CONCLU TANT DU MONUMENT QUE DES POSITIONS ASTRONOMIQUES

différence ARC

d’Azimuth , ,.

de distance longitude sur

le monument conclu en I ^ 5o ‘

mesurée. «lu monument.

latitude de distance (le la distance conclu

i ; jo. j es positions donnée par astronomiques, le monument.

2oo° 44'46" 3 o°54 , 3i"B

33o ao 33

Ia 9 33 8 III 5a 44

' 355 5a 58 3i 8 ia B )

33o ao 33

3i 8 ia B

n3 3 7 ao 1 44 36

DE DENDERAU. 4 I

que 1 on trouvera textuellement rapportées à la fin de ce Mémoire, j’ai obtenu les résultats contenus clans le tableau ci-joint.

Les différences que nous trouvons ici, entre les six distances calculées d’après le monument, et les six distances calculées d’après les positions astronomiques, sont du même ordre que celles que M. Delambre a trouvées en calculant les observations d’Hipparque, rapportées dans son commentaire sur Aratus. Quant aux erreurs d’Aratus même, elles sont beaucoup plus considérables. Ce seul rapprochement devrait suffire pour faire excuser de pareils écarts, comme tombant dans les limites d’incertitudes auxquelles les observations étaient sujettes dans ces temps reculés; incertitudes qui s’aggrandissent encore pour nous par 1 effet accumulé des mouvemens propres que nous sommes obligés de négliger, quoiqu’ils puissent certainement devenir fort sensibles à de si longs intervalles. Mais, combien cette excuse ne Paraîtra-t-elle pas plus légitime encore, si l’on c onsidère que les observations d’Hipparque et résultats rapportés par Aratus , nous sont parlons écrits , et par conséquent, avec les seules ei> reurs qui leur étaient inhérentes ; au lieu que ,es observations retracées par notre monument ne se présentent à nous que sous une forme graphique, par conséquent, affectées des erreurs «levitables que l’on a du commettre en lessculp- * ant Sl,r 1 * pierre, erreurs auxquelles il faut ajou-

ter celles (les mesures par lesquelles j’ai essayé de les en déduire pour les rendre à leur primitive abstraction. Car, bien que j’aie apporté à ces mesures tout le soin dont je suis capable , et que chacune d’elles ait été prise et répétée plusieurs fois avant d’être soumise à aucun calcul, cepeiv dant elles n’en ont pas moins été obtenues par de simples opérations graphiques , faites au cordeau, sur des figures sculptées dans un grès tendre , et dont les arêtes et les bords rongés par le temps ont nécessairement perdu de leur vivacité. Or , si l’on veut bien avoir égard à toutes ces circonstances, loin detre blessé des erreurs que présentent les arcs sphériques de distance déduits de notre monument, on sera peut - être surpris autant que je l’ai été moi-même de les trouver si exacts ; car j’avouerai avec sincérité que je ne m’y attendais point; et je n’aurais jamais osé les présenter comme tels avec assurance, si, ainsi que je l’ai dit, toutes mes mesures n’eussent été prises et arrêtées définitivement avant d’avoir été essayées par aucun calcul.

Pour fixer avec précision le degré de confiance que doivent inspirer les inductions critiques qui nous ont conduit définitivement à un accord pareil , calculons la probabilité qu’il y aurait eu de l’obtenir par le seul hasard. A cet effet, rappelons les transformations q Ue nous faisons subir aux mesures immédiates pour les réduire en distances célestes. Nous prenons d’abord sur le monument

l’angle compris entre les deux rayons menés du centre aux deux étoiles supposées ; et nous considérons cet angle comme l’angle dièdre compris sur la sphère céleste entre les plans des grands cercles menés par chaque étoile , et par le pôle inconnu de projection. Puis , nous mesurons sur le monument les distances rectilignes des mêmes étoiles à ce pôle; et, prenant le rayon du médaillon qui est de 774 millimètres, pour le développement d’une demi-circonférence ou de 180° juste, nous convertissons proportionnellement nos deux rayons rectilignes en'arcs sphériques de distance polaire. Conséquemment, quelle que soit la position donnée sur le monument aux astérismes que nous considérons , par cela seul qu’ils se trouvent compris dans le médaillon circulaire, leur transport sur la sphère céleste est toujours possible ; mais ils peuvent s’y trouver, et ils s’y trouveront eu effet à toutes les distances possibles les uns des autres, puisque la sphère est complètement recouverte par le dessin du monument ainsi transformé. Maintenant, imaginons que, sans connaître ce que signifie un pareil dessin , sans avoir deviné le secret de ses parties, on y désigne à volonté, sur le monument, deux points que l’on supposera, si l’on veut, être deux étoiles; et, concevons que les ayant ainsi choisis arbitrairement on se hasarde à prédire qu’après leur transport géométrique sur la sphère, ils se trouveront à une certaine distance l’un de l’autre dans une li-

