RP DES

: T : ‘ intervalles (0,4,) et (4 +7, x); en fout cas, il y a au moins

EE): valeurs de Ÿ; pour lesquelles {, > 0, quels que soient S

et «; d’où

limite meilleure que la précédente dès que p212.

18. Nous avons jusqu'ici laissé de côté le cas où 2, ou n, est multiple de p. Si n,, par exemple, est un multiple impair de p, la considération des points Z,(S) montre que

N2p si A, — p est pair, A 2>p—1 si n,— p est impair.

Ces limites sont les meilleures possibles; on en a d’analogues lorsqu'on intervertit n, et n, dans les énoncés.

Lorsque n, ou n, est multiple de 2p, on sait que l'équation (45) peut n’avoir aucune racine intérieure au cercle unité. ;

Il est seulement possible ici de donner une limite inférieure de 9t en fonction de £. C’est ainsi que lorsque », est multiple de 2p, on trouve.aisément que pour pe >1,0ona

Dr 22E( 2e), Si 2T

Yo — 2 ArC COS —-

De même, si », est multiple de 2peto<1,ona 226 (2%), D. OUT:

avec o— 2 arC COSP.

En résumé, on peut dire que l’équation quadrinome (45) a toujours une racine au moins dans le cercle unité lorsqu'on suppose vérifiée l’une des conditions (48), sauf lorsque n, ou n, est muluple de 2p.

EN On

19. Passons maintenant au cas où le domaine (A,) n’est plus étoilé, ce qui correspond aux valeurs de £ telles que

n,—p ee Ne D

Il nous faut d’abord étudier de plus près la forme de la courbe (F,), frontière de (A,), définie par l’équation

Z — R ei — ptu—plid es peilta=plèon, Posons, pour simplifier, D TD, EDIT L

IL est immédiat que, lorsque 6 augmente de —=T—, R reprend la Mo — M;

A 2M,T . s même valeur et @ augmente de ===; on peut donc se borner à LS 1

étudier la portion de la courbe décrite par Z lorsque 0 varie dans un intervalle d'amplitude —T—: On à Mi — M Bi + pt + 3p cos, d® p(b + cos).

dô R° 0. ;(m,= mi) p(p°= 0x1) say DIE FR? <

où d—(m,— m,)0 + &.

Traçons la courbe de variation de @ en fonction de 0; on peut sup-

; : , ? : 3 : S à 2T CRE poser, pour simplifier, « = o et 8 variant de o à ne Y varie alors te 1

; de de o à 27. Lorsqu'on change 4 eh 275 — +, “ne change pas; la courbe de variation de @ est donc symétrique par rapport au point

T 7 A) Ma — M

PAPERS \ mi M

AL ||: Re

à d® , d° Comme TS annule pour une seule valeur dé cosŸ, et que x sl négatif pour o [4 € 7; on construit aisément la courbe (fig. 1).

D'autre part, R? ne change pas lorsqu'on change Ÿ en 27 — 4, et décroît constamment de (1 + 0}? à (1 — c)? lorsque Ÿ croit de o à 7. La portion de la courbe (F,) que nous considérons est donc symé-

———— ; pour les valeurs de 0 com- M — M

prises entre les abscisses des points C et C’, elle présente une boucle, vue de l’origine sous un angle inférieur à x ('), et coupée en deux points au plus par tout rayon vecteur. Il est d’ailleurs aisé d’avoir une limite supérieure pour l'intervalle de variation de 0 qui correspond à une demi-boucle; on a, en effet, sur la figure 1, AC£AB, OB étant la tangente à l’origine, de coëfticient angulaire

trique par rapport à la droite ® —

dÔ\ m,+m,p € Du Ma d0 J6.: 1#6 2

(:) En effet, cet angle est égal à la différence du maximum et du minimum de ®, doñc inférieur à la différénce des ordonnées des points D et D'(/£g. 3), soit

T Mi + Map MT = Lee

Ms; — M, 110 Mo mi I1+P

2AD=a|

Il vient donc, par un calcul facile,

On constate aisément (‘) que la boucle contient, sur son axe de symétrie, un point de ramification V de (£), correspondant à une racine de ®, (z)— 0, différente de z — o.

