LS HOUES

vitesses ainsi que leurs dérivées premières à des valeurs suffisamment faibles, pour que l’abstraction de leur carré conduise à une approximalion acceptable.

Lorsqu'on suppose que le fluide est parfait et les vitesses assez faibles, pour ne pas avoir de tourbillons, on sait que la théorie classique de la résistance conduit au paradoxe de d'ALEMBERT (!), suivant lequel cette résistance serait nulle. Pour léviter, les hydrodynamiciens, principalement KiRCHOFF, HELMOLTZ, Levi-Civira, M. BrizLouIN, H. ViLLaT et d’autres, ont supposé l'existence d’une zone d’eau morte derrière l'obstacle, s'étendant jusqu'à linfini et limitée par des lignes de glissement. Cette hypothèse a permis d'éviter le paradoxe de d'ALEMBERT. Toutefois, les valeurs ainsi déduites de la résistance, sont un peu

A > +, RS De eN / AN ie X / 7 \ \ (l / \ \ | | \ !

| è C l ç \ l \ . / ; / LR Ave NN Re à à 7 NS ae Fig, 4

faibles par rapport à celles, auxquelles on arrive expérimentalement. On peut consulter à ce sujet l’excellent petit livre de H. ViLLAT: Aperçus théoriques sur la Résistance des Fluides (Coll. Scientia n° 38). D'un autre côté, l'étude des tourbillons alternés a donné l’idée à Th. von Karman et H. RuBacx (?) d’appliquer les principes fondamentaux de la mécanique pour calculer la résistance à l’avancement éprouvée par un obstacle. Je n’entrerai pas les détails de ces calculs, exposés dans le Chapitre V des Leçons sur la théorie des Tourbillons de H. ViLLar (Paris, 1930). J’indique simplement le résultat, que si on appelle + T'et — I les intensités des tourbillons sur les deux files, p la densité du liquide, indéfini dans tous les sens et T la période de détachement des tourbillons, l’obstacle (supposé sans circulalion) aura une {fraînée moyenne égale à :

Ih EP [rh rh r © (g W ne ve + [Fr Ch I —1|.

Dans cette expression À, ! et T se déterminent expérimentalement. La détermination de la résistance est donc ramenée par cette formule à une étude de cinématique pure.

(1) Voir par exemple H. VizLar, Mécanique des Fluides, Paris 1930, p. 54. (2) Loc. cit.

La méthode de Th. von KarMax a été étendue par M. J.L. SYNGE ({) au cas d’une double file de tourbillons, indéfinie d’un seul côté seulement (vers l’avai de l’obstacle). Cet auteur retrouve exactement la formule de KARMAN pour la traînée el indique en même temps la valeur de la poussée, égale à :

P = — b VC,

V élant la vilesse de l’obstacie, rapportée au liquide à l'infini et C la circulation autour de l'obstacle. Cette formule exprime le résultat connu sous le nom de théorème de Joukowski.

D’après les mesures faites par KarMAN et RuBacx, les valeurs ainsi trouvées de W el P sont en bon accord avec les résultats expérimentaux, obtenus avec des obstacles à section circulaire. Une autre généralisation de la théorie de la résistance de KaArMAN concerne un fluide limité. Cette généralisation est l’œuvre de L. RosENHEAD (©) et H. VILLAT (3), travaux que je me borne à indiquer sans entrer dans les détails.

14. Ici encore, comme dans la théorie de Karman relative à un fluide illimité, la formule de la résistance nécessite en principe l'évaluation de À, let T. En réalité, on n'a qu'à déterminer une seule des deux premières quantités, à cause d’une relation que l’on peut avoir entre elles par un autre procédé. En effet, si l’on suppose que les tourbillons subissent {ous des petites perturbations autour de leur position d'équilibre, on constate qu'en général ils ont la tendance à s’en écarter indéfiniment. On trouve ainsi que la configuration symétrique (fig. 2) est {oujours instable, tandis que celle de BÉNARD-KARMAN pourra être exceptionnellement stable si les quantités À et ! satisfont à la relation, dite critérium de

stabilité :

Ch e — 2,

OIL R|l— 0,2805.

