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g £ € SEE Die À Êr= A RE lire + p sin Len p) ee ne 1

P CR 0 Tir Di al) qui sont de même signe, lorsque S et « varient arbitrairement, p ayant une valeur quelconque satisfaisant à (48).

Voici un procédé donnant une borne inférieure de ce nombre ne dépendant que de p, n, et n, : formons l'équation (E) de degré p ayant les £; comme racines; si l’on pose

un calcul simple montre que l’on a

Soi 90,

sauf s'il existe deux nombres entiers L, et 14, positifs ou négatifs, de parités différentes, et tels que (49) Pal + Mol = 0 (mod p), [l+lplSah +.

Supposons d’abord que

n,7%40 (modp), R;7Æ 0 (modp)

et soit 2g +1 le plus petit nombre impair tel qu'il existe deux entiers u., et ba, solutions de (49), avec [u|+|u,|= 29 +1 (on a 9 > 0,

Ets

d’après l'hypothèse sur 7, et n,). On a donc

Die By Dim te y 0

et, par suite, d’après les formules de Newton,

A — d3— A3 —...— Ag i = 0;

a; étant le coefficient de £?- dans l'équation (E). D’après le théorème de Descartes, l'équation (E) à donc au plus p — q racines d’un signe déterminé, et comme toutes les racines sont réelles, au moëns q racines d'un signe déterminé. D'après le théorème du n° 14, on a, par suite,

17. Ilest parfois possible d'améliorer cette limite en utilisant la proposition plus précise du n° 13. Rangeons les solutions de la congruence (49) suivant les valeurs croissantes de |[u,|+{u|, et supposons qu'il n'existe aucun couple de solutions tel que|u,|+|1| soit un nombre parr inférieur à 2q +1. Soient alors x°, x? les premières solutions que l’on rencontre pour lesquelles, ou bien

h=|\p{|+lp,

est un nombre pair (h?2q +1), ou bien in, + un, est un multiple pair de p.

On voit alors aisément que les sommes $,, d'indice impair inférieur à À ne changent pas lorsqu'on augmente © de +, et que les sommes d'indice pair inférieur à k ne dépendent pas de S.

Pour appliquer le résultat du n° 13, donnons à $ successivement les

valeurs + = et — = et soient (E,) et (E,)les équations ayant pour

racines les £, correspondants. Il résulte de la remarque précédente que ces équations ont les mêmes coefficients jusqu’au terme en &” "+! inclus. Si s est le nombre de variations de la suite

Ag Tog+1s Uoq+2) ……. Ah ‘

il résulte immédiatement du théorème de Descartes que l’une des équations admet au plus p — h + q + 6 + 1 racines positives, et l’autre