CHAPITRE Il

La MÉTHODE OPTIQUE de H. BÉNARD et ses PERFECTIONNEMENTS POSSIBLES

4. On sait que dans l'étude du mouvement d’un gaz, les physiciens emploient très souvent un procédé optique pour déterminer la répartition des vitesses. Et si les vitesses de l'écoulement sont comparables ou supérieures à la célérité du son, l'application d’une méthode d'enregistrement optique devient même indispensable. Ceci résulte — dans l’état actuel de nos moyens techniques — de l'impossibilité de photographier les trajectoires par l’incorporation de petites particules solides (1), ou de la perturbation grave que lintroduclion d’un instrument de mesure, tel qu’un tube de Pitot, exercerait sur la nature même du mouvement.

D'habitude, on considère un écoulement comme déterminé, lorsqu'on connaît la répartition des composantes de la vitesse ou au moins la forme des trajectoires décrites par ses particules; ceci conformément à notre façon, en général la plus commode, de décrire un mouvement, en employant les variables d'Euler. De ce point de vue, l’application d’une méthode optique quelconque n’est qu’un compromis, en ce sens que par de tels procédés on ne peut obtenir les vitesses qu'indirectement, le plus souvent par l'intermédiaire de l’indice de réfraction optique du milieu. En effet, l'indice optique n d'un gaz est lié à sa densité p par la relation linéaire :

— ] seen

et d'autre part la pression suit sensiblement la loi adiabatique :

die. (2) Po Po où y est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et à volume constants,

égal approximativement à 1,4 pour l'air. Si l’on arrive à déterminer expérimentalement n en lous les points de l'écoulement, ceci étant supposé cylindrique,

(1) Cependant Ch. CHarTier et J. LABAT ont pu photographier récemment le mouvement de l'air autour d'une aile sustentatrice, par le procédé classique de la poudre d'aluminium, pour des vitesses ne dépassant pas 25 m/s, voir Comptes rendus, t. 202, 1936, p. 729.

on aura aussi, au moins théoriquement par l'intermédiaire de p et 5, le champ de vitesse. Les méthodes opliques dont il peut être question ici, sont la méthode inler/érentielle, la méthode des ombres et celle des rayons aberrants.

Voyons brièvement en quoi elles consistent.

La méthode interférentielle est basée essentiellement sur la comparaison de deux « distances optiques » dont lune est prise à un point (x, y) de l’écoulement, tandis que l’autre est ou une distance optique fixe, correspondant au faisceau séparé de l’interféromètre (lel est le cas des appareils de MAC ou de MICHELSON) ou encore la distance optique, prise à un point voisin (x--Ax, y + Ay) de l'écoulement même, lorsqu'on emploie comme appareil interférentiel les miroirs de JAMIN (1).

La méthode des ombres est beaucoup plus simple, parce qu’elle n’exige comme appareil qu'une source lumineuse praliquement ponctuelle el un écran

de projection. L'hétérogénéilé oplique de l’air en mouvement a le même effet, comme si l’on interposait sur le trajet des rayons un objet, dont la transparence varierait d’un point à l’autre (2).

Enfin la méthode des rayons aberrants, qui est la plus fréquemment employée parmi toutes, consiste en ceci (fig. 5) : on fait converger les rayons issus d’une source lumineuse S, de faible étendue, en un point conjugué S’ par l'intermédiaire de deux lentilles L; et L,, entre lesquelles on à de la lumière parallèle. Un écran opaque C à bord rectiligne, est placé dans le plan focal de [, de telle sorte, que l’image $S’ de la source lombe sur son bord; celui-ci arrêtera alors complètement le passage de la lumière. Si on s'arrange maintenant qu'il y ait entre L, et L, un écoulement, une tuyère T par exemple, disposée perpendiculairement au plan de la figure, les défauts d’homogénéité optique de l'air en mouvement peuvent dévier les rayons et les faire passer à côté de l'écran. Un appareil photo P, placé derrière C et mis au point sur la luyère, nous

donnera alors un cliché, traduisant d’une certaine façon — en général qualialive — la répartition des densités de l'air. On trouve de très belles photos

faites par cetle méthode dans le tome VII du Æandbuch der Physik (Berlin, 1927), Chapitre V; la lecture de cet ouvrage nous fait voir que les procédés décrits s'appliquent à toutes sortes de mouvements suprasoniques, tels que jets

() Cf R. TremBLor. Application des méthodes interférentielles à l'étude de l'écoulement des gaz aux grandes vitesses. Thèse de Doctorat és sciences, Paris 1932. (2) Handbuch der Experimentalphysik, & IV fase. 1, Leipzig 1931, p. 415-418.