La détermination de ce crilérium, qui constitue le problème de la stabilité, a été résolue pour la première fois, par KarMAN et RuBAcH (#) dont le résultat:

Che — 3,

OU

hil — 0,3648,

obtenu à partir de la perturbation d'un tourbillon unique a été jugé insuffisant et retouché par H. Lamg (5) en se plaçant sur le point de vue beaucoup plus

(1) Proceedings of the Royal Irish Academy, t. 37, 1927, p. 95.

(2) Philosophical Transactions of the Royal Society, t. 288, 1929, p. 275. (3) Annales de l'École Normale Supérieure, 3° série, t. 46, 1929, p. 259. (4) Loc. cit.

(5) Hydrodynamics, Cambridge 1924. p. 208-212.

naturel d’une perturbation, affectant {ous les tourbillons du système (1). Récemment, G. DuRAND (2) a fait voir par l'application d'une perturbation encore plus générale, que celle configuration alternée, trouvée stable par la méthode de H. Lame ne l’est en réalité, que pour un genre délerminé de perturbalion; de sorte qu’en définitif le problème de la stabilité reste posé dans toute son ampleur. Je remarque d’ailleurs que les valeurs expérimentales de H. BÉNAR»D, relalives au rapport A/l sont en général supérieures à celles du critérium de H. Lamg ().

Dans un mémoire que j'ai cité, à propos du problème de la résistance, L. RoseNHEAD a déterminé le critérium de stabilité relatif à une double file alternée. placée au milieu d’un canal rectiligne. Voici le résultat obtenu (#) :

Appelant w, la largeur du canal.

1° w, étant indéfini, le système est stable si h/1— 0,281;

20 si w, décroît, le rapport A/l décroît lentement, jusqu'à une valeur critique donnée par /[— 0,815 w,, pour laquelle on trouve À — 0,256 7 — 0,208 w; ;

l . — « 30 à. partir de w, < QgIS> lOUS avons un intervalle fini de valeurs h/l, à l’intérieur duquel le système est stable; l à 4 enfin, si LL 719 » le système est toujours stable, pour toute valeur possible de A/l.

Quant à la double rangée symétrique, elle est toujours instable, comme si le fluide était indéfini dans tous les sens.

Je remarque que l'étude de ROSENHEAD est basée sur des perturbations de même nature que celles envisagées par H. LamB. Et il me semble alors que si l’on appliquait la généralisation indiquée par G. DurAND, on trouverait que non seulement la double file symétrique, mais même la rue alternée est instable, sauf peut-être dans un canal tellement étroit que l'effet stabilisateur des parois compenserait la tendance à l'instabilité, accrue par le mode de perturbation plus général.

La théorie de L. ROSENHEAD a été soumise au contrôle expérimental par ce physicien, en collaboration avec M. ScHWaBE (°). Le rapport A/l a été trouvé égal à 0,32 en général pour vw, > 3h, sauf dans un canal étroit par rapport à het T (el par conséquent par rapport au diamètre de l'obstacle) quand les auteurs trouvent pour A/l la valeur 0,45.

15. Ce chapitre, succinect et forcément incomplet dans les références, a fait ressortir l'importance des tourbillons alternés dans l’hydrodynamique. Dans

(4) Voir encore H. VizLAT, Théorie des Tourbillons, Paris 1930, chap. IV.

@) G. Duranp : Sur les petits mouvements d’un système infini de tourbillons autour d'une position d’équilibre, Publications scientifiques du Ministère de l'Air, n° 35.

G@) Voir page 5.

. (4) J'ai modifié les notations de RosENHEAD pour qu’elles soient conformes aux miennes, voir chap. Vet a suite.

(5) Proceedings of the Royal Society, série A, t. 129, 1930, p. 115.

l’état actuel de nos connaissances, l'importance attribuée à ces tourbillons se justifie par leur rôle dans :

1° la théorie des sillages, où ils interviennent comme un phénomène

intermédiaire entre le mouvement laminaire et le mouvement complètement turbulent ;

29 Ia théorie de la résistance à l’avancement d’un obstacle, dans un fluide indéfini ou limité par certaines parois fixes ; 3° l’acoustique, donnant lexplication des sons de bâton, sons de bisau,

sons de fente, elc.;

4° la résolution en tourbillons distincts des jets fluides, phénomène mis en évidence par les acousticiens et appliqué récemment par M. LUNTrz et moi aux tourbillons autour d’un cylindre tournant.