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a au plus p racines dans le domaine (D), et qu’il existe une valeur de a au moins pour laquelle l'équation (1) a exactement p racines intérieures à (D) (les racines étant comptées avec leur ordre de multiplicité); on dit encore que p est l’ordre de multivalence de la fonction dans (D). En particulier f(z) est univalente dans (D) si elle v prend une fois au plus toute valeur. Comme l’ordre de multivalence est invariant par une représentation conforme, on peut se borner, pour

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étudier les fonctions p-valentes dans un domaine simplement connexe, au cas où ce domaine est un cercle centré à l’origine, en parti-

culier le cercle unité. | En supposant f (3) holomorphe dans le cercle unité, et représentée

par le développement en série de Taylor,

(2) IC) = bar EL Fans Er.

on est amené naturellement à se poser le problème suivant : (A) Quelles sont les conditions nécessatres et suffisantes que doivent remplir les coe fficients de la série (2) pour que f(z) soit au plus p-valente dans le cercle unité? ([18]), p. 83). Ce problème est actuellement loin d’être résolu, même pour les fonctions univalentes. Dans ce dernier cas, on a seulement pu obtenir des conditions nécessaires, sous forme de limites supérieures pour les modules des coefficients : en général, on peut montrer que si f(z) est univalente dans le cercle unité, on a

(3) la l<( + = Jen.

Pour |4,|et |a,|, on a les limites plus précises

(4) la l<S2, ass,

; : : z = et ces linutes sont atteintes pour la fonction DE. ([18], p. 74 et 80).

On peut encore poser le problème précédent sous la forme équivalente suivante : (B) Les coefficients de la série(2) étant donnés, déterminer le rayon R du plus grand cercle ayant pour centre l'origine, et où f (2) est au plus p-valente. [R est dit rayon de p-valence de f(z)|. En effet, si l’on savait résoudre ce problème, il suffirait d'écrire R21 en remplaçant R par son expression en fonction des coefficients de (2) pour avoir les conditions nécessaires et suffisantes cherchées:; et réciproquement, R est la plus grande valeur du nombre positif r pour laquelle les coefficients de la série