Le domaine (A,) présente donc (m, — m,) boucles de cette nature, distinctes ou confondues en projection sur le plan simple, chacune d’elles se trouvant sur un seul feuillet de la surface de Riemann (2), si l’on prend pour ligne de croisement issue du point V la demidroite VS qui joint ce point au point double de la boucle (fig. 2). On peut alors prendre comme domaines partiels de (A,), les (m, — m,)

boucles entaillées par les coupures à deux bords VS; d’après ce qui

(*) I suffit de calculer le rayon vecteur R, du point double S; on trouve sans difficulté __ sin(m, — m;,)y EE sin 773 @

9 étant le plus petit angle positif solution de l'équation

SIN M — p SiInMap — 0.

m; ; rte UT : My; — m Comme p> —, on voit que + est inférieur à —, et, paresuite, Ro 2r, m m, = à 2 M “ te UC Or, le rayon vecteur du point V est au plus égal à =". M

précède, il reste un domaine étoilé (A'), ramifié m, fois à l’origine, et qu'on décomposera en domaines partiels comme il a été expliqué antérieurement.

On peut raisonner sur (A) comme nous l’avons fait au n° 13; la somme des indices des domaines partiels de (A') sera encore supérieure à /, — /,, avec la première définition de ces nombres; mais on ne peut plus en déduire une limite ne dépendant que de la répartition des

” 11% T A , , ù points Z,{- Lil — - : .HSs ; po L(T) et i( par rapport à l’axe réel. Il se peut, en effet (Jig. 2), qu'entre les points associés N et M se trouve une coupure VS,

, : T que la boucle correspondante coupe l'axe réel et qu’un point Z(5) se trouve sur la portion M'N' de cette boucle située au-dessus de l’axe

PRES $ ee

réel. Cependant, l’are QP correspondant contient évidemment le point w, au sens large, donc doit être compté dans /,. Il faut, par conséquent, modifier le résultat du n° 13 de la manière suivante :

Soient }, le nombre des points A(7) situés dans le denu-plan in/fé-

rieur ou sur l'axe réel; 5, le nombre de ces points qui se trouvent sur des boucles dont le point double est dans le demi-plan supérieur; +, le nombre

des points L, (£) situés dans le denu-plan supérieur (axe réel exclu) sur des boucles dont le point double est dans le demu-plan inférieur; on a

= k— ci T;.

Il vient de même LR — 02 + To

avec des définitions analogues pour À,, 6, et Tv, relativement aux points Zi(- =): Si, d'autre part, on désigne par y», v,, y, le nombre des boucles dont l'indice est respectivement — 1,0,+ 7, il vient finalement, d’après (44),

(52) C2 D PM haine) (or Fu) eV

20. Pour utiliser cette inégalité, on cherchera une borne inférieure pour (A1— À,) par les mêmes procédés que dans le cas où (A,) était étoilé; on pourra appliquer, en particulier, les formules (50) et (51)

[où il faut remplacer 97 par (p + À, —X,)]. Avant de liiniter de même les autrés termes de (52), indiquons quelques cas où cette formule se simplifie.

j s : EME À : . 2 eur T Supposons d'abord n, et n, impatrs; si p est impair, les points Zi(E)

T à À et Z(— 2) sont confondus, d’où À, — 5,2 À — Go, Ti = To, €t, par

suite, (53) N2p+v-—

Si p est pair, les points Z, (£ ) sont deux à deux symétriques par rapport à l’origine, ainsi que les boucles: donc À, — 5, + et, de même, À» — C5 + To <£. La formule (53) est encore valable. |

On peut, d’ailleurs, dans ces deux cas, donner pour » une limite supérieure plus avañtageuse que (n, — n,). Considérons, par exemple; une boucle dont le point double est dans le quatrième quadrant (nous dirons, pour abréger, « une boucle du quatrième quadrant ») et dont l'indice est égal à — 1 (fig. 2);onadonc

Si p est impair, il existe une autre boucle confondue en projection avec la première, et pour laquelle les points P, et Q', correspondant à M’ et N', sont respectivement symétriques de P/ et Q’ par rapport à l’origine ; donë,

L'indice de cette seconde boucle ne peut être que o ou 1. Si p est par, il existe une boucle symétrique de la première par rapport à l’origine, coupant l’axe réel en M et N°, respectivement symétriques de \ et M'; les points P' et Q’ qui correspondent à M' et N' sont respectivement confondus avec Q’ ét P'; dône,