POLAIRES

conclaes en degrés,

en millimètres, minâtes et secondes.

a3gmm

55"* no' 56" 108 16 45

ao 55 48

Pour trouver les angles dièdres compris entre les cercles horaires qui contiennent ces divers astérismes , on a mesuré , ordinairement sur le bord du médaillon , quelquefois entre les astérismes mêmes y la longueur de la corde rectiligne comprise entre les rayons menés du centre du monument à chacun d'eux ; et d^ là on a conclu l'angle compris entre les rayons ou la différence d'ascension droite , au moyen du calcul trigonométrique ; c'est ainsi qu'on a obtenu le tableau ci-après :

Les angles exprimes dans ce tableau sont cetix qui résultent des mesures immédiates. En prenant leurs ^fin^rences deux à deux , on aura les différeilces d'ascension drmte comprises entre deux quelconques des astérismes qui y sont désignés. C'est ainsi qu*ont élé calculés fîes nombres rapportés dans le Mémoire.

(i) Nous désignons ainsi, ponr abréger, la tige de lotns sor laquelle Syrins tombe réellement en projection astronomique. L*alignement est pris snr le miliea de Taxe de la tige.

B£ BBNDERAH. ^^I

Tableau des calculs trigononiétriques relatifs à la détermination du pôle du monument sur la sphère céleste.

Pour exposer la marche de ces calculs , et mettre chacun en état de les vérifier , je choisirai comme exemple Antarès et Sheat. Je prends d'abord daas les tables de La Caille , les longitudes et les distances polaires de ces deux étoiles rela-r tivement à Técliptique et à l'équinoxe vemal de 1750. On a «insi

Longitude Distances au pôle boréal

en 1760 de Técliptique de 175©

Antarès. â46® 16' aS" 94^*3!»' la"

Sheat. . . B55 Sa 58 58 5i 48

Ceà données sont représentées en position sur la sphère céleste, dans la fig. 4, pi. i. LL' ï est le grand cercle de Técliptique dont C est le centre, CE Taxe, E le pôle boréal. EA est le cercle de latitude sur lequel Antarès se trouve en A* £ B est le cercle de latitude sur lequel Sheat se trouve en B. A B est ainsi Tare de grand cercle qui mesure la distance angulaire de ces deux étoiles sur la sphère céleste. D'après cela, dans le triangle sphériqûeAEB formé ao pôle de Tédiptique , on connaît les côtés AE, B£ , qui sont les distances des deui étoiles à ce pôle , et l'on connaît en otttrè l'angle dièdre A E B compris entre elles , lequel est égal à la différence de leurs longitudes ,ou a iog' 36' 36". Oii peut dont, avec ces données, calculer Tare de distance AB des deux étoiles, ainsi que les atngles dièdres EAB, EBA; oh trouve ainsi dans ce triangle

ABizziog** 6' 6" EAB = 58 34 i3 EBA=: 83 36 ir AE B = 109 36 3o

r na ■ ti I

irtiiBtaaM

29a NOTES SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIRE

Maintenant désignons par P la position inconnue du pôle du monument sur la sphère céleste , et concevons ce pôle rapporté comme tout autre point au même système de coordonnées dont nous venons de faire usagç y c'est-à-dire y à l'édiptique et à réquinoxe fixe de i75o. Pour cela on devra supposer un cercle de latitude E P mené du point E à ce pôle inconnu ; après quoi il faudra déterminer Tare PE qui exprime sa distance au pôle de notre écliptique , et l'angle dièdre PEB formé par le cercle de latitude P E avec le cercle de latitude EB mené par Sheat : or, c'est ce qui est très-facile au moyen de ce qui précède. Car, d'abord dans le triangle sphérique A P B formé au pôle inconnu et aux deux étoiles , on connaît l'arc de distance AB que nous venons de trouver égal à 109^* 6' 6". On a de plus les deux arcs AP , BP, qui, étant les distances des deux étoiles au pôle du monument , peuvent se prendre graphiquement sur le médaillon même ; et nous avonsvuquel'onaainsi APiiiioS** 16' 45";BP=76'*9' 45"- Avec ces trois côtés connus on peut calculer les trois angles du triangle A P B , et l'on trouve

PAB=: Si'^iV 50" PBA=: 104 5i 54 APB= io5 5a 37

Ce dernier angle au pôle inconnu peut aussi se déduire di*rectement des mesures graphiques, puisque c'est le même que comprennent sur le monument les rayons menés du centre aux astérismes d'Antarès et de Sheat. On voit , d'après le tableau de la page 41 9 que sa valeur conclue de la mesure des cordes est io5® 5o' 36" ; ce qui diffère extrêmement peu du - i:ésultat que nous venons d'obtenir en résolvant le triangle APB, d'après la connaissance de ses trois côtés. Cet accord offre une vérification remarquable de la correspondance réelle et géométrique qui existe entre les diverses parties du monument. Toutefois , on doit , comme nous l'avons fait , préférer le résultat obtenu par la résolution trigonométrique Au

triangle A P B , parce que le calcul qui le donne n'emprunte du monument que les distances polaires AP , B P , et se trouve ainsi indépendant des différences d'ascension droite toujours plus difficiles à observer, surtout pour les anciens chez lesquels la mesure du temps s'obtenait par des. médiodes très-imparfaites.

