PAF

APF = 120 36 i3

La mesure des cordes azimuthales prise sur le monument, donne ce dernier angle égal à 124° 20' 5o" , par conséquent plus fort de 3 ° 44 ' 58 " , que ne le donne le calcul trigonométrique. Cette différence se réduirait considérablement , si , au lieu de supposer Fomalhaut placé sur l’étoile qui fait partie de sa légende , on le plaçait sur la dernière étoile du groupe la plus voisine de la légende , et qui semble se détacher du groupe pour se porter vers elle ; ce déplacement n’altérerait pas la distance polaire qui est sensiblement constante sur toute cette légende ainsi que pour l’étoile même dont nous venons de parler. J’ai expliqué dans le Mémoire les motifs de fidélité pour lesquels j’ai mieux aimé ne pas proliter de cet avan-

tage. Ici je me bornerai à faire remarquer qu’il n’en résulterait aucun changement pour la position définitive du pôle P sur la sphère céleste, puisque, dans le calcul de cette position, nous n’employons que des distances polaires , sans que les différences d’ascension droite , qui sont seules affectées de cette incertitude , y entrent absolument pour rien.

Nous venons de trouver PAT^ng^i* 49 *

Nous avons eu précédemment EAF — 90 16 3 g

donc PAE= 29° a 5 ' 10"

On a déplus, parle monument, PA= 55 20 56 par les données astronomiques E A = 59 5 29

on pourra donc résoudre le triangle sphérique EPA et en déduire l’arc P E ainsi que l’angle PEA. On trouve ainsi

P E= 24 0 55 ' 35 " donc P' P = 65 4 *5

c’est la latitude du pôle du monument sur l’écliptique fixe de 1750.

On a ensuite P E A = 7 3 ° 29' 21 "

On avait d’ailleurs par les données astronomiques ïP'A' = 200 44 46

donc TP'= 127 0 i 5 'a 5 "

c’est la longitude du pôle du monument sur l’écliptique de 1750, à partir de l’équinoxe fixe de cette même année.

En joignant ce résultat à celui que nous avons obtenu par la combinaison d’Antarès avec Sheat, on aura le tableau de la page 5 o.

Sur la maniéré de calculer les positions des étoiles relativement à Véquateur et à Vécliptique , pour des époques anciennes.

Soit, fig. 6, Eïï' la position de l’écliptique à une époque fixe, par exemple, au commencement de l’année 1750 , que les travaux de Lacaille ont rendue célèbre, et que l’on a prise pour l’origine de plusieurs déterminations astronomiques. Soit, à cette même époque, ï Q l’équateur, et T le point équinoxal; en sorte que les longitudes se compteront de ï vers E , et les ascensions droites de r vers Q. Considérons maintenant une autre époque postérieure à la précédente. L’équateur aura rétrogradé en vertu de la précession. Soit donc ï r Q' sa nouvelle position à cette époque, et ï' son intersection avec l’écliptique fixe de t75o; l’angle sphérique E X Q' sera son inclinaison sur cette écliptique. Mais alors l’écliptique vraie se sera déplacée dans le ciel, en vertu de l’attraction des planètes ; elle aura pris, par exemple, la direction de N faisant avec la précédente un angle sphérique E NF.' , qui sera toujours trèspetit. Par l’effet de ce déplacement, elle coupera la nouvelle position de l’équateur en ï"; et le point ï" sera la nouvelle position du point équinoxial vrai. De sorte que l’on comptera les longitudes de ï" vers E\ et les ascensions droites de ï lf vers Q 1

Maintenant il faut savoir qu’en supposant l’obliquité de l’écliptique observée à la première époque, la théorie de l’attraction fait connaître pour une autre époque Iquelconque, i°l arc Y Y’ ou la précession du point équinoxial sur l’écliptique fixe de 1750; 2 0 l’angle Ex' Q 1 , obliquité de l’équateur mobile sur cette même écliptique; 3° l’arc ï’ï" ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite; 4° enfin , l’obliquité de 1 équateur mobile sur l’écliptique mobile ou l’angle E’x" Q

DE DF.NDERAH.

