EP VON

Or, lorsque y décrit la circonférence |y| = 1, le point 3 —+o(y) décrit une courbe (T°) qui possède, ainsi qu’on s’en assure aisément, les propriétés suivantes (') : lorsque y décrit la circonférence dans le sens positif, 3 tourne constamment dans le sens négatif autour de l’origine

et |3| varie entre les bornes m — FE etM = 1(m<°M). Donc, pour que (36) ait toutes ses racines intérieures au cercle unité, il faut et il suffit que le point ; soit extérieur au contour apparent de (1) [j'appelle ainsi le lieu du point de (T) le plus éloigné de l’origine sur chaque rayon vecteur ]; c’est en effet le seul cas où arg| — | ne varie pas

(*) Ces propriétés seront établies, dans un cas plus général aux n°° 15 et 19.

lorsque y décrit la circonférence | y | = 1. Mais il existe certainement des points de ce contour apparent intérieurs au cercle |z| = 1, puisque le maximum de |z| ne peut être atteint que pour y*-* = 1, donc en(n—2p) points. Il y a donc des valeurs de £, de module supérieur à un, pour lesquelles (36) a toutes ses racines intérieures au cercle unité, ce qui démontre la proposition.

Remarquons en passant que sip = 1, la courbe (T°) coincide avec son contour apparent; la plus grande valeur possible de |£| est alors

—; cette valeur est d’ailleurs ici la limite exacte d’une racine puisqu’elle coincide avec la limite de M. Biernacki. On pourrait d’ailleurs le voir autrement; l'équation (34) a dans ce cas une lacune autosymétrique pour laquelle r — 2, s = n — 3; comme, d’äprès le théorème de M. Biernacki, on ne peut avoir / > n — 3 lorsque la limite est atteinte, il faut nécessairement que {= o ou {= 1. D'ailleurs, si {= 1, on a, d’après (12),0,— 0, d’où |£|—|y,|<1; la limite est donchien atteinte pour {= 0. |

12. Revenons au problème posé au n° 10; remarquons qu’on peut le considérer comme complémentaire de celui que nous avons étudié dans la première partie; il s'agissait alors, étant donné un entier h, de trouver un cercle qui contienne toujours un nombre de racines au moins égal à h; ici, au contraire, c’est Le cercle qui est donné, et le nombre minimum de racines intérieures qui est inconnu. Il semble donc naturel de s'adresser, pour attaquer ce problème, à des formules analogues à celle de Cauchy donnant le nombre des racines d’une équation dans un contour; et de fait, c’est au fond une transformation de la formule de Cauchy qui va nous fournir notre méthode d’investigation.

Nous avons exposé cette méthode, en vue d’autres applications, dans un travail antérieur | 12] auquel nous renverrons pour les démonstrations. À quelques modifications de détail près, la règle fondamentale à laquelle nous sommes parvenus, et qui va nous servir de base, peut s’énoncer de la manière suivante :

Considérons l'équation

(37) LR ROUE) 0;

arret

que nous supposerons n'avoir aucune racine sur la circon férence du cercle unité. Par hypothèse, 9(3) est une fonction méromorphe dans le cercle unité (C) et sur sa circonférence. Elle fait correspondre à (C) un domaine (A) étalé sur une certaine surface de Riemann (2) à un nombre fin de feuillets; nous supposerons que les points Æ 1 ne sont pas des points de ramification de cette surface ().

Dans chaque feuillet, traçons le segment L, joignant les points + 1, et divisons la partie de (A) qui se trouve dans ce feurllet en un nombre fini de domaines, à l’aide de lignes auæiliaires l, ne coupant pas L,, de sorte que chaque domaine partiel rentre dans l’une des quatre catégories suivantes :

1° Ou bien le segment L est complètement extérieur au domaine : Ou bien le segment L est complètement intérieur au domaine ; 3° Ou bien la partie (Y) de la frontière du domaine qui fait aussi partie de la frontière de (A) coupe L en un seul point N, la portion du segment L allant de N au point + 1 étant intérieure au domaine partiel [ou, d'une maniève analogue, (y) coupe L en un seul point M, la portion de L qui va de M à — 1 étant intérieure au domaine]; 4° Ou bien (y) coupe L en deux points M, NIR(N)< R(M)| ( ) tels

que le segment MN soit intérieur au domaine.

