DISTANCES

des

■ ▲STKB.ZSMKS

A.U cBSTaa

POLAZRKS

diaprés r^toile à laquelle

mesarées

conclaes en degrés,

on les rapporte.

en millimètres.

nunotes et secondes.

Arctarns

23gmin

^ 55* ao' 56"

Antarès

Fomalliaat

Sheat..

Achamar. ,

Canopns

6ai i

Croix da sad

Grande-Oorse. ..

Pour trouver les angles dièdres compris entre les cercles horaires qui contiennent ces divers astérismes , on a mesuré, ordinairement sur le bord du médaillon , quelquefois entre les astérismes mêmes , la longueur de la corde rectiligne com*prise entre les rayons menés du centre du monument à cha* cun d'eux ; et de là on a conclu Tangle compris entre les rayons ou la différence d'ascension droite , au moyen du calcul trigonométrique ; c'est ainsi qu'on a obtenu le tableau ci-après :

ago

KOTES SUR tE ZODIAQUE CIRCULAIRE

Arttora*— Aotarèa^ . . • • Arvtoras^-FoiBaUiflat. . .

Aretnnu — Slieat

Afctnnif — ^Pléiade

hota» — ^Aldebann,

Ar«lariu ^Gnnde-Oane.

Arçtanu — Croix d a tnd .

des

POiKTt

entre lesqfoeb

Ictcocdee •ont mesoréet.

bord da médaillon, bord

5i3 entre lee astérismes.

droite conclaei

I93cy5

ai5

bord. •

bord.

bord «••• •

bord

entre lea astériamet.

bord

a3»4a'3a" x»4 ao 5o 129 33 8 x6S 43 ao lia i3 8

4x 8 54 KoS AS 38

a8 x5 atf

Les angles exprime» dans ce tableaa sont ceux qui résnU tent des mesures immédiates. "Ext prenant leurs ^fférences deux à deux , on aura les diflfêrences d'ascension droite com^ prises entre denx quelconques des astérismes qui y sont désignés. C'est ainsi qu'ont été calculés les nombres rapportés dans le Mémoire.

(i) Nons désignons ainsi, ponr abréger, la tige de iotns sur laquelle "Syrins tombe réellement en projection astronomique. L'alignement est pris sor le milien de Taxe de la tige.

BÊ DCNJDERAH. ^QI

Tableau des calculs trigonométriques relatifs à la détermination du pôle du monument sur la sphère céleste.

Pour exposer la marche de ces calculs , et mettre chacun «n état de les vérifijer , je choisirai comme exemple Antarès et Sheat. Je prends d'abord dans les tables de La Caille , les longitudes et les distances polaires de ces deux étoiles relativement à récUptique et à Téquinoxe vemal de 1750. On a ainsi

Longitude Distances au pôle Jboréal

^ '7^0 de réclipti que de 1760

Antarès. a46*>i6'a8"' 94" 3a' la"

Sheat. . . 355 5a 58 58 5, 4^

Ces données sont représentées en position sur la sphère céleste, dans la %. 4, pi. i. LL' r estlegrand cercle de l'éclip- Uque dont C est le centre, CE Taxe, E le pôle boréal. E A est le cercle de latitude sur lequel Antarès se trouve en A; EB est le cercle de latitude sur lequel Sbeaf: se trouve en b! AB est ainsi l'arc de grand cercle qui mesure la distance angulaire de ces deux étoiles sur la sphère céleste. D'après cela, dans le triangle sphériqueAEB formé au pôle de l'écliptique' on connaît les côtés A E , BE , qui sont les distances des deux étoiles à ce pôle , et l'en connaît en outre l'angle dièdre A E B compris entre elles, lequel est égal à la difféi^nce de leurs longitudes , ou à 109' 36' 36^ On peut donc, avec ces données, calculer l'arc de distance A B des deux étoiles, ainsi que les angles dièdres EAB, EB Aj on trouve ainsi dans ce triangle