mite d’erreur assignée, qui sera de deux degrés , par exemple : quelle probabilité y a-t-il que cette prédiction se réalisera ? Pour le savoir , prenez à volonté un point quelconque de la sphère pour représenter la place de l’une des deux étoiles, après quelle y aura été transportée par le calcul ; puis, autour de ce point , à une distance sphérique égale à la distance sphérique assignée, qui sera ici la vraie distance céleste des deux étoiles, décrivez une circonférence de cercle : ce serait le lieu géométrique où devrait tomber la seconde étoile , si la prédiction devait être rigidement vérifiée; mais, puisque l’on y tolère une erreur de deux degrés, en plus ou en moins , sur la distance , décrivez sur la sphère , autour de la première étoile, deux autres cercles , dont les distances sphériques soient, pour l’un , la vraie distance plus deux degrés ; pour l’autre, la vraie distance moins deux degrés. La zone sphérique interceptée entre ces deux cercles comprendra tous les points de la sphère où la distance des deux étoiles tirée du monument peut aller aboutir pour différer de la vraie distance céleste dans les limites de deux degrés d’erreur en plus ou en moins. Conséquemment , si la seconde étoile a été choisie au hasard autour de la première Sur le dessin plan, ce qui est la même chose que si on la jettait au hasard autour de la première sur la sphère , le nombre des chances qui pourront la faire tomber dans cette zone d’erreur sera , au

nombre total des chances possibles, comme la surface sphérique de la zone est à la surface entière de la sphère. Le rapport de ces deux quantités exprimera donc la probabilité que la seconde étoile, projetée ainsi au hasard , tombera dans les limites de distance supposées. Or, ce rapport se trouve égal au produit du sinus de la vraie distance par le sinus de l’écart que l’on suppose possible. Telle est donc l’expression très-simple de la probabilité dont il s’agit

J’en ai fait l’application aux six distances rapportées dans le tableau précédent, en limitant les zones de possibilité relatives à chacune d’elles , conformément aux écarts donnés par la comparaison avec la vraie distance. J’ai obtenu ainsi les résultats suivans pour leurs probabilités individuelles en les supposant dues au hasard :

Arcturus A ntarès. ~

Arcturus Fomalhaut.

Arcturus Sheat.

Antarès Fomalhaut...... ~

An tarés Sheat..:

Fomalhaut Sheat.—- ;

maintenant on sait que la probabilité des résultats composés est le produit des probabilités partielles des évènements dont ils se composent, lorsque ceux-ci sont absolument indépendans les uns des autres. D’après cela, au lieu de considérer isolément deux points du tableau plan que nous voulons interpréter, considérons-en simul-

46 SUR LE ZODIAQUE ÇiRCULAIRE

tanément trois, par exemple, ceux que la discussion critique des positions relatives nous a fait nommer Antarès , Fomalhaut et Arcturus ; puis, supposons que nous eussions entrepris de prédire le triangle sphérique formé par ces trois points après leur transport sur la sphère , sans être guidés autrement que par le hasard. Pour avoir la probabilité que cette prédiction se réalisera dans les limites d’erreur trouvées pour les trois distances, il faudra multiplier entre elles les trois fractions ç -L; JL; ~ ; et le produit 77^7 sera la probabilité cherchée, c’est-à dire qu’il y aurait seulement une chance sur 54ooo pour amener par hasard une pareille configuration. Il est donc déjà bien peu vraisemblable que le hasard nous ait fait tomber précisément sur cette chance unique, quand nous avons choisi les trois astérismes que nous avons nommés Arcturus, Antarès et Fomalhaut. Mais l’invraisemblance devient bien plus forte encore quand nous lions au même système notre quatrième astérisme. Car la position de celui-ci pour être fixée exige le concours de deux distances : par exemple les deux distances à Fomalhaut et à Arcturus, ou à Fomalhaut et Antarès, ou enfin à Arcturus et Antarès. Prenons la première combinaison, qui est la moins favorable; le produit des probabilités de nos deux distances sera i • __i ou 77777. Ainsi la probabilité du résultat composé, qui les rattache au premier triangle sphérique , sera le produit de cette fraction par 7—77

DE DENDKRAH.