Attachons alors à chaque domaine partiel un indice à égal à zéro pour les domaines de première catégorie, à un pour les domaines de deuxième catégorie. Pour les domaines de troisième et quatrième catégorie, désignons par P et Q les points de la circon férence de (C) auxquels la foncüono(3z)

() Dans les applications, la fonction 6(:) dépendra en général d’un certain nombre de paramètres arbitraires, et les deux restrictions que nous faisons sur cette fonction sont en général vérifiées sauf pour un nombre fini de valeurs de ces paramètres : on étudiera donc simplement ce qui se passe pour ces valeurs en s'appuyant sur la continuité des racines en fonction des paramètres. Au besoin, si 6(z) ne contient pas de paramètres arbitraires, il est toujours possible d’en introduire un, comme nous le verrons plus loin (n° 13).

() R(z) ou R(M) désignera, dans tout ce qui suit, la partie réelle de Ia variable z ou de l’affixe du point M.

rage fait correspondre les points désignés par M et N, et posons

R(P)— R(M) nn AQ—RIN) 4, [R(P) —&(M) |’ 9 JR(Q)—R(N)|

Nous ferons alors correspondre aux domaines de troisième catégorie l'indice

ou NS 1— lp OR ro)

suivant qu'on est dans l’un ou l’autre des cas définus ci-dessus. Enfin, pour les domaines de quatrième catégorie, nous prendrons

s—lo—b.

Ceci posé, le nombre des racines de l'équation (37) intérieures au cercle unité est égal à

(38) Mr 420, la somme étant étendue à tous les domaines partiels.

Il est facile de généraliser cette règle lorsque, au lieu de prendre o(3) holomorphe dans (C), on suppose que cette fonction admet, dans (C), p déterminations se permutant entre elles, et n’a d’ailleurs dans (C) d’autres singularités que des points critiques algébriques ou des pôles. Il faut alors remplacer le cercle (C) par p cercles superposés situés sur p feuillets de la surface de Riemann (S) sur laquelle o(z) est uniforme. On raisonnera comme ci-dessus sur chacun de ces cercles, entaillé par des coupures le long des lignes de croisement de (S); on constate aisément que ces coupures n’interviennent pas dans l’évaluation finale de 91. Si (A) est encore le domaine que ®(3) fait corres-

(1) Ces formules n'ont plus de sens lorsque R(P) —R(M)ouR(Q)=@R(N); une racine au moins (et une seule en général) vient alors sur la circonférence, au point P ou OQ suivant le cas.

RC UT

pondre aux p cercles situés sur (S), on a, au lieu de (38), la formule (39) AN = p + Eà,

la sommation étant étendue aux domaines partiels de (A). C'est de cette formule que nous allons faire usage dans l'étude des équations de la forme

(40) es D RO (NEO,

®(3) étant holomorphe dans le cercle (C); enposant 7 = 1, on obtient

bien en effet une équation du type (37), et 1 est une fonction à p déterminations se permutant autour du seul point critique t = o.

13. Considérons d’abord le cas où, dans l'équation (40), on a 9(0o) = o et où, de plus, le domaine (A) est étoilé par rapport à l’origine. Nous entendons par là que, lorsque le point z décrit la circonférence (C) dans le sens positif, le rayon vecteur joignant le point Z — o au point Z= 9(3) tourne toujours dans le sens positif. En choisissant comme lignes de croisement de la surface (È£) des demi-droites issues de Z — 0, ou dont le prolongement passe par ce point, on voit, d’après cette définition, que la partie du domaine (A), située dans un feuillet quelconque, forme un domaine étoilé, au sens ordinaire (‘).