Avec ces données, rien n’est plus facile que de transporter les catalogues des astres d’une position à l’autre, et de calculer quelles seront, ou quelles ont dû être, les longitudes, latitudes , ascensions droites et déclinaisons. Cette recherche n’est exactement qu’une simple transformation de coordonnées.

En effet, connaissant les longitudes / et les latitudes), rapportées à la position primitive de 1750 , on ajoutera aux longitudes l’arc de précession rï' sur l’écliptique fixe, arc que nous nommerons <|* ; les longitudes ^ et les latitudes x détermineront la position des astres sur l’écliptique fixe pour la nouvelle époque que l’on aura considérée. Comme on connaît aussi, par la théorie, l’angle E y' Q\ obliquité de l’équateur mobile sur cette écliptique à la même époque, on pourra calculer avec ces données les ascensions droites et les déclinaisons relativement à la nouvelle position ï' Q’ de l’équateur. Nous les nommerons «’ et d. Pour les obtenir, il suffira d’appliquer les formules trigonométriques que nous donnerons plus loin.

Mais ces arcs sont comptés à partir du point équinoxial T' : pour les ramener à l’équinoxe vrai Y", il suffit de retrancher de toutes les ascensions droites, l’arc y'Y", ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite. Soit x cet arc que la théorie de l’attraction fait connaître. Alors les ascensions droites «' —*’ et les déclinaisons d 'seront les élémens de l’astre relativement à la nouvelle position de l’équateur et du point équinoxial vrai y" ; et comme on connaît aussi l’angle E' \ " Q ', obliquité de l’écliptique mobile sur l’équateur mobile, pour la nouvelle époque, ou pourra aisément calculer les longitudes et les latitudes pour cette même époque, relativement à l’écliptique mobile. Ce sera encore une application très simple des formules trigonométriques que nous donnerons tout à l’heure. Par ce moyen, on aura les ascensions droites des astres, leurs déclinaisons, leurs longitudes et leurs latitudes, rapportées à la nouvelle position de l’équateur, de l’écliptique et du point équinoxial Y".

Nous avons supposé la nouvelle époque postérieure A 1750. Si elle était antérieure, les raisonnemens seraient les mêmes, le signe seul des quantités changerait. C’est ce que représente la fig. 7. Alors la précession ïï', au lieu d’être ajoutée aux longitudes, devrait d’abord en être retranchée; et le mouvement du point équinoxial ï' ï", au lieu d’être soustrait de l’ascension droite a' , s’y ajouterait. Tout cela va de soimême dans les formules, en y supposant le temps positif pour les époques postérieures à i75o, et négatif pour les autres.

La marche de l’opération étant ainsi complètement expliquée , je vais donner les formules numériques qui expriment les valeurs des divers élémens que nous venons de désigner.

Pour cela , prenons l’équinoxe de 1750 comme origine des temps , et nommons —|— w la rétrogradation du point équinoxial sur l’écliptique de 1750 jusqu’après un nombre t d’années juliennes comptées depuis cette époque, t devant être supposé négatif pour les années antérieures. Désignons aussi par V l’obliquité de l’équateur sur l’écliptique fixe pour la même époque t ; la théorie de l’attraction assigne à V et à Y les valeurs suivantes que je tire de la Mécanique Céleste, mais que j’ai converties en mesures sexagésimales

\f= 5 o ",4 i 2 H- 9 . 0 47 r 57 ",o 2 H- 3 0 , 83 sin.[ 86 0 33 f 57 '', 5 + 5 o", 4 1 it\ — 6 °, 61777 cos. [ 3 a”, ïï 58 .? ]— i°„ 58 i 48 sin. [ i3",946. ?] V = a 3 °8' 3 a" —1 °,636884 cos. [ 85 ° 33 ' 5 7 ",54 + 5 o", 4 1 a. f] -f-o°,457443 cos.[ 1 3 ",946. f]— 2 0 ,561724 sin. [ 32 ", 11 58 . ?]

