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et, si tous les ® sont nuls,
Nous allons montrer que ces inégalités sont les meilleures possibles, à un facteur constant près. Il suffit évidemment pour cela, de trouver une famille d'équations pour lesquelles a,, a,, ..., a, ont les valeurs fixées, dont le degré n croit indéfiniment, et telles que le module de racine du plus petit module de chacune de ces équations croisse avec 7 au moins comme la puissance de » qui figure dans l’inégalité (29) ou l’inégalité (30) correspondantes.
Examinons d’abord le cas général où ®,<0. Considérons la famille
des polynomes = Q> AA ze Un(e] 1 + ae | )
Jè
Q,,(æ) étant un polynome de degré p
QATAR DE AE, DEP choisi de sorte que les p premiers coefficients de II, ,(x) soient égaux à a,, 4, ..., a, On voit immédiatement que les coefficients «;” sont bien déterminés, en fonction de 4,, 4,, ..., a,, et que, à partir d’une certaine valeur de n, ils sont aussi voisins que l’on veut des coefficients du polynome Q,(x) de degré p, tel que ef” ait ses p premiers coefficients égaux à a,, a,, ..., 4,. En particulier, les modules de ses coefficients ont une borne supérieuie K indépendante de n. Or, pour toute racine de Il, ,(æ),
REALA A ET et, d'autre part,
(Qur(æ)|SKpiælr dèsque |æ|2r,
d’où
ce qui démontre dans ce cas la proposition.
90e Passons maintenant au cas extrème où
Dr :—=0 0.
Remarquons d’abord que si .
BD, . 0; 4— 0, la formule (28) donne D— (— 1 as Ami + = D) Man.
Le cas que nous envisageons n’est donc PAIE que Side de DoUR M 00:25" D dou
d— —) CRE 31° tes Ap—=
Nous allons nous restreindre ici aux équations dont le degré est un multiple de 2?-". Soient alors
Considérons le produit
Di (1+ 0) (1+03)...(1 +0).
En le développant, on trouve 2?! termes de module un, distincts ou non. Choisissons notre équation en y qui correspond à (IV), de sorte
qu’elle ai
Sr De TN CR LE CARO AVES 0 (ES RD) et SE n RACE us 0 = mr cosrcosx...cos—;, 2/ Â 6 2p
ce qui démontre encore que, dans ce cas, l'inégalité (30) est la meil-
leure, à un facteur constant près. " Nous allons combiner les deux méthodes précédentes pour étudier
DR es
le cas plus compliqué où D, <0,
Din Pre 0,—=0.
Nous considérerons ici des équations de degré » = 27-“km, m pouvant croître indéfiniment.
Pour former ces équations, prenons (# — 1) nombres &;, 43, ..…., œ, Jixes, mais quelconques, et soit IL,4:(æ&) le polynome de degré 4m formé comme il a été dit plus haut, dont les ( # + 1) premiers termes sont
I+HL+ ar +...—+ ayx
: ne k et dont toutes les racines sont supérieures en module à o — (2) ,
K ne dépendant que des «. Multiplions chacune de ces racines par les 2P—" termes (de module un) du développement de
me (i nn we) (a Se Ge) 6 QG are Dar
les w ayant la même signification que ci-dessus; soient æ,,æ,,..,,æ, les nombres obtenus. Nous allons considérer l’équation (e) de degré n
… TZ ZT æ à ayant pour racines les nombres —; =, ..., —; elle est bien de la VD£k VO} TD} forme HER rS—0;
Montrons qu’en choisissant convenablement les «, on peut amener cette équation à être du type (IV), a;, ..., a, étant donnés et satisfaisant aux conditions
D., ® Le state ®, O:
Ceci va résulter de ce qu’en vertu de (28), s1 l’on se donne arbitrairement les valeurs de D,(a;), D,(as, as), ...,®(a,, ..., a), les valeurs de a,, a,, ..., a; sont bien déterminées. Il suffit donc que les valeurs de ,, ..., ®, relatives à deux équations de la forme (31) soient égales pour que les valeurs des p premiers coefficients de ces équations soient égales.
Or, pour l’équation (e), le relations (E) s’écrivent (avec les mêmes notations que précédemment, sauf que & a ici une valeur arbitraire,
sans rapport avec la limite des racines) :
de ge SEE ne) qe ns D > 5? DUB Z I (A) Do RUES De AE k+1 ) : ( D) pts, a) S?, LOP* D el Mn UD oi Dit Te ; 1+0%.,)...(1+0) Se ii E= (as ao k St;
Choisissons maintenant les x de sorte que
Re EE o, D rt -( D)
D(a; a, if, ds, ..., œi)
Ce choix est possible et donne pour les x des valeurs finies, puisque le coefficient de D;(&, &:, ..., «;) est différent de zéro; de plus l'est indépendant des raisonnements précédents. On obtient bien ainsi une équation du type désiré, dont toutes les racines sont supérieures en
module à Euh
M étant un nombre fini ne dépendant que des valeurs a,, a;, .. La proposition est complètement démontrée.