libres, écoulements dans une tuyère (1), écoulements autour d’un projectile d’une arme à feu, etc:

2, La méthode de H. BÉNARD est une application, à peine modifiée, de la méthode des rayons aberrants à l’étude de la surface libre d'un liquide CE Comme l'étude d’un liquide ne nous impose nullement le choix exclusif d’une méthode optique, il fallait avoir des arguments importants en faveur d'une telle méthode indirecte, pour la préférer à celle de la poudre de lycopode, si simple, qui nous aurait donné directement les trajectoires de l'écoulement à la surface libre. Get argument était le but que s’est proposé H. BÉNARD de déterminer les centres giratoires des tourbillons avec la plus grande précision possible. Et il est incontestable que la précision atteinte par H. BÉNARD dans ce domaine, dépasse toutes les mesures faites jusqu'à présent par d’autres méthodes. Il suffit de jeter un coup d'œil, même superficiel, sur les fragments

de films, reproduits dans les Comptes Rendus (*) pour se rendre compte de l'extrême précision avec laquelle on peut effectuer le pointage micrométrique des tourbillons, qui correspondent sur les films à des taches lumineuses bien délimitées et toujours les mêmes. On comprend alors pourquoi la documentation la plus précise sur le rapport h/l, qui joue un rôle si important dans la théorie de la stabilité, est due à H. BÉNARD.

Il me paraît donc presque inutile de justifier l'intérêt que l’on a à étudier en détail l'application de la méthode des rayons aberrants à l’observation de la surface libre des liquides. Or quelques indications sommaires de son auteur mises à part (*), celte étude n'a jamais été faite d’une manière systématique. Aussi je tâcherai d’en examiner les propriétés les plus importantes et indiquer les modifications que j'ai cru devoir y apporter pour l'adapter aux problèmes particuliers que je me suis posés.

On sait que la fabrication d'une surface optique précise, comme un miroir parabolique, utilisé dans les télescopes, a amené L. FoucAULT à concevoir un procédé, capable de déceler et localiser les petits défauts d’une telle surface presque parfaite. Dans ce but, L. FoucauLT fait tomber (fig. 6) sur le

() Cf. aussi L. SANTON. Contribution expérimentale à l'étude des souffleries suprasoniques. Thèse de Doclorat ès sciences, Paris 1935.

@2) Voir Comptes rendus, t. 147, 1908, p. 839 et 970. Je remarque que la méthode des ravons aberrants à été

déjà appliquée par H. BÉNARD à l'étude des tourbillons cellulaires, H. BÉNARD, Thèse de Doctorat ès sciences, Paris 1901.

G) € 1561913, p, 1003 el 1225.

(4) H. BÉNARD, C. R. t, 147 et 156, loc. cit.

miroir M de la lumière parallèle, venant d'une source ponctuelle éloignée. Si le miroir est rigoureusement parabolique, les rayons réfléchis enveloppent une surface focale, réduite à un point. Un écran opaque à bord rectiligne C (appelé couleau de Foucault), placé dans le plan focal de M, peut alors arrêter lous les rayons réfléchis, si le réglage de C est convenable. Pour cela, voici comment procède FoucauLrr : l'œil de l'observateur, placé derrière C, regarde la surface du miroir et fait baisser progressivement le couteau; à un moment donné, la lumière disparaît. Le miroir est parfait, si l'extinction de la lumière est brusque el « lieu uniformément sur toute la surface du miroir. En cas contraire, on comprend facilement que les parties du miroir sur lesquelles la lumière disparaîl en dernier lieu, sont celles qui tendent à la dévier au delà de l’arête de C. En faisant l’occultation suivant les différents azimuts dans le plan focal du miroir, on arrive à déterminer exactement le lieu et le sens des aberrations et faire leur retouche par rodage. C’est pour cela qu'on désigne cette méthode quelquefois méthode des retouches locales.