AB=io9^ 6' 6" EAB= 58 34 i3 EBA = 63 36 II AE B= 109 36 3o

aga notes sur le zodiaque circulaire

Maintenant désignons par P la position inconnue du pâle du monument sur la sphère céleste , et concevons ce pôle rapporté comme tout autre point au même système de coordonnées dont nous venons de faire usage, c'est-à-dire, à l'écliptique et à réquinoxe fixe de i75o. Pour cela on devra âi:^poser.un cercle de latitude E P mené du point E à ce pôle inconnu ; après quoi il faudra déterminer l'arc PE qui exprime sa distance au pôle de notre écliptique , et l'angle dièdre PEB formé par le cercle de latitude P E avec le cercle de latitude EB mené par Sheat : or, c'est ce qui est très-facile au moyen de ce qui précède. Car,' d'abord dans le triangle sphérique A P B formé au pôle inconnu et aux deux étoiles , on connaît l'arc de distance AB que nous venons de trouver égal à 109** 6' 6". On a de phis les deux arcs AP, BP, qui, étant les distances des deux étoiles au pôle du monument , peuvent se prendre graphiquement sur le médaillon même ; et nous avonsvuquel'onaainsiAP=io8° 16' 45";BP=76»9'45''. Avec ces trois côtés connus on peut calculer les trois angles du triangle A P B , et l'on trouve

PAB= ei^i/j'So" PBA= 104 5t 54 APB= io5 Sa 37

Ce dernier angle au pôle inconnu peut aussi se déduire directement des mesures graphiques , puisque c'est le même que comprt^nent sur le monument les rayons menés du centrje aux astérismes d'Antarès et de Sheat. On voit , d'après le tableau de, la page. 4 1 y ^^ sa valeur conclue de la mesure des cordes est io5® 5o' 36" ; ce qui diffère extrêmement peu du résultat que nous venons d'obtenir en résol van t le triangle A P B, d'après la connaissance de ses trois côtés. Cet accord offre une vérification remarquable de la cprrespondance réelle et géométrique qui existe entre les diverses parties du monument. Toutefois , on doit , comme nous l'avons fait , préférer le résultat obtenu par la résolution trigonométrique du

DE BEJSTDERAH. 298

tnaugle A.PB, parce que le calcul qui le donne n'emprunte du monument que les distances polaires A P , B P , et se trouve ainsi indépendant des différences d'ascension droite toujours plus difficiles à observer, surtout pour les anciens chez lesquels la mesure du temps s'obtenait par des méthodes très-imparfaites. %

Si de l'angle P B A que nous venons de trouver égal h 104° 5i' 54" on retranche l'angle. £B A que nous avons vu être de 83" 36' 11", on aura l'angle EBP égal à ai' i5' 43"- Alors dans le triangle sphétique £ B P ,- on connaîtra

l'angle EBP = ai°i5'43"

l'arc BP rr 76 g 4S distance de SheataùpAle du monnmMit.

l'arc B£ =: 58 5 1 48 distance de Sheat au p61e de fécHptiqae.

ainsi, en résolvant ce 'triangle , on obtiendra

l'arc PE = a6" 4'42" > l'angle PEB = ia6 46 35

Or l'arc P E est la distance sphérique du p6le inconnu au pôle de l'écliptique de ivSb; son complément 63° 55' 18" ^t donc la latitude P^P du pôle i^onnu rapportée à cette même écliptique.