Si de l'angle PB A que nous venons de trouver égal h 104** 5i' 54" on retranche l'angle EBA que nous avons vu être de 83° 36' 11", on aura l'angle EBP égal à ai*' 1 5' 43"- Alors dans le triangle sphérique EBP, on connaîtra

l'angle EBP=: ai«i5'43"

l'arc BP 1=: 76 9 45 distance de Sheat an p61e du monument, l'arc B E = 58 5 1 48 distance de Sheat au p61e de récliptîqae.

ainsi , en résolvant ce triangle , on obtiendra

l'arc PE = aÔ** 4' 4a" l'angle PEB = ia6 46 35

Or l'arc P E est la distance sphérique du p61e inconnu au pôle de l'écliptique de 1760; son complément 63** 55' 18" est donc la latitude P'P du pôle inconnu rapportée à cette même écliptique.

Si à l'angle P E B = i aô*» 46' 35 "

on ajoute la longitude de Sheat en 1750 ou rP'LL'=:355 5a 58

On aura pour somme 4^^ ^9 ^^

ou en retranchant une circonférence ï P' zz: i aa** 39' 33 "

c'est la longitude du pôle P du monument sur l'écliptique fixe de 1750, à partir de l'équinoxe vernal de cette même année. Le calcul entre Arcturus et Fomalhaut s'établit de la même manière. Je n'en donnerai ici que les résultats successifs qui se rapportent à la iig. 5 pi. i.

!^94 IfOXJvS SUR LE ZODIAQUK CIRCULAIIffi

Longitudes Distances au p61e en 1760 de VécUptique en 1780

•^^•^m^^Êmt

Arcturus ï © A' = aoo« 44' 46" E A = Sg** 5' 29' Fomalhaut ï 6^ F' =; 33o ao 33 EF = ji i 6 i3

delà en résolvant le triangle F£A, on trouve

AF = i34'* a' 17' £AF= 90 16 39 EFA = 66 5a 3i FEA = 129 35 47

maintenant y P étant le pôle inconnu, on aura dans le triangle sphéjiqueAPF

AP = 55** ao' 56*^ par le monument FP 1= i33 a9 18 par le monument AF= i34 a 17

de là on tirera les trois angles

PAF= 119-41' 49" PFA= 80 a a5

APF = lao 36 la

La mesure dés cordes azimuthales prise sur le monument , donne ce dernier angle égal à ia4° ao' 50*', par conséquent plus fort de 3° 44* ^^" 9 <iue ne le donne le calcul trigonométriqiie. Cette différence se réduirait considérablement , si , au lieu de supposer Fomalhaut placé sur l'étoile qui fait partie de sa légende , on le plaçait sur la dernière étoile du groupe la plus voisine de la légende , et qui semble se détacher du groupe pour se porter vers elle ; ce déplacement n*altérerait pas la distance polaire qui est sensiblement constante sur toute cette légende ainsi que pour l'étoile même dont nous venons de parler. J'ai expliqué dans le Mémoire les motifs de fidé* lité pour lesquels j'ai mieux aimé ne pas profiter de^cet avan-

DE DEirOBRAH. sgS

tage. Ici je me bornerai à faire remarquer qu'il n'en résulterait aucun changement pour la position définitive du pôle P sur la sphère céleste , puisque., dans le calcul de cette position , nous n'employons que des distances polaires , sans que les • différences d'ascension droite , qui spnt seules affectées . de cette incertitude , y entrent absolument pour rien.

Nous venons de trouver P A F = 1 19** 4 1' 49"

Nous avons eu précédemment £ A F = 90 16 89

donc PAE= 29" a5' lo''

On a de plus , parle monument , P A = 55 20 56 par les données astrcmomiques £ A = 69 5 ^9

on pourra donc résoudre le triangle sphérique £ P A et en déduire l'arc P £ ainsi que l'angle P £ A. On trouve ainsi

PE= a4*'55'35'' donc ?*?= 65 4 a5

c'est la latitude du pôle du monument «ur l'écliptique fixe de 1750.

