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ple, les inégalités (4) donnent, pour le rayon d’univalence, les inégalités correspondantes

Remarquons enfin qu’on peut, sans diminuer la généralité des problèmes précédents, se borner au cas où f(3) estun polynome. Cela résulte du théorème suivant, dû à M. P. Montel ([17], p. 253): St une suite de fonctions holomorphes f,(z), f:(z),..., f,(z),..., au plus p-valentes dans un domaine (D), converge uniformément vers une fonction f(z) différente d'une constante, f(3) est au plus p-valente dans (D ); réciproquement st une suite de fonctions holomorphes f, (32), fa(3);..., fn(z)... converge uniformément vers une fonction f(3) au plus p-valente dans le domaine (D) toutes les fonctions de la suite sont, à partir d'une certaine valeur de n, au plus p-valentes dans tout domaine (D') complètement intérieur à (D).

2. Nous nous proposons, dans ce qui suit, d'étudier quelques aspects du problème (B), en nous limitant à la recherche du rayon d'univalence R d’un polyonme

f(z)=3+a23+...+ans.

Nous commencerons par transformer la définition de R. Considérons, dans ce but, l’ensemble des valeurs que prend f(z) sur la circonférence (C) d’équation|z|—R. Tout d'abord, si « est une de ces valeurs, les autres racines de l’équation f (3) — x —o ne peuvent être intérieures au cercle (C). En effet, si z, est la racine située sur la circonférence, 3, une racine intérieure à (C}), la relation f(6,) = f(G) établit une correspondance continue entre les points €, voisins de z, et les points €, voisins de z, ; il serait alors possible de choisir €, intérieur à (C)et assez voisin de z, pour que €, soit également intérieur à (CG); f(z) ne serait pas univalent dans (C).

Ceci posé, je dis que R est caractérisé par le fait que sur la ctrconérence (C), le polynome f(z) prend deux fois au moins une certaine valeur «, en des points distincts ou con fondus, et qu'aucune circon férence |:l=7r<R ne possède cette propriété. La seconde partie de cette proposition est évidente d’après la définition de R. Pour établir la première,

Gas

il suffit de remarquer que si, pour tout point z, de la circonférence (GC), la racine z, de l'équation f (3) — f(z,) —0 la plus rapprochée de (C) reste toujours extérieure à cette circonférence, il en sera encore de même pour la circonférence |z[—=R +€,e étant un nombre positif suffisamment petit; f(z) sera donc univalent dans le cercle! 3| <<R+E, ce qui est en contradiction avec la définition de R.

On peut donc définir R comme le rayon de la plus petite ctrcon/férence ayant pour centre l'origine et sur laquelle f (3) prend deux fois la méme valeur, en des points distincts ou confondus. Écrivons alors que l'on a f(3,) = f(z:) pour deux points distincts de même module

pe, Re — peile,

ou, en posant 6, +0, per ÿ ë OT

p ù 9 7 9 pour :

3, = æéen 1 A) I vient

x (ei — eù) He ad? (ei — e—2iô Vase ana (erid ent) — 0,

d'où, en divisant par 2x sin0 0,

sin 20 ,sin30 L -+ GE D 2r4

- A ANG ; sin 0

a sinn0

rod :

sin ô

Inversement, pour toute valeur de 0 différente de o et r, correspondent à chaque racine x de cette équation deux points 3, ets, de module |x |, où le polynome prend la mème valeur. D'ailleurs si l’on fait tendre 0 vers zéro ou 7 l'équation tend respectivement vers f'(æ)= 0 ou f'(—æx)—0. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Le rayon d'univalence du polynome f(3) est égal au rayon du plus grand cercle, ayant pour centre l'origine, où ne pénètre aucune racine de l'équation associée

nes

(5) A ee ur Le , Sin 30 e sinô

= + A3 EL ——— FNSSInD : sin 9

+, 1, ant 0

lorsque À varie de o à r.

Remarquons d’ailleurs que l'équation (5) ne change pas lorsqu'on

move

change 6 en —6, ou lorsqu'on change 0 en x — 0 et x en — x. Il est , . k G n RAUTES donc équivalent, pour notre problème, de faire varier 0 de o à 20 de o

arou deoù 27; on pourra se placer dans l’une ou l'autre de ces hypothèses, suivant qu'elle facilitera plus ou moins les raisonnements.

3. On peut encore énoncer le résultat précédent en disant que la condition nécessaire et suffisante pour que f(z) soit univalent dans le cercle unité est que ce cercle ne contienne aucune racine de l'équation (5), quel que soit 8. Or, nous avons rappelé (Chap. I, n° 4) les conditions nécessaires et suffisantes, données par M. I. Schur, pour qu'une équation ait toutes ses racines intérieures au cercle unité ou sur la circonférence : en les appliquant à l’équation aux inverses de (5), on obtient (7 — 1) inégalités

9,(8)>0 (V==r, 2, nn),

les 3,(8) étant des polynomes trigonométriques en 8 à coefficients réels, ne contenant d’ailleurs que des cosinus. On voit donc que le problème (A) serait résolu pour les polynomes univalents s1 l’on savait exprimer qu'un polynome trigonométrique est positif, par un nombre fini de conditions rationnelles par rapport aux coe ffictents de ce polynome. C’est malheureusement un problème qui n’est pas encore résolu : on sait seulement mettre les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un polynome trigonométrique soit positif, sous la forme d’une infinité d’inégalités contenant les coefficients du polynome (vor, par exemple, [| 10 a], p. 229). Le procédé que nous venons d'indiquer ne peut donc fournir que des conditions nécessaires, en nombre aussi grand que l’on veut, pour que le polynome f(z) soit univalent dansle cercle unité, ces conditions n'étant naturellement pas toutes indépendantes si leur nombre dépasse une certaine limite.

D'ailleurs, l'expression de à,(0) étant très compliquée dès que v dépasse les premières valeurs entières, la méthode précédente conduit à des calculs inextricables. Si l’on se borne à chercher des conditions nécessaires pour que f(z) soitunivalent dans le cercle unité, on peut en obtenir de plus simples de la manière suivante : M. 1. Schur a établi

([108 |, p. 136) que l’on peut encore exprimer la condition nécessaire et suffisante pour que l’