Nous allons chercher, dans ce cas, à obtenir un minimum pour 91. Considérons, au lieu de (40), l’équation plus générale

où nous supposerons d’abord que À est un paramètre réel pouvant varier de o à +. Il est alors évident, en vertu de notre règle et du fait que (A) est étoilé, que, lorsque À croît à partir d’une valeur À, telle que|À,®(z)|< 1 dans le cercle unité, le nombre des racines de (41) intérieures au cercle unité ne peut décroitre; en effet, pour À = À,, tous les domaines partiels sont de quatrième catégorie; lorsque À croît, les points Q et P ne dépendent pas de À, R(M) croit et R(N)décroit, donc I, ne peut que croître et 1, que décroitre; d'autre part, le passage

(:) C'est-à-dire que si M est un point intérieur au domaine ou sur sa frontière, il n’y a aucun point du segment OM extérieur au domaine.

eee

d'un domaine de quatrième catégorie à un domaine de troisième catégorie se marque en faisant 1, = + 1 ou I, = — 1, et le passage à un domaine de seconde catégorie en donnant simultanément à I, et I, ces. deux valeurs. Pour avoir le minimum de 9, nous pouvons donc prendre À suffisamment petit pour que la plus grande de toutes Îles quantités | R(M)|, | R(N)| soit inférieure à la plus petite de toutes les quantités [R(P)|, | R(Q)| différentes de zéro. Remarquons d'autre part que, comme (39) s’écrit

Rp +22 br) =p + = Slo— 2El

et qu'ici les points M et N sont bien définis, indépendamment de la décomposition de (A) en domaines partiels [ puisque les points N sont ceux situés sur le segment (o, — 1) et les points M ceux situés sur le segment (0, + 1)], on peutassocier ces points d’une manière arbitraire, sans tenir compte de cette décomposition. Nous associerons alors à chaque point N le premier point M que l’on rencontre lorsque t parcourt (C) dans le sens positif, en partant du point Q. Les indices que nous évaluerons sont ceux que donne la formule D Here

lorsqu'on l’applique à deux points associés.

Prenons alors pour un arc QP correspondant à deux points associés la détermination comprise entre o et 27, et désignons par w, et w, les points d’affixes &, = + à, &, — — à sur la circonférence (C). En tenant compte du choix de À, on voit que :

PTS à = +1 si QP contient w, au sens large, et ne contient pas w, au sens strict (!):

NI

VTT 0 = 0 si QP contient w, au sens large et w, au sens strict; AE N Ê . 5 0—=—1 81 QP ne contient pas w, au sens large, et contient w, au

sens strict.

(t) Nous dirons qu'un arc contient un point au sens strict si ce point est intérieur à l’arc, au sens large si le point est intérieur à l’arc ou éonfondu avec une de ses extrémités.

Re On a donc, quel que soit À réel et positif,

ALES l, étant le nombre des arcs QP contenant w, au sens large, l, celui des FT

arcs QP contenant w, au sens strict. Il est d’ailleurs évident que ce résultat est encore exact si l’on prend une détermination quelconque

ae pour QP (étant entendu que si un arc contient un point # fois, il est compté # fois dans l'évaluation de Z, ou L,).

Dans tout ce qui suit, nous désignerons par 0 l'argument de z, par 5 = p0 l'argument de t— z?, et nous poserons

le

Prenons alors pour chaque arc QP sa détermination naturelle : nous entendons par là la variation de 3 lorsque le point o(e") va de Nen M le long de la frontière de (A). en tournant dans le sens positif et sans passer deux fois par la même position. Dans ces conditions, on peut

. , . K = à encore dire que /, est égal au nombre des points Z(%) situés dans le demi-plan inférieur ou sur l'axe réel du plan des L; de même, L, est égal au nombre des points Zi(— z) situés dans le demi-plan inférieur du :

plan des Z (à l'exclusion de l'axe réel).

Si maintenant on donne au paramètre À des valeurs complexes, cela revient à faire tourner le domaine (A) autour de l’origine; il faut donc remplacer l'inégalité (42) par |

l'étant le minimum de (1, — L;), lorsqu'on remplace, dans la définition de ces nombres, le demi-plan inférieur du plan des Z par un demi-plan limité par une droite arbitraire pivotant autour de l'origine.