La méthode optique de H. BÉNARD a autant de parenté avec celle de FoucaAuULT qu'avec la méthode des rayons aberrants, appliquée à l'étude des gaz. La surface optique presque parfaite est constituée par la surface libre d'une nappe liquide, qui est rigoureusement plane et horizontale quand l'obstacle ne se meut pas. Cette nappe est examinée par transparence (1), d’une façon analogue à celle du dispositif décrit pour les gaz (fig. 5). La cuve contenant le liquide a un fond horizontal, formé dans la partie utile, par une lame de verre à faces parallèles, optiquement travaillée; si cette cuve est placée entre deux lentilles L, et L,, où la lumière est parallèle, l’ensemble compris entre L, et L, aura exactement le rôle d’une lame à faces parallèles et sa présence n’exercera pas de perturbation sur la marche régulière de la lumière. Mais si l’on fait mouvoir un obstacle partiellement immergé dans le liquide, la déformation de la surface libre aura un effet analogue aux petites aberrations du miroir de Foucault : c'est le même effet comme si on avait des petits prismes à la surface du liquide et la déviation de la lumière qui en résulte est mise en évidence par un dispositif identique à celui de Foucault. C’est de cette façon que H. BÉNARD arrive à localiser sur la surface du liquide le lieu précis des aberrations, variant d'un instant à l’autre et qui caractérisent l'emplacement exact des tourbillons alternés.

8. Mais on aurait tort d'admettre, sans un examen approfondi, que les films publiés dès 1913 par H. Béxarp (?) et dont je donne un dessin schématique ci-contre (fig. 7) traduisent exactement un « effet Foucault ». Une pareille supposition serait tout à fait contraire à la réalité.

Afin de mieux se représenter ce qui se passe, reporlons-nous à la figure 18 du chapitre suivant et supposons pour l'instant qu'on dispose d’une source de lumière circulaire de petite étendue, de lentilles collimatrices optiquement parfaites, etc. Comme on a une surface libre presque plane non stalionnaire, il ne

() Ce n’est pas nécessaire. Si le fond de la cuve était constitué par un miroir plan, on aurait pu appliquer la méthode de FoucauLr sans aucune modification essentielle. Cette méthode a été appliquée effectivement par H. BÉNARD à l'étude des tourbillons de convection thermique. Voir sa Thèse de Doctorat ës sciences, Paris 1901.

(2) H. Bénarp, C. R. t. 156, 1913, p. 1003 et 1225.

nous esi évidemment pas possible de faire le réglage du système d’occultation pendant une expérience : la surface de l’eau ne se prête pas à la même exploration minutieuse et longue qu’un miroir. Le réglage du couteau de Foucault est fait d’une façon arbitraire, mais invariable pour une expérience délerminée,

Fig. 7

quitte à adopter un azimut et un degré de « sur-occultation » différents dans une expérience suivante, répétée dans des conditions identiques.

Mais la différence la plus importante entre l’étude d’une surface liquide et celle d’un miroir réside dans l’ordre de grandeur des aberrations. Un miroir

S lE S, s’ lE2 s!

Fig. 8

soumis aux retouches locales a été déjà dégrossi pour ne plus présenter d’aberralions notables : c’est une surface optique presque parfaite; tandis que rien ne saurait nous suggérer l’hypothèse que les aberrations d’une surface liquide, perturbée par le mouvement de lobstacle, sont aussi infiniment petites. Voyons bien s'il en est ainsi. Supposons, pour simplifier le raisonnement, que la déformalion de la surface liquide est cylindrique, à génératrices perpendiculaires au au plan (vertical) de la figure et soit ST SN... (fig. 8) la courbe de profil de celle surface, qui représente schématiquement une cuvette, engendrée par un tourbillon. Supposons aussi que le système d’occultation est constitué par l’arête recliligne RS de la fenêtre RKS (fig. 9), découpée dans un écran opaque, et

disposé dans le plan focal de la lentille supérieure de l'appareil (fig. 18). Comme on ne peut pas toucher au réglage du couteau pendant une expérience, on le fait préalablement suivant le mode le plus naturel qui est ceci: après avoir choisi l’azimut du couteau, c’est-à-dire l'orientation de RS par rapport au mouvement de l'obstacle, on le déplace jusqu’à ce que l’image de la source (représenté en pointillé) est tangent au bord RS de la fenêtre. Nous disons alors qu’on a une suroccultation nulle, ce qui signifie que la moindre déviation dans le sens de K fera apparaître la lumière. Si les aberrations de la surface liquide étaient suffisamment petites partout, pour que la déviation de la lumière n'atteigne pas la limite, donnée par la grandeur de la fenêtre RS-K, on photographierail foute la moitié MT’ de la cuvette; celle-ci nous paraîtrait alors

Fig. 9

claire, en opposition à la contrepente TM qui resterait sombre — ou inversement, suivant l’orientation choisie de l’écran de Foucault. La conclusion serait la même, si l’on supposait que le couteau de Foucault a une ouverture indéfinie du côté de K : le maximum de cette ouverture serait toujours limitée, sinon par l’écran lui-même, mais par l’appareil de photo, dont l'objectif a une ouverture finie, et joue alors le rôle exact d’un écran. On voit par conséquent que, de quelle façon que l’on procède, si la surface libre d’un liquide admet effectivement des aberrations de grandeur finie, il est indispensable de tenir compte de l'ouverture limitée du système d’occultation. Et on verra un peu plus loin que cette hypothèse est la seule qui puisse expliquer la restitution optique de la surface libre.

