EE

est maximum avec »,, donc pour n, — » ce qui donne

n(n—3 SE REED de Het Dans le second n—9n,) n° Sn an 1) == D more n, 7

minimum avec n,; d’ailleurs, on doit avoir (relation entre les côtés d’un triangle)

Ty = ON SOI; ou n, 2 d'où, sin—4p+i,n =p+i,

Es 3 4PTI Pa RAD 2) dE p+i). p +1 ”

Es n +3

etsin=4p+3,n =p+1,

La comparaison entre ces expressions montre que, finalement, le

- n(n —3) maximunmt de | Sa | a pour valeur Sn CE lorsque $, = 0. — 1 :

En revenant à la recherche de la limite du module d’une racine de (1), on voit qu'on obtient les valeurs

ne Re : n(n—3) . : :

(20) D — Si 7 est pair, EX OÙ /1CSLUIMHAI, 2 DL) Pour être assuré que ces valeurs sont bien les limites exactes, il reste à étudier les cas {= 2 [le déterminant de (16) étant alors nul] BL == 0:

Si {= 2 avec 5, —0, on en déduit u, = 0, d'où y,;—=—7,, la

valeur absolue de ces deux racines restant arbitraire et égale à V! HAE done, pour satisfaire aux conditions (5), il faut|w,|£r, On a dans ce cas

5, et w, étant des variables indépendantes; le maximum est atteint lorsque | ,| = 1, donc, lorsque toutes les racines ont même module; on retombe ainsi sur le cas précédent.

Il reste à examiner l'hypothèse 4,= 0; on est ramené au type de polynome que nous allons étudier comme deuxième exemple.

LE) [+ LA? + Ad +... + And! O0.

Pour la limite de deux racines, on est dans le cas étudié par M. Van n(n —1)

Vleck et M. Biernacki; la valeur exacte est "4

Cherchons la limite du module d’une racine. Le système (£) se réduit ici à la seule équation

Ti, + —=0O et les conditions (6) à 1alSr.

On a ensuite + Ss — 1%.

C2 __— ep s De MT Ar

Pour obtenir le maximum de |£|, donnons à s, une valeur fixe «, de module compris entre o et 1, et qu’on peut toujours supposer réelle et

positive; |æ?+ s,]a dans ces conditions un maximum, fonction de «, dont la plus grande valeur, lorsque & variera de o à 1, donnera la valeur maxima de |2EË*|. | Remarqnons d’abord que, puisque s, [= |0,|£1 etfs, [Sn —1,on

a toujours HERVE Si x est pair, cette valeur est la limite exacte,

étant atteinte pour

Pour 7 impair, 1l faut refaire un raisonnement analogue à celui du paragraphe précédent, en considérant ici la fonction

n—1 2 AE 2 s—|a+s, [| «+ > cos 26, “| > sin26; Jet NA 1

On trouve comme précédemment que les 0 prennent quatre valeurs distinctes au plus lorsqu'il y a maximum. On aura ici

mr La =

et comme n est impair, 1l y a toujours deux n; de mème parité (même si les deux autres sont nuls). On trouve alors, comme ci-dessus,

0, +0, 9, + 0, j == =#) res | De Us

Mais il n’en résulte plus aussi immédiatement que 0, est nul : cet angle satisfait seulement aux relations

no) TT \ (21) > sin20) |cos20,—[ «+ D ans 0 == 0) he] PE

(22) D'cosb= a,

NA n—1

(23) Ÿ'sin—0.

IN

TA SUR à \ ÿ ns On a ainsi trois équations par rapport aux deux inconnues SES

CN

et - Quel que soit «x, elles admettent la solution 8, — 0, ce qui

entraine 2,—n,; mais, pour qu’elles aient d’autres solutions communes, il faut que à vérifie une relation algébrique, non identiquement nulle, à coefficients entiers | on formerait aisément cette relation à l’aide d’un raisonnement géométrique simple, en remarquant que l'équation (21) s'écrit arg(a?+s;)— 20,, à x pres]. Cette relation n’est donc satisfaite que par des valeurs isolées de «; or, il est bien évident que le maximum de 3 est une fonction continue de «; ces valeurs ne sauraient donc convenir. Comme dans l’exemple précédent, on est ramené à chercher le maximum de z dans le cas où 0, — 0, Ü,=7T,n,—n,,ou dans le cas où n, = n,—=o et où n, (ou »,) prend la plus petite valeur compatible avec les relations (22) et (23): mais ici, comme afI, On ne peut Avoir A+ A—=/A—I que Si

JÉRESGE NN, —= Ts —

* en vertu des relations entre les côtés d’un triangle; on retombe alors sur une particularisation du premier cas. Il reste donc à chercher le maximum du module de

2 Te En 7 (ann) M ee hr nñ,

En procédant comme dans le premier exemple, on trouve sans diffi-

culté que ce maximum est égal à (7 — 1) et est atteint pour x — 0, : ME :

A= 10; —=0: dou la-yaleur \ —— pour le maximum de |£[. Cette

valeur étant atteinte pour 4,— 0, il faut vérifier que c'est aussi la limite du module d’une racine de l'équation

+ L° + AL +... + An XI —=O.

Mais comme (n — 1) est pair, ceci résulte du début du paragraphe.

11 reste encore à voir si les limites relatives aux équations obtenues en annulant successivement 4,,, 4,, .. ne seraient pas supérieures à celles qu’on vient de déterminer; il n’en est rien, d’après la forme même de ces limites en fonction du degré de l’équation.

Ainsi, la limite supérieure du module d’une racine de l'équation (W)

est égale à / E( À ('); sin est impair, elle est atteinte pour a, = 0.

(!} Nous désignons par E(x) la partie entière du nombre positif x.

La comparaison de cette limite avec les valeurs (20) montre que ces valeurs sont bien les limites exactes d’une racine de l’équation (à).