Ces résultats sont relatifs au plan fixe qui coïncidait avec l’écliptique en 1750. Maintenant, comme l’écliptique se déplace dans le ciel, la rétrogradation apparente du point équinoxial après 1 d’années n’est pas V , mais une autre quantité que nous nommerons »?'; e t, de même, l’inclinaison de l’équateur de l’écliptique déplacée , n’est pas Y , mais une autre quantité V'. Or les valeurs de w' et de V' se déduisent encore de la théorie de l’attraction , et sont exprimées par les formules suivantes que je tire également de la Mécanique Céleste.

H f '= 5 o", 4 i 2 .^— 1°,285407 sin.[i3 ,, ,946.t)-l-5 0 ,59834sin.*[i6V > 579**]

V'=23°28’23".—o°,929736sin.[32",n58.î]— o°, 73532 sin.*[ 6 ' , , 973 . t ]

Dans ces formules comme dans les précédentes, les angles compris sous les signes de sinus et de cosinus, sont exprimés en secondes sexagésimales. Ainsi, lorsqu on les aura multipliés par le nombre d’années que t exprime, il faudra les réduire en degrés , minutes et secondes pour pouvoir les employer dans les tables de sinus. Quant aux coefficiens numériques des différens termes, ils sont aussi exprimés en degrés sexagésimaux ; mais on y a laissé subsister les fractions décimales de degré, afin que, dans les applications, on pût prendre immédiatement leurs logarithmes. Les produits ainsi effectués se trouveront donc aussi sous la même forme ; de sorte qu après les avoir obtenus et combinés ensemble par addition et soustraction , il faudra réduire la fraction décimale définitive en minutes et secondes, pour avoir le résultat exprimé suivant la division sexagésimale du cercle.

Quand on aura calculé w, V, V', V ', on formera la quantité — V'

Cos. Y

ce sera le déplacement du point équinoxial en ascension droite qui est représenté par ï , X n dans les ligure 6 et 7. En suivant pas à pas la marche indiquée plus haut, on obtiendra, d’après ces valeurs, totis les élémens nécessaires pour transporter directement les positions de 1750 à une époque quelconque donnée.

Il ne me reste plus qu’à joindre ici les formules nécessaires pour calculer les ascensions droites et les déclinaisons, quand on connaît les longitudes et les latitudes ou réciproquement. Soient d’abord >. la latitude , / la longitude, que nous supposerons données. On aura directementla déclinaison do t l’ascension droite a par les deux formules suivantes, dans lesquelles w représente l’obliquité de l’équateur sur l’écliptique.

sin. d —

tany. a =

sin. a cos. à sin. / 4- cos. w sin. x

tang. X sin. «o sin. /cos. o>

cos. / cos. L

à quoi l’on peut joindre ( 3 ) cos. a =

cos. X cos. / cos. d

Les deux premières sont directes et n’offrent jamais d’ambiguité dans leurs résultats. Elles exigent seulement que l’on calcule chacun des termes qui.les composent, en ayant égard aux signes convenus des lignes trigonométriques. Mais lorsque l’on a beaucoup de transformations de ce genre à faire, et que l’on a besoin d’obtenir la déclinaison et l’ascension droite, il est plus simple de calculer d’abord d par la première formule, et d’en déduire ensuite a par l’équation ( 3 ). Seulement il faut prendre garde que, si l’angle a est peu différent de zéro ou de i8o°, la formule (3) qui donne seulement son cosinus , ne pourra pas décider si l’arc a est plus grand ou moindre que cette limite ; de sorte que l’on s’expc serait à des erreurs en interprétant ses indications. Alors il faut effectuer aussi le calcul par la formule (a), qui donne la tangente de a ; car les signes de tang. a et de cos. a étant ainsi connus, détermineront dans quel quadrans l’extrémité de l’arc a doit se placer.

Si au contraire c’étaient la déclinaison d et l’ascension droite a qui fussent connues et que l’on en voulut déduire la latitude x et la longitude /, on y parviendrait à l’aide des formules suivantes, lesquelles sont inverses de celles qui pré-

sin. x = — sin. <o cos. d sin. a 4- cos. w sin. d

, tang. d sin. o> sin. a cos. <■>

tang. I = —E-4--

cos. a cos. a

cèdent.