Il résulte d’ailleurs de la démonstration que l'inégalité (43) est la meilleure possible, car elle se transforme en égalité pour une valeur convenable de À.

14. On peut encore donner l’énoncé suivant, plus simple d'aspect,

ER T es

mais moins précis : St, paru les p points Z,(S) (k= 0,1, ..., p—1), il y en a toujours l, au moins situés d'un même côté d'une droite issue de l'origine (y compris les points situés sur la droite) lorsque © et cette droite varient arbitrairement, le nombre des racines de l'équation (41) tntérieures au cercle unité, est au moins égal à 21,, quel que soit le paramètre À. En effet, on a /, 24 et 4 Sp —L4,. Mais le fait que la limite obtenue est un nombre pair montre que certainement cette limite n'est pas toujours atteinte.

En faisant des hypothèses supplémentaires sur 9(3), on peut arriver à de meilleures limites. Supposons par exemple que p soit impair, et (3) une fonction paire, alors tout point d'affixe ARS est confondu

avec un point d’affixe Z(—T); on a done 24%, d'où A 2p.

Supposons maintenant que p soit parr el 9(3) éëmpaire ; on a dans ce cas 1,2E et L£E puisque les points d’affixe Z,(2) sont symétriques deux à deux par rapport à l'origine : donc iei encore 2t2p. On peut

résumer ces deux propriétés en disant que st 3/9(:) est une fonction umpaire, On a toujours

15. L'application de ces propriétés à l'équation trinome donnerait immédiatement le résultat de MM. Herglotz et Biernacki. Nous allons les utiliser dans l'étude de l'équation quadrinome. Nous supposerons l'équation ramenée à la forme

(45) 1+5/V+ a su asso (2p LR < Ra),

P, ñn, et, étant premiers dans leur ensemble, x, et 7, pouvant être tous deux pairs (ce dernier cas se produit lorsqu'on pose æ = +? dans l'équation

(46) 1+ 2 + aa + ads — 0,

où p est impair, p, 2, et m, premiers dans leur ensemble: pour revenir à l'équation en x, il faudra diviser par 2 le nombre de racines trouvé ).

ETS De L’équation (45) est bien du type (4o) avec

g)=— -|a,3"1P ESS PEU MIE o(z) La + ds | Nous poserons

a; : da , p 2= (2 dE Cr ne — es —(D1Cu, A 2, DES CCE Ci

La frontière du domaine (A) est comprise entre les cercles

[ZI= pi + Pa et FZ1=)p:— pi |- Il s'ensuit que si{o, —9,[> 1, tous les domaines partiels de (A) sont de première ou de seconde catégorie, suivant qu'ils ne contiennent

pas ou contiennent l origine. Donc, pour bp, — 9, >1,on a 9T— n,, et pour pif: >1, 2 —n,.

16. Pour appliquer les résultats obtenus ci-dessus, nous pouvons

considérer — comme fixe, 4, comme un paramètre variable. Il nous

- faut d’abord déterminer pour quelles valeurs de = le domaine (A,) que fait correspondre au cercle unité la fonction Ÿ: (z) — ump pet z"sP

est étoilé. On sait que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que

etg (ei).

D D nl ES

lorsque 0 varie de o à 27. On trouve, par un calcul facile, que cette condition est équivalente à

EGu—p)—(R—plp]l1—p]20, c’est-à-dire (48) p21 ou p<

Nous commencerons par supposer que l’une ou l’autre de ces conditions est vérifiée.

Il résulte alors des n° 13 et 14 que, tout d'abord, s n, et n, sont

rie

tous deux impairs, on a

Ip.

S'il n’en est pas ainsi, il faut étudier la distribution, par rapport à une droite (D) issue de l’origine des p points

Zr(3) CAE OR RS DEL)

lorsque S et (D) varient arbitrairement. Dans l'expression de Z;(3), nous supposons à fixe; mais il est clair qu’il revient au mème, pour la recherche du nombre /,, de laisser « fixe et faire varier la droite (D), ou de laisser (D) fixe et faire varier «. Supposons donc que (D) soit l'axe réel; il nous faut évaluer le nombre minimum des quantités