RO NRA (PIE T0 MN
lu =+ Le
Cette nouvelle boucle est encore d'indice o où 1. Ainsi, lorsque n;
= Me
et», sont impairs, à toute boucle d'indice — 1 correspond une boucle
d'indice o ou tr, donc DES LES et comme VS ne Ne
Rene + 2 Finalement, st n, ét n, sont impatrs etst2p > n, —n,,0on a
ONE) D EEE A Fe 2
Sans faire d’hypothèse sur la parité de n, et n;, nous allons montrer que s1 l’on désigne par h le minimum de(p+À,—X;)étsih2n; —n,, on a
(54) HER EURE nY Remarquons, en effet, que les points M, N où une bouclé coupe l’axé réel sent toujours sur la même demi-boucle; d’après ce qu’on a vu
. RTS plus haut, on a done, pour l'arc Q’P' correspondant,
AO RS OURS REC, puisque M, > mi > p.
My + Ma 2
Considérons alors une boucle du quatrième quadrant (fig. 2),
contenant sur l’are M'N' un point Zu - 5) | d'après l'inégalité précé- “à
dente, elle ne peut en contenir plus d’un et ne contient pas non plus de points A(E)| L'arc P'Q’ correspondänt contient le point w,, donc R(P')<o, 1,5 — — 1. La boucle ne peut être que d'indice o ou r. Il en est dé même pour toutes les boucles des troisième et quatrième quadrants contenant les +, points Lie ) situés dans le demi-plan
supérieur. On voit également que les boucles des premier et second
quadrants, contenant les 6; points Z(=) du demi-plan inférieur, ont
aussi comme indicé o ou ï. Donc, commé toutes ces boucles sont
distinctes, di BE VE Ve,
Sn FREE
d’où Ti TV SN, —n,
et, en portant dans (52), on en déduit l'inégalité (54).
21. Revenons maintenant au cas général où nous ne faisons aucune hypothèse a priori sur p, n, et n,; pour utiliser la formule (52), nous allons chercher un maximum pour lexpression (o,+ 7 + v); on aura ensuite
A > Min(p + À; — À) — Max(o, + T, + v-), ce qui donnera une limite pour 9 si le second membre est positif.
Pour rechercher ce maximum, nous nous placerons dans le cas le plus défavorable, celui où toutes les boucles coupent l’axe réel en des points de module inférieur à un. On constate aisément que ce cas peut effectivement se produire lorsque 9 est assez voisin de 1. Dans ces conditions, 6, est inférieur au nombre maximum des points Zi(=) situés sur les moitiés droites des boucles du premier quadrant, augmenté
ë : T : 2 CORRE du nombre maximum des points Z(=) situés sur les moitiés gauches des boucles du second quadrant; de même, +, est inférieur à la somme : s se T se Fe Ë du nombre maximum des points Z(— :) situés sur les moitiés droites des boucles du troisième quadrant, et du nombre maximum des points Za( — :) situés sur les moitiés gauches des boucles du quatrième
quadrant.
Pour avoir le maximum de » , remarquons que si l’on désigne par R, la longueur de la tangente à une boucle issue de l’origine d® do découpés sur l’axe réel par les boucles des premier et quatrième quadrants contiennent tous le point B d’affixe R,; de même, les segments découpés sur l'axe réel par les boucles des second et troisième quadrants contiennent tous le point B, d’affixe — R,. Soient B, et GB, les points de la circonférence (C), situés respectivement dans le premier et le quatrième quadrant et qui se projettent au point B; soient, de même, f, et 6, les points de (G) qui se projettent en B. |
(valeur de R correspondant à la racine de = — 0). les segments M'N'
si ES
Ceci posé, pour qu’une boucle du premier quadrant ait pour indice
— 1, tl est nécessaire que l'arc @ P' correspondant contienne le point 8, ; donc, le nombre des boucles du premier quadrant d'indice — 1 est au plus égal au nombre des points Z;[argB,] situés sur les moutiés droites des boucles du premier quadrant. On raisonne de mème sur les boucles des trois autres quadrants; on voit donc finalement que nous pourrons obtenir un maximum pour (6,+7,; +v), une fois que nous aurons résolu le problème suivant : Déterminer le nombre maximum y des points Z,(3) situés sur les moitiés droites (ou gauches) des boucles d'un quadrant donné; pour fixer les idées, nous supposerons qu'il s’agit des moitiés droites des boucles du premier quadrant.
Pour résoudre ce problème, nous procéderons de la manière suivante : soit 0, la valeur de l’argument de z à laquelle correspond,
sur (l,), le sommet d’une boucle; les sommets de toutes les autres
2kT boucles correspondent aux valeurs 0, +=; # prenant (m, — m) Cr 1 valeurs entières, deux à deux incongrues [mod(m,—m,)]; nous
déterminerons successivement :
1° Les valeurs de # pour lesquelles la boucle est dans le premier quadrant;
2° Les valeurs de Æ pour lesquelles la moitié droite de la boucle contient un point Z,(2).
Le nombre maximum des valeurs de la première suite congrues [mod(m, — m,)| à des valeurs de la seconde sera le nombre » cherché.
