GAL + GA +... + AA

Cherchons d’abord la limite de deux racines. Les calculs exacts étant trop compliqués, nous nous bornerons à calculer la valeur asymptotique de cette limite lorsque 2 croît indéfiniment. Onaïci £+1= n— 2, ce qui donne, pour le système (È)

( Ge lli=iO (24) Ty ol + Tia 0:

Le déterminant est égal à o,; supposons-le d’abord différent de zéro. Les conditions (5) doivent exprimer qu’une au plus des deux quanuités y:1, YA est extérieure au cercle unité. D’après les formules données par M. Cohn ([11], p. 135), ceci s'exprime par l’unique condition |

RSR ETC ENT On en déduit tout de suite une limite de |#,| en fonction de |, |, car

lu lP—i<lul(Gi+lu

d'où (25) lu Si+fal (1).

D'autre part, d'après les formules de Newton, on tire de (24)

THE Ne Sy SOUS, d’où 6 6 . ‘( - :)< S3 | SA — 2 : | s | Do ES [< ) et par suite |aISG+e) Vn et aussi lus SRE VR

Dee ue ; I (nous désignons par € une quantité tendant vers zéro avec =): u

(1) I est d’ailleurs aisé d'obtenir directement cette inégalité; car si |»,|<1,

on a Ÿ

Yral=|M=pPhlSr us], d'où Lust ln Sr ul

Comme

PCs EU, + ui — —< A

on a, en vertu des inégalités précédentes, jointes à |s,[£n — 2,

(26) HÉAIVÉ

Si l’on suppose 5, =o, il faut, pour que (24) soit indéterminé, que 6,—0. On a alors w, —0o, et uw, est arbitraire sous la condition |u,|<1. D'où

et l'inégalité (26) est encore valable.

Nous allons voir que ve est la valeur asymptotique cherchée. Cela

résulte du calcul de la limite d’une racine. Comme l'équation (IH) est un cas particulier de l’équation (11), cette limite est inférieure ou

/ x 6 n , ,. . : NS égale à VEG): d’autre part, l'équation particulière (11), dont toutes

: PRE , « n les racines sont, en modules, supérieures ou égales à VE = Ja tous

ses termes de degrés impairs nuls; c’est donc une équation (HD) particulière. On voit donc, sans autre calcul, que la limite exacte d’une racine

de (I) est égale à Vel) Comme cette valeur est une borne infé-

rieure pour la limite de deux racines, la limite de deux racines de (NW) est asymptotiquement égale à la limite d’une racine. D'ailleurs, un calcul exact montre que pour nr = 4, 5 et 6, ces deux limites sont rigoureusement égales.

Les résultats précédents subsistent intégralement lorsque, dans l'équation (II), on assujettit à s’annuler un nombre quelconque de termes de degrés impairs. Il est assez remarquable que l'annulation du terme de degré trois dans (ID) suffise seule à ramener la limite de deux racines, de la valeur de M. Biernacki, à la racine carrée de cette valeur (au facteur indépendant de » près), et que l’annulation d’un nombre quelconque d’autres termes de degrés impairs n’amène plus de modifications sensibles.

RCE

On a des résultats moins précis lorsque, dans (11), au lieu d'annuler le terme en +, on annule un terme quelconque de degré impair (2p +1) indépendant de ». La seconde équation (24) est alors remplacée par

api + Copé + Oops Us —= O.

Mais si l’on tient compte des formules de Newton (')}), et de l'inégalité (25) toujours valable, on déduit de l'équation précédente linégalité : ; | Si PPS CES, h | S2 f PATTES | Sep | ); étant un polynome de degré au plus égal à 2p, par rapport à l’ensemble des variables |s, |, |s, |, ...,[s,,|; comme |s,|<n — 2 quel que soit ”, -2p.

| s |< Kn?P+, K étant uve constante ne dépendant que de p; on arrive d’ailleurs à une inégalité de même forme quand on suppose le déterminant de (È) nul. On a donc, au lieu de (26), l'inégalité

pour la limite de deux racines. La limite d’une racine est toujours

égale à VE(: }: Si l’on annule de même dans (IT) un terme de degré

pair 2p indépendant de n, on a encore pour la limite de deux racines, l'inégalité

mais ici la limite d’une racine est seulement inférieure ou égale

Il est ) ailleurs aisé d’en donner une meilleure borne supérieure.

(!) Cet usage des formules de Newton dans ce numéro et dans le suivant s'apparente à un procédé de M. Van Vleck ([8], p. 108), déjà employé auparavant, d’ailleurs, par MM. Carmichael et Mason, dans un article du Bulletin of the American Mathematical Society, & 21, 1914, p. 14-22.

SAONE et

On doit en effet, supposer ici [u,|<2, |u,|<1 dans la discussion du système (2). D'où }s,|<2. D'autre part, dans l’équation

Top + Top U; D Topo Us — O0,

où l’on exprime les o en fonction des s, le premier terme seul contient un terme de degré p par rapport aux variables autres que s,, à savoir le terme en s7. On en déduit donc, comme ci-dessus,

P=1 ls ISKn 7,

d’où, pour la limite d'une racine, l'inégalité

K’ r= Ve

Par contre, on n'obtient plus de bornes supérieures meilleures que pour l’équation (II) générale, lorsqu'on annule un terme de cette équation, dont le degré croît indéfiniment avec r, comme le montre l'équation (1).

9. Pour terminer la première partie de ce Chapitre, nous allons chercher l’ordre de croissance par rapport à n de la limite o du module d’une racine de l’équation la plus générale

(IV) P(z)=i+axz+at +...+ apæ + Gp LP +... + An L*— 0,

où l’on a fixé les p coefficients a,, a;, ..., a,. Nous supposerons d’abord a, <0; on peut alors prendre a, — 1 par une transformation

linéaire sur æ. Considérons la transformée de l'équation en y — =; æ

avec |Ë| —+, et désignons par S,, S:, ..., S4, ... les sommes des puissances semblables des racines de l’équation en y; on a, quel que soit 1,

(27) Pos ES DR

Écrivons les p premières formules de Newton pour l'équation en y,

eo e

sous la forme

S + + Gp FE + Papy = 0.

PERS SES DE . 2 : ne En éliminant + mt Em entre les m premières équations précé-

dentes, il vient, pourm=—=1,2, ...,p,

de se S,— D, (a )S?,

suste Riel elelee selles

(E) a D,, (a, ds; , An), ñ AU ES OM Det SNL TPS 0 000 0 :

D D, (a, Agy ap)S}, où IPS", 1 O O 24» I 1 DÉRPE PEL O Dao Na.) =) a ttd I RE DM HDI RE NC RS TRE

Ces déterminants sont d’ailleurs liés par la formule de récurrence (28) By D, — de Do + A3 Ds +... + (— 1)" am + (— 1)" man.

Soit alors ®, le déterminant de plus grand indice qui soit différent de zéro. On a, d’après (27),

k (29) Is (3)

(*) Cette expression n’est autre que le coefficient de æ#-1 dans le développe- F !, au signe près, comme il résulte immédiatement de la démonsæ

tration des formules de Newton.

ment de