Si à l'angle * PÉB == laÔ» 46' 35"

on ajoute la longitude de Sheat

en 1750 ou .....'. ïP'LL* = 355 5a 58

On aura pour somme 48a 39' 33 • .

ou en retranchait une circonférence T P'p=: i aa'^ Bg' 33 ^'

c'est la longitude du pôle P du monument sur l'écliptique fixe de 1750, à partir de Kéqiiihoxe vernal.de cette même année,> Le calcul, entre .^r«Aunus et Fdmalhaut s'établit de la même manière. Je n'en . donnerai ici que les résultats successif qui se rapportent à la %. 5 pi. »... . ,

Longitudes Distances au pAIe en 1760 de Técliptique en 175a

Arcturus ï Ç^ A' = aoo» 44' 46" E A = 69* 5' 29" Fomalhaut ï Ç^ F' = 33o ao 33 . EF = xi i 6 i3

delàenrésolvantle^riangle FEA, on trouve

AF=±:i34V^'i7' EAF=: 90 16 39 • EFA = 66 5î» 3r

FEA = xa9 35 47

maintenant, P étant le pôle incon|iu<^ on aura daas le triangle sphériquje APF

AP = 55* ao' 56" par le monument FP= i33 a9 18 par le monument AF= i34 t» 17

de là on tirera les trois angles

PAF= 119*^41' 49" PFA=: 80 a a5

kVt = iao 36 la

La mesure des cordes azimuthales prise sur le monument , donne ce dernier angle égal à ia4*' ao' 5o" , par conséquent plus fort de 3° 44' 38" , que ne le donne le calcul trigonométrique. Cette difrérencc se réduirait considérablement , si , au lieu de'supposer Fomalhaut placé sur l'étoile qui fait partie de sa légende , on le|>laçaitsur la dernière étoile du groupe la plus voisine de la légende , et qui semble se détacher du groupe pour se porter^vers éiXe ; ce déplacement n'altérerait plis>la distance polaire qui est sensiblement constante sur toute cette légende ainsi que pour l'étoile même dont nous Venons dé parler. J'ai expliqué dans le Mémoire les motifs de fidélité pour lesquels j'ai mieux aimé ne pas profiter de cet avait-

DE 0E]f0BBA0. a^gS

tage. Ici je me bornerai à faire remarquer qu'il n'en résulterait aucun changement ppur la ppsidon définitive du pôle P sur la sphère céleste, puisque, dans le calcul de cette position, nous n'employons que des distances polaires , sans que les différences d'ascension droite, qui sont seules affectées de cette incertitude , y entrent absolument pour rien.

Nous venons de trouver PAF:=:ii9"4ï'A9''

Nous avons eu précédemment EAF=: 90 16 89

donc PA£= 29'' »5' 10"

On a de plus^ parle monument , P A =: &5 ao 56^ par les données astronomiquies £ A = 59 5 ^9

on pourra donc résoudre le triangle sphérique £ P A et en déduire l'arc P £ ainsi que l'angle P £ A. On trouve ainsi

donc P' P = 65 4 a5

c'est la latine du pèle du monumunt sur l'édiptique fiait «

de 17S0.

On a ensuite PEA= 73* 29' ai"

On avait d'ailleurs par les données astronomiques ïP'A' = 200 44 4^

d<Mic ïP' = ia7"i5'a5''

c'est la longitude du pôle du monument sur Fécliptique de 1750, à partir de l'équinoxe fixe de cette même année.

£n joignant ce résultat à celui que nous avons obtenu par la combinaison d'Antarès avec Sheat , on aura le tableau de la .page 5o.

ag6^ NOTES SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIRE

Sur la manière de calculer les positions des étoiles relativement à Véquateur et à técliptique , pour des époques anciennes.

Soit, fig. 6, ETT' la position de l'écliptique à une époque fixe, par exemple, au commencemenl de Tannée i75o , que les travaux de Lacaille ont rendue célèbre , et que Ton a prise pourTorigine'de plusieurs déterminations astronomiques. Soit, à cette même époque, T Q l'équateur , et T le point équinoxal ; en sorte que les longitudes se compteront de ï vers E , et les ascensions droites de T vers Q. Considérons maintenant une autre époque postérieure à la précédente. L'équateur aura rétrogradé en vertu de la précession. Soit donc ï' Q' sa nouvelle position à cette époque , et t' son intersection avec l'écliptique fixe de 1750; l'angle sphérique j& ï' Q' sera son inclinaison sur cette écliptiquc. Mais alors l'écliptique vraie se sera déplacée dans le ciel , en vertu de l'attraction des planètes ; elle aura pris, par exemple, la direction de N^^ Oaisant avec la précédente un angle sphérique ENE^ ^ qui sera toujours trèspetit. Par l'effet de ce déplacement, elle coupera la nouvelle position de l'équateur en ï''; et le point ï" sera la nouvelle 'position du point équinoxial vrai. De sorte que l'on comptera les longitudes de T^ vers E\ et les ascensions droites de t* vers Q'