On a ensuite PEA=: 73*" 49' ai*'

On avait d'ailleurs par les

données astronomiques TP'A'==aoo 44 4^

donc ïP' = ia7**i5'a5"

c'est la longitude du pôle du monument sur l'écliptique de 1750, à partir de l'équinoxe fixe de cette même année.

£n joignant ce résultat à celui, que nous ayons obtenu par la combinaison d'Antarès avec Sheat , on aura le tableau de la page 5o.

MB»MMS!!7

396 irOTES SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIBE

Sur la manière de calculer les positions des étoiles relativement à Véquateur et à VécUptique , pour des époques anciennes.

Soit, fig. 6, Eïï' la position de Técliptique à une époque fixe, par exemple, au commencemenl de Tannée 17^0 , que les travaux de Lacaille ont rendue célèbre , et que l'on a prise pour l'origineMe plusieurs déterminations astronomiques. Soit, à cette même époque, T Q Téquateur, et T le point équinoxal;' en sorte que les longitudes se compteront de i vers ^ , et les ascensions droites de T vers Q. Considérons maintenant une autre époque postérieure à la précédente. L'équateur aura rétrogradé en verlu de la précession. Soit donc r' Ç* sa nouvelle position à cette époque , et t' son intersection avec l'écliptique fixe de 1760; Tangle sphérique j? i Q' sera son inclinaison sur cette écliptique. Mais alors l'écliptique vraie se sera déplacée dans le ciel , en vertu de l'attraction des planètes ; elle aura pris, par exemple, la direction de N^', faisant avec la précédente un angle sphérique ENE^ ^ qui sera toujours trèspetit. Par l'efTet de ce déplacement , elle coupera la nouvelle position de l'équateur en ï"; et le point ï" sera la nouvelle position du pioint équinoxial vrai. De sorte que l'on comptera les longitudes de ï*' vers E\ et les ascensions droites de t" vers Q*

Maintenant il faut savoii* qu'en supposant l'obliquité de l'écliptique observée à la première époque, la théorie de l'attraction fait connaître pour une autre époque |quelcODque , 1° l'arc Y ï' ou la précession du point équinoxial sur l'écliptique fixe de 1750; 2° l'angle ^r' Ç' , obliquité de l'équateur mobile sur cette même écliptique ; 3** l'arc ï'ï" ou le mouvement du n point équinoxial en ascension droite; 4" enfin, l'obliquité de Féquateur mobile sur l'écliptique mobile ou l'angle Ef ï" (?'.

Avec ces données , rien n^est plus facile que de transporter les catalogues des astres d'une position à l'autre ^ et de calculer quelles seront , ou quelles ont dû être y les longitudes , latitudes , ascensions droites et déclinaisons. Cette recherche n'est exactement qu'une simple transformation de coordonnées.

£n effet y connaissant les longitudes / et les latitudes x rapportées à la position primitive de 1750 , on ajoutera aux longitudes l'arc de précession Ti' sur l'écliptique fixe, arc que nous nommerons ^ ; les longitudes lr{'^ et les latitudes x détermineront la position des astres sur l'écliptique fixe pour la nouvelle époque que l'on aura considérée. Comme on connaît aussi , par la théorie , l'angle E x' Q\ obliquité de l'équateur mobile sur cette écliptique à la même, époque , on pourra calculer avec ces doimées les ascensions droites et. les déclinaisons relativement à la nouvelle position T' Q' de l'équateur. Nous les nommerons cl et d. Pour les obtenir, il suffira d'appliquer les formules trigonométriques que nous donnerons plus loin.

Mais ces arcs sont comptés à partir du point cquinoxial r' : pour les -ramener à l'équinoxe vrai ï", il suffit de retrancher de toutes les ascensions droites, l'arc ï'ï", ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite. Soit a' cet arc que la théorie de l'attraction fait connaître. Alors les ascensions droites a' — a' et les déclinaisons d^ seront les élémens de l'astre relativement à la nouvelle position de l'équateur et du point équinoxial vrai ï" ; et comme on connaît aussi l'angle E' X " Q' , obliquité de l'écliptique mobile sur l'équateur mobile , pour la nouvelle époque, on po^irra aisément calculer les longitudes et les latitudes pour cette même époque, relativement à l'écliptique mobile. Ce sera encore une application très - simple des formules trigonométriques que nous donnerons tout à l'heure. Par ce moyen, on aura les ascensions droites des astres, leurs déclinaisons , leurs longitudes et leurs latitudes , rapportées à la nouvelle position de l'équateur, de l'écliptique et du point équinoxial ï".

agS NOTES SUR le zodiaque circulaire

Nous avons supposé la nouvelle époque postérieure à 1750. Si elle était antérieure, les raisonnemens seraient \efi mêmes , le signe seul des quantités changerait. C'est ce que représente la fig. 7. Alors la précessioh ty', au lieu d'être ajoutée aux longitudes y devrait d'abord en être retranchée; et le mouvement du point équinoxial l' T*^, au lieu d'être soustrait de l'ascension droite ^S s'y ajouterait Tout cela va de soimême dans les formules 9 en y supposant le temps positif pour les époques postérieures à 1750 , et négatif pour les autres.