On voit donc que l’ordre de croissance du maximum >. module de la
Pare
plus petite racine de (IV) est égal à 7 k étant l'indice maximum pour
lequel ®,£ 0 (en prenant ®, — 1). On peut considérer cette famille de polynomes comme d’autant plus exceptionnelle que k est plus petit, et, à ce point de vue, la famille la plus exceptionnelle est la famille des polynomes
- ei L” ; T° x?
P,(x) =1+ x - nr Fe 2 dpWi ie + ana,
Ne: ANSE
Par une transformation linéaire, on peut encore exprimer les résultats qui précèdent sous la forme du théorème suivant : Un polynome
P(t)= a; +az+...+E apaP+ apart La, où les coefficients a, a,, 43, ..., a, ont des valeurs fixes (a, 0), les autres coefficients étant arbitraires, prend toute valeur c au moins une fois, dans un cercle de rayon K(a,, a,, ..., a,, c)n?, à l'exception de (p — 1) valeurs distinctes au plus, racines de l'équation du C}d» (asc) a: dy— CP tan F(Gs .dn "ap €) =4, | RE ) D (do co ane Re moe a ai a/,
Ces valeurs sont prises au moins une fois dans un cercle de rayon
K(@s, di, ..., a) n°7, si le polynome n'a pas une forme particulière ; mais si les coefficients sont choisis de sorte que les équations
E=—-0; 0, Re F;= 0
aient h racines communes distinctes (h<£k — 1) qui ne soient pas racines de F;-, = 0, le polynome prend au moins une fois chacune de ces valeurs
dans un cercle derayon K,,(ao, &, ..., ay)n . L'ordre de croissance de ces limutes par rapport à n ne peut être amélioré.
Nous avons supposé jusqu'ici a, ;<o. Si l’on prend au contraire Didi re Qi, dy -— 1} ll estvatsé de voir que-la”seule modification sensible qui soit apportée aux résultats précédents est que l’inégalité (30) est remplacée par
Les inégalités (29) où # > q restent inaltérées, etles mêmes méthodes que ci-dessus montrent que ces inégalités donnent encore la meilleure limite possible, à un facteur constant près.
10. Revenons maintenant à l'équation (3); nous allons nous arrêter sur un aspect particulier du problème posé au début de ce Chapitre.
Srqgrer
Il est bien évident que la plus petite valeur possible pour la limite du module d'une ou plusieurs racines de (3) est l'unité; on est donc conduit à rechercher dans quel cas l'équation (3) a effectivement toujours une racine au moins dans le cercle unité, et, si cela est possible, quel est le nombre minimum de ces racines. Ce problème a été résolu par M. Herglotz [5], puis repris à l’aide d’une méthode différente par M. Biernacki ([9], p. 573), dans le cas de l'équation trinome,
(33) 1E PH QD t— 0.
Si n n’est pas multiple de p, il y a au moins E (£) racines dans le
cercle unité, et cette limite est la meilleure possible ; si » est multiple de p, il existe des équations de la forme (33) n'ayant aucune racine dans le cercle unité. Remarquons d’ailleurs que ce résultat peut se déduire très aisément d’une règle générale donnée antérieurement par M. Bohl [4] pour calculer, en fonction de a, le nombre exact des racines de l’équation (33) situées à l’intérieur d’un cercle quelconque de centre l’origine.
M. Biernacki a, de plus, montré ([9], p. 583) que, dans le cas particulier où p << n, < n; < 2p, l'équation quadrinome
1+ XP + dd + a,æ— 0
a toujours une racine au moins dans le cercle unité. Nous allons indiquer quelques cas relatifs à ce problème, en considérant plus spécialement le cas de l'équation quadrinome.
11. Remarquons d’abord que, en vertu de ce qui précède, on a une condition nécessaire pour que l’équation (3) ait toujours une racine au moins dans le cercle unité; à savoir, qu'aucun des degrés n; ne soit multiple de p (ce qui entraine p > 1). Nous allons montrer de plus qu'il faut qu'aucune des différences (ni —n;) (i,j — 1,2, ...,#) ne soit égale à p. I suffit pour cela d'établir que l’équation quadrinome
(34) 1 + PH GAP + a Lt —= 0 peut avoir toutes ses racines extérieures au cercle unité.
Ceci va résulter de ce que l'équation (34) peut avoir toutes ses racines égales en module à un nombre » supérieur à 1. La transformée en