Ainsi la méthode optique de H. BÉNARD superpose deux effets différents:

1° l'effet Foucault proprement dit, dû aux petites aberrations, et qui font passer la lumière à proximité de RS;

20 l'effet complémentaire, dû à l’ouverture limitée de l'appareil enregistreur ou de l’écran de Foucault, imposant une limite supérieure aux aberrations perceptibles.

En est-il vraiment ainsi ? La preuve en est donnée par l'examen de mon dessin schématique (fig. 7) sur lequel tout ce qui est noir correspond à la

ST OEE

lumière et inversement. L'ensemble du demi-cercle et de la tache lumineuse rappelant par sa forme, une faux avec son manche, constitue la moitié de la duvelte d’un tourbillon, comme MT’. La contre-partie TM est restée sombre, comme il fallait s’y attendre. Or il est aisé d'établir la correspondance exacte entre les différentes parties d’une cuvette et son image enregistrée. Comme celle-ci ne pourra se faire qu'aux points, où l’inclinaison de la surface liquide ne dépasse pas une certaine valeur, elle n’affectera (sur MT’ seulement) que des portions telles que MN’ et T'S. La partie N'S’ correspondant à l'aire située entre le « demi-cercle » et la « faux » est restée sombre, parce que les rayons réfractés par la surface ont une déviation exagérée par rapport à la limite de réceptivité de notre appareil enregistreur. La superposition des deux effets apparail donc très nettement.

4. Pour avoir la grandeur des aberrations en fonction de l’inclinaison de la surface liquide, soit BO le plan tangent en un point P de la surface, incliné d’un angle w par rapport au niveau horizontal AO (fig. 10). Le rayon vertical MP subit au point P une réfraction PQ et sera dévié d’un angle A, calculable à partir de la loi de Descartes. Si je désigne par n l'indice optique de l’eau par rapport à Pair, égal à 4/3 approximativement, et si je suppose en outre que les angles en question sont assez petits pour que leur sinus soil assimilable à l'arc, nous aurons :

sin x x Sin & w

lè |

et comme la figure nous montre que A—%x—w, on trouve :

Or nous connaissons la distance focale de la lentille supérieure. qui est de 489 em; on voit alors, que même si l'effet Foucault complémentaire n'était imputable qu’à la grandeur de l’objectif lui-même, que je suppose être de 10 cm de diamètre (5 cm de rayon), placé approximativement à 500 em de la surface de l’eau, on aurait pour l'effet complémentaire :

5 : = ; max = 8 + Amax = 3. 00 0,08 radians, qui est de l’ordre de 2 degrés,

valeur certainement au-dessous de ce qu’elle peut atteindre pour des vitesses suffisamment grandes de l’obstacle.

Il faut voir maintenant si l'effet Foucault et son complément expliquent effectivement la formation des images enregistrées. Remarquons que la possi- Dilité même d'utiliser la méthode de Foucault revient à l'existence des aberralions de planéilé de la surface libre. Mais on peut montrer {out de suite que cette aberralion est insuffisante à elle seule pour expliquer la formation des figures photographiées. D'une façon précise, en faisant toujours l'hypothèse simplificatrice d’une surface libre cylindrique (jig. 8), si les vallons et les crêtes élaient autant de dioptires parfaits, sans aberration de sphéricilé, Ia méthode de H. Bénard ne pourrait pas réussir. Ce que l’appareil de photo enregistre en effet,

7 ë >. + r ; Ca 5 > ar cest l'image (réelle ou virtuelle) de la source, image supposée localisée quelque part au voisinage de la surface libre. Or si ces images étaient ponctuelles, conformément à l'étendue pratiquement ponctuelle de la source, l'effet Foucault ainsi que l'effet complémentaire n’existeraient que pour ces images ponctuelles mêmes, dont l'enregistrement serait impossible.

9. La réussite de la méthode des rayons aberrants étant un fait expérimental, celle réussite ne peut s'expliquer que :

1° par l'étendue faible, mais non nulle, de la source:

2° par l’aberration de sphéricité des dioptres de la surface libre.