Maintenant ii faut savoir qu'en supposant l'obliquité de l'écliptique observée à la première époque , la théorie de l'attraction fait connaître pour une autre époque 'quelconque , 1° l'arc ïï' ou la précession du point équinoxial sur l'écliptique fixe de 1760; a"* l'angle i^ï' Q' , obliquité de l'équateur mobile sur cette même écliptique ; 3** l'arc ï'ï*' ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite ; 4** enfin , l'obliquité de l'équateur mobile sur l'écliptique mobile ou l'angle JS'ï" Q'«

Avee ces données ^ rien n'est plus facile que* de transporter les catalogues des astres d'une'position à l'autre, et de calculer quelles seront , ou quelles ont dû être , les longitudes, latitudes , ascensions droites et déclinaisons. Cette recherche n'est exactement qii'une simple transformation de coordonnées.

£n effet, connaissant les longitudes /et les latitudes x rapportées à la position primitive de 1760 , on ajoutera aux longitudes l'arc de précession Xï' sur l'écliptique fixe, arc que nous nommerons <|; ; les longitudes 1+^ et les latitudes X détermineront la position des astres sur l'écliptique fixe pour la nouvelle époque que Ton aura considérée. Gomme on connaît aussi, par la théorie, l'angle El[! Q', 'obliquité ^e l'équateur mobile sur cette écliptique à la même époque , on pourra calculer avec ces données les ascensions droites et les déclinaisons relativement à la nouvelle position x' Q' de l'équateur. Nous les nommerons â' et df*. Pour les obtenir, il suffira d'appliquer les formules trigonométriques que nous donnerons plus loin.

Mais ces arcs sont comptés à partir du point équinoxial Tt : pour les ramener à l'équinoxe vrai ï'% il suffit de retrancher de toutes les ascensions droites, l'arc x't", ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite. Soit a' cet arc que la théorie dé l'attraction fait connaître. Alors les ascensions droites a' — a' et les déclinaisons ^ seront les élémens de l'astre relativement à la nouvelle position de l'équateur et du point équinoxial vrai ï" ; et comme on connaît aussi l'angle E' 1" Q' , obliquité de l'écliptique mobile sur l'équateur mobile , pour la nouvelle époque, on pourra aisément calculer les longitudes et les latitudes pour cette même époque, relativement à l'écliptique mobile. Ce sera encore une application très simple, des formules trigonométriques que nous donnerons tout à l'heure. Par ce moyen, on aura les ascensions droites des astres, leurs déclinaisons , leurs longitudes et leurs latitudes , rapportées k ^a nouvelle position de l'équateur, de l'écliptique et du poinl; équinoxial ï'\

agS HOTES SUR tiE SfiOmAQDS CIRCULAIRE

Nous ftvoDS supposé la nouille époque postérieure à 17S0. Si elle était antérieure , 4e$ raisonnemens seraient les mêmes , le signe seul des quantités changerait. Cest ce que représente la fig. 7. Alors la précession TT', au lieu d'être ajoutée aux longitudes, devrait d'abord en être retranchée; et le mouvement du point équinoxial T' T', au lieu d'être soustrait de Vascension droite a', s'y ajouterait. Tout cela va de scftmême dans les formules, en y supposant le temps positif pour les époques postérieures à 1750, et négatif pour les autre^.