La marche de l'opération étant ainsi complètement expliquée , je vais donner les formules numériques qui expriment les valeurs des divers élémens que nous venons de désigner.

Pour cela , prenons l'équinoxe de 1760 comme origine des temps y et nommons -f- V la rétrogradation du point équinoxial sur l'écliptique de 1760 jusqu'après un nombre t d'années juliennes comptées depuis cette époque , t devant être supposé négatif pour les années antérieures. Désignons aussi par y l'obliquité de l'équateur sur l'écliptique fixe pour la même époque -\- t'y la. théorie de l'attraction assigne à ^ et à Y les valeurs suivantes que je tire de la Mécanique Céleste , mais que j'ai converties en mesures sexagésimales

. . V V=5o",4 1 2f+2**47 ' 57 ",o2H-3%83sin.[86°33'57",54-5o'',4 1 af]

V — 6%6i777cos.[3a",ii58.^]~ i%,58i48sin.[i3^946. f]

V ;= 23° 8' 32" — 1^636884 cos. [ 85" 33' 57^,54 + 5o",4 x 2. t]

H-.o°,457443 cos.[ i3'',946. r]— 2^561724 sin. [ 32",i i58.f]

Ces résultats sont relatifs au plan fixe qui coïncidait avec VécMptique en t75o. Maintenant, comme l'écliptique se déplace ^ dans le ciel y la rétrogradation apparente du point' équinoxial

après -4- t d'années n'est pas -f- V , mais une autre quantité que nous nommerons <f' ; et, de même, l'inclinaison de l'équar teur de l'écliptique déplacée , n'est pas V , mais une autre quantité V. Or les valeurs de Y' et de V se déduisent en- ' core de la théorie de l'attraction , et sont exprimées par les

formules suivantes que je tire également de la Mécanique Céleste.

PE OKBTDBRAH. .299

V'=5o'',4ia.«— i%a854O7sin.[i3%946.0+5%59834sin.»[i6'',o579.?] V'=a3•a8*23^— o",9i9736sin.[3a%i i58.f]— o',7353asin.'[6%973. t ]

Dans ces formules comme dans les précédentes , les angles compris sous les signes de sinus et de cosinus , sont exprimés en secondes sexagésimales. Ainsi , lorsqu'on les aura multipliés par le nombre d'années que t exprime, il faudra les réduire eu degrés , minutes et secondes pour pouvoir les employer dans les tables de sinus. Quant aux coefQciens numériques des différens termes , ils sont aussi exprimés en degrés sexagésimaux ; mais on y a laissé subsister les fractions décirnale^ de degré , afin que, dans les applications , on pût prendre immédiatement leurs logarithmes. Les produits ainsi effectués se trouveront donc aussi sous la même forme; de sorte qu'après les avoir obtenus et combinés ensemble par addition et soustraction , il faudra réduire la fraction décimale définitive en minutes et secondes^ pour avoir le résultat exprimé suivant la division sexagésimale du cercle.

Quand on aura calculé v^ , Y , v ' , Y ' , on formera la quantité

Cos. V

ce sera le déplacement du point équinoxial en ascension droite qui est représenté par t' ï" dans les figure 6 et 7. £n suivant pas à pas la marche indiquée plus haut , on obtiendra , d'après ces valeurs, tous les élémens nécessaires pour transporter directement les positions dé i^So à une époque quelconque donnée.

Il ne me reste plus qu'à joindre ici les formules nécessaires pour calculer les ascensions droites et les déclinaisons , quand on connaît les longitudes et les latitudes ou réciproqu^nent.. Soient d'abord x la latitude , / la longitude , que nous suppo^ serons données. On aura directement la déclinaison «? et l'ascension droite a par les deux formules suivantes, dans lesquelles tt représente l'obliquité de l'équateur sur Técliptique.

oxi^dRô

3oo NOTES SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIRE

(i) sin. d = sin. u cos. à sin. / -\- cos. o sin. x

... tang. xsin. «> sin. /cos. u

(a) tang.arz: 2 ^ — --^ ^

<;os. / COS. /

à quoi l'on peut joindre

(3) COS- a =