t:est-a-dire ~ 9 J >ooeo . Et même elle ne sera réellement que la moitié de cette quantité déjà si faible ; car la détermination d’un point par deux distances à un autre point, soit sur un plan, soit sur la sphère, est susceptible de deux solutions qui placent le point cherché d’un côté ou de l’autre de la distance prise pour base. Mais ici, des deux solutions, il n’y en a qu’une seule qui soit astronomiquement admissible, et c’est celle qui place Sheat dans la partie du ciel où il se trouve réellement. Or, c’est celle-là précisément que le monument réalise ; conséquemment la probabililé que nous y aurions été conduits par le hasard sera - de - s 9 9 4 o o o o ou ; ; c’est - à - dire que sur plus de i5i8 millions de chances également possibles, il n’y en a qu’une seule qui puisse amener un tel hasard. On peut donc, avec toute la vraisemblance désirable, penser que l’accord des résultats auxquels nous sommes parvenus n’est pas du à cètte chance unique, mais bien à la réalité d’intention que nous avions soupçonnée dans la construction de notre monument. Et cette vraisemblance serait très-grande encore quand nous supposerions des limites d’erreurs beaucoup plus grandes que celles que nous avons réellement trouvées entre les vraies distances célestes et les distances calculées. Car en portant, par exemple, toutes ces limites jusqu’à 3° en plus ou en moins, ce qm est sans doute beaucoup les exagérer, puisque tous les écarts que nous avons trouvés sont

réellement beaucoup moindres, il y aurait encore plus de dix millions à parier contre un, que la configuration déduite de nos quatre astérismes est due à un dessein raisonné. Et combien cette probabilité s’accroîtrait-elle encore si nous voulions joindre à cette configuration, comme nous aurions toute facilité de le faire, le quadrilatère du Dauphin et celui de la Grande-Ourse, qui sont aussi marqués en positions par des astérismes propres, comme on le verra plus tard, et comme les seules relations de position avec les figures zodiacales environnantes suffiraient pour l’indiquer.

Ces épreuves géométriques achèvent donc d’établir avec une probabilité presque équivalente à la certitude, le mode de /projection qui a été suivi dans la construction de notre monument ; et, d’accord avec les premières inductions que nous avons réunies, elles prouvent qu’il offre en effet la représentation de la sphère céleste formée par développement autour d’un point du ciel choisi pour pôle. Mais quel est ce point, et comment pouvons-nous reconnaître sa position sur la sphère céleste ? voilà le problème qu’il nous faut maintenant aborder.

Les indications géométriques tirées du monument nous suffiront encore pour le résoudre directement et sans recourir à aucune hypothèse. En effet, considérons deux quelconques des étoiles dont nous venons de calculer les distances respectives, et par conséquent de constater la posi-

tion sur ie monument. Choisissons, par exemple, Fomalhaut et Arcturus. En rapportant ces deux étoiles, par longitude et latitude, à l’écliptique et à l’équinoxe fixes de l’année 1750, elles déterminent sur la sphère céleste un triangle sphérique dont les trois côtés sont les distances des deux étoiles au pôle de l’écliptique, et leur distance entre elles. Tous les élémens de ce triangle, c’està-dire, ses côtés et ses angles, sont connus ou peuvent être calculés d’après les positions astronomiques de Fomalhaut et d’Arcturus. Or ces deux mêmes étoiles, considérées relativement au pôle inconnu du monument forment avec lui un second triangle sphérique dont un des côtés est encore leur distance mutuelle entre elles, et les deux autres leurs distances sphériques au pôle inconnu, lesquelles distances peuvent se mesurer sur le monument même. On peut donc calculer encore les angles de ce second triangle puisque ses trois côtés sont connus. Mais nous avons vu qu’il est lié au premier par un côté commun, qui est la distance mutuelle des deux étoiles. La position du second triangle formé au pôle du monument se trouve donc géométriquement fixée par cette connexion relativement au premier trianglejqui a. son sommet au pôle de l’écliptique de i7Ôo. Ainsi l’on doit pouvoir, et l’on peut en effet conclure par le calcul la direction absolue des côtés de ce second triangle relativement à la même écliptique; d’où l’on dédiiit ensuite les coordon-

£ q S UH LF, ZODIAQUE CIRCULAIRE.

nées de son sommet, c’est-à-dire, la longitude et la latitude du pôle du monument. On voit par là ( pie deux étoiles suffisent pour déterminer mathématiquement ce pôle. Mais ici, comme dans toutes les autres recherches trigonométriques, il faut prendre des bases assez larges pour que les positions des sommets des triangles ne soient pas trop fortement influencées par les erreurs que 1 on doit toujours supposer dans les observations. G est pourquoi, je n’ai point essayé d’appliquer ce calcul à la combinaison d’Arcturus avec Antarès, non plus qu’à celle de Sheat avec Fomalhaut ; parce que ces couples d’étoiles embrassent un trop petit arc de la sphère céleste; mais j’ai combine séparément Fomalhaut avec Arcturus , Sheat avec Antarès; et, par ces cômbinaisons isolées, indépendantes l’une de l’autre, j’ai obtenu les résultats suivans.

Coordonnées du pôle du monument relativement a > V écliptique et à T équinoxe fixes de i^5o (l).

Par Antarès et Sheat.

Par Arctiiros et Fomalhaut.

Moyennes