La marche de l'opération élant ainsi complètement expKquée , je vais donner les formules numériques qui expriment les valeurs des divers élémens que nous venons de déâgner.

Four celii , prenons l'équinoxe de x75o comme origine des temps , et nommons + v la rétrpgradation du point équinoxial sur l'éclîptique de 1760 jusqu'après un nombre t d'années juliennes comptées depuis cevk époque , t devant être supposé néga^ pour les année!» antérieures. Désignons aussi par V l'obliquité de l'équateur sur l'écliptique ûxe pour la même époque -f- f ; la théorie de l'attraction assigne à "^ et à Y les valeurs suivantes que je tire de la Mécanique Céleste , mais que j*ai converties en mesures sexagésimales

W=:5o",4iaf4-a«47'57'>a4-3%83sin.[86^33^57%5+5o",4ja|] — 6°,6i777Cos.(3a'',ii68.r]— i%,58i48sin.[i3",946,/]

V=:a3°8'32" — i%€36884cos. [85'*33'57",544- 5o",4iai.^] -f-0%457443 cos.[ i3",946. ^]— 2%56i7a4 sin. [ 3a",i i58./]

Ces résultats sont relatifs au plan fixe qui coïncidait avec l'écliptique en 1750. Maintenaiit, comme l'écliptique se déplace dans le ciel , la rétrogradation apparente du point équinoxial après + t d'années n'est pas -f-y , mais une autre quantité que nous nommerons >F'; et, de même, l'inclinaison de l'équateur de récliptiqne déplacée , n'est pas Y , mais une autre quantité V'. Or les valeurs de Y' et de Y' se déduisent encore de la théorie de l'attraction , et sont exprimées parles formules suivantes que je tire également de la Mécanique Céleste,

im^ -» T,-*-' •

DE DEKDERAH. ^99

V'^So^Aïa.r— i%a85407 sin.[i3%946.f)+5%59834sin.* [16^0579. f] V'=a3•a8'a3^— o^9îl9736sm.[3a^I i58.#]--o',7353asin.*[6%973. t ]

Dans ces formules comme dans les précédentes , les angles compris sous les signes de sinus et de cosinus , sont exprimés en secondes sexagésimales. Ainsi, lorsqu'on les aurt multipliés par le nombre d'années que t exprime , il faudra les réduire en degrés , minutes et secondes pour pouvoir les employer dans les tables de sinus. Quant aux coefficiens numériques des difFérens termes , ils sont aussi exprimés en degrés sexagésimaux ; mais on y a laissé subsister les fractions décimales de degré y afin que, dans les applications , on put prendre immédiatement leurs logarithmes. Les produits ainsi effectués se trouveront donc aussi sous la même forme ^ de sorte qu'après les avoir obtenus et combinés ensemble par addition et soustraction , il faudra réduire la fraction décimale définitive en minutes et secondes, pour avoir le résultat exprimé suivant la division sexagésimale du cercle.

Quand on aura calculé 9^, ¥^ V',y',<)iki formera taquaaitté

Cos. V

ce sera le déplacement du point équinoxial en ascension droite qui est représenté par x' x" dans les figure 6 et 7. En suivant pas à pas la marche indiquée plus haut , on obtiendra , d'apièt ces valeurs, tous les élémens nécessaires pour transporter directement les {positions dé 1750 à une époque quelconque donnée.

Il ne me reste plus qu'à joindre ici les formules néceâsaireft pour calculer les ascensions droites et les déclinaisons, quant on connaît les longitudes et les latitudes ou réciproquement* Soient d'abord X la latitude , / la longitude , que nous supposerons données. On aura -directement la déclinaison det l'ascen^ sion droite a par les deux formules suivantes, dans lesquelles « représente l'obliquité de Tcquateur sur Técliptique,

3oO irOTES SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIRE

(i) sin. d = sin. » cos. X sin. / -f- cos. <» sin. x

, . tang. X sin. u sin. /cos. «a (a) tang.aiz: — — ; h '—-