2T 2M,T ee 1° Lorsque 0 augmente de ———, @ augmente de ————. Si m, Mo — Ma Mo — M et m», sont premiers entre eux, les (”, — m,) boucles sont distinctes sur le plan simple; s’il n’en est pas ainsi, en désignant par d le plus
grand commun diviseur de m, et m,, et en posant
== As Haas,
il y a(u — u.) boucles distinctes sur le plan simple, chacune d'elles étant la projection de d boucles sur la surface de Riemann. Si, à un nombre entier #, correspond à une certaine boucle, les nombres cor-
ue
respondant aux boucles confondues avec elle en projection sont de la forme # + (ue — p)æ,, æ, prenant les valeurs o, 1, ..,, (d—1); ces nombres étant évidemment deux à deux incongrus [mod(m — m;)], on obtient bien ainsi toutes les boucles considérées.
Ceci posé, 11 y a r=E(ER)+e boucles, distinctes en pro-
jection, situées dans le premier quadrant; e peut prendre l’une des valeurs o et 1. Supposons qu’à la valeur 0, de 0 corresponde le sommet pour lequel ® a la plus petite valeur positive; cherchons le plus petit angle positif qu'il faut ajouter à 0 pour passer de ce sommet à celui dont l'argument est immédiatement supérieur, c’est-à-dire pour
augmenter @ de pi Pour cela, désignons par A le plus petit BEI L à x
entier positif tel que
Ap= A'(p— tu) 41 (A' étant entier).
, ’ » s À L'angle cherché est égal à —=7=, car la valeur correspondante dont - Mo — M, augmente O est
2ÂAMR SAUT
= Ne Mo IN, Poe ur
Il en résulte que Les valeurs de k correspondant aux boucles du premier quadrant sont de la forme
(55) (Hi — Hdi + A,
æ, prenant toutes les valeurs entières comprises entre o et (d—1}), x, toutes les valeurs entières comprises entre o et(r — 1). En effet, A est premier avec (u:—u,) et r <l — L,; ces valeurs sont donc bien deux à deux non congrues [ mod (m1, — m,) ||. |
2° Les moitiés droites de toutes les boucles correspondent à des intervalles de variation de 0 contenus, d'après ce qu'on a vu plus haut, dans les (m7, — m,)intervalles :
Le ANR MR 2 UE s 0 L 1 79 4 = ?
My M, Mat M, Ie — In,
DT te
intervalles que nous désignerons par à (‘). D'autre part, les points 3 /
Z4,(S) correspondent aux p valeurs He de 0, À prenant p valeurs entières deux à deux incongrues (mod p). I s’agit de déterminer les valeurs de # pour lesquelles l'intervalle 3 correspondant contient un de ces points (on sait d’ailleurs qu’il peut y avoir un seul
point au plus dans chaque intervalle). Pour cela, remarquons que si
F . Ë 24 0, se trouve dans un intervalle #, toutes les valeurs 8, + es seront
également dans des intervalles 3 pourvu que
2 de MST re
EE um et aq! entie SE P M; — mm; (g 4 À )
Désignons donc par d' le plus grand commun diviseur de pet (m;—m,), et posons.
p—d'&, MM = dy:
Si l'intervalle 3 correspondant au nombre entier Æ contient un point 0,, il en sera donc de mème des intervalles correspondant aux nombrés k + yæ,, æ, prenant les valeurs 0,1... (d'— 1); ces intervalles sont évidemment tous distincts, puisque les entiers # correspondants sont deux à deux incongrus [ mod (#1, — m,)]. Les points 6; qu'ils contiennent sont tous situés dans la même position vis-à-vis de leurs extrémités ; nous dirons, pour abréger, que ces intervalles sont équivalents entre eux; il est clair qu'il n’y a pas d’intervalles Ÿ correspondant à d’autres valeurs de #, qui leur soiént équivalents.
Soit, d'autre part, B le plus petit entier positif tel que
Bo = B'y—1 (B' entier),
ce qu’on peut écrire
Bb 1 LEE A su UE ou 11 B 1 PSV RENE PRE te P Me — M D(/Ma=r Mi)
(*) Lorsque p tend vers 1, on constate d’ailleurs que les intervalles de variation de @ tendent vers les intervalles 4; si l'on ne tient pas compte des valeurs de p, il est donc impossible d'obtenir une meilleure valeur du nombre v.
Comme B’ est premier avec &, nous pouvons prendre comme nombre les p entiers de la forme & æ;, + B'x,,x, variant de 0 à (d'— 1), x, de o à m— 1. D'après la relation précédente, on voit que la différence
< à 2T : s entre deux valeurs 0, est, à un multiple de es Pie multiple de LR 1
———. Il y a donc autant de systèmes d’intervalles Séquivalents & (M, — M) ÿ
—— peut contenir de points dont les Mi + Mo
qu'un intervalle de largeur
distances mutuelles sont des multiples de = » SOIÉ
DL. [ee | | TE As S=El ———— 1|+1h avec n — 0 OÙ N —=1I.
Soit alors #, une valeur de # pour laquelle l'intervalle 3 contient un point 6, tel que
2K,T T 2T Ôz 0, + : LÉ " Me — M, M + Mo D(M:— M;)
Il résulte de ce qui précède que les valeurs de k pour lesquelles les moi-
tués droites des boucles correspondantes contiennent des points Z,(S) sont de la forme
(56) KP yx, EBZX,,
æ,; prenant toutes les valeurs entières comprises entre o et(d'— 1), x, toutes les valeurs entières comprises entre 0 ets — 1.
Finalement, on voit que le nombre v est égal au maximum, lorsque k, prend toutes les valeurs entières de o à (m, — m,), du nombre de solutions dishunctes de la congruence
(57) (e— Bt, + Am ya; —Ba,=k [mod(m,— m,)]
qui satisfont aux conditions
