IH

f(8) = cos20 + p, cos0 + pu, sin6.

Comme Ÿ(0)= f’(0) on voit que, dans notre problème généralisé, lorsque le maximum est atteint, il existe une valeur a telle que l’équation f (0) — a = o ait deux racines doubles.

S'il en est ainsi, on peut, en posant { — tang -» écrire identique-

ment

f (0) AN An

(') Nous nous inspirons ici d'un procédé employé par M. Biernacki ([9/, p. 641) dans l'étude d’une question analogue.

Lay Le

À étant une constante. Un calcul élémentaire montre alors qu’en dehors de £, et £,, les autres racines de la dérivée sont

GREEN On CEE = lang - He) 1, —=— cot is ee É

On a done nécessairement

Ds ——*, D ER De T.

2 2 Mais comme u, — 0, l’équation (18) ne peut admettre les racines 6, et 0, + x quesi sin20,— 0.

d'où 0—="0 où 6, => (en supposant que 0, est celui des deux angles

0, et 0,, compris entre o etz). On entire, d’après (19), ri = mr. Revenons alors au problème proposé; pour chaque système de

valeurs entières de n, et n, lorsque n, et n, sont fixés, s, a un maxi-

mum ®(n,), lorsqu'on fait varier les 0; lorsque n, prend toutes les

valeurs entières de o à n —(n, + n;), D(n,)a, d'après ce qui précède,

un seul extremum à l’intérieur de cet intervalle, pour

Nb k 2

(nombre entier d’après l'hypothèse du début). Rien ne prouve d'’ailleurs a priori que ce soit un véritable maximum, mais on en déduit qu'on peut se borner, pour la recherche du maximum, à ne considérer que ce cas, et celui où l’un des 2; est nul. D'ailleurs, comme, dans ce dernier cas, les trois autres n; sont différents de zéro, il yen a deux de même parité, soient encore n, et r,; on peut recommencer le raisonnement, et l’on retombera sur le cas précédent (avec nr; —0 ou n, =0), ou sur le cas où l’un des trois 7»; est égal à un (puisque c’est la plus petite valeur qu’ils puissent prendre); et, si l’on se trouve dans ce dernier cas, les deux autres n; sont nécessairement égaux, puisqu'il existe, d’après (17), un triangle ayant pour côtés n,, nm, 1, d’où Ni 2 Ra— 1, M2 — 1, Ce qui n’est possible que si r, —n,, ces deux nombres ayant même parité.

Une fois ramenée ainsi à l’étude d’un seul cas, la recherche du maxi-

a joe

mum se réduit à un problème d’algèbre élémentaire. Comme on passe T : re

du cas 0, — 0 au cas 0, — 5 en ajoutant Sa tous les 0, donc en chan-

geant s, de signe, on peut se borner, par exemple, à étudier le cas

0e 5» en cherchant alors le maximum de {s,|. On a donc, = 7 — 6, et, d’après (17),