fera l’objet d'une publication purement mathémalique de moi seul qui paraîtra prochainement.

43. Enfin, les tourbillons alternés sont liés à un problème capital de l'hydrodynamique : la détermination de la résistance à l'avancement, éprouvée par un solide.

Dans un milieu visqueux, ce problème n'est résolu que dans quelques cas très particuliers, tels que la sphère et l’ellipsoide (?) et encore en limitant les

(1) M. Luxrz et P. Scuwarz, Comptes rendus. t. 198, 1934, p. 638. (2) Voir H. LamB, Hydrodynamics, Cambridge 1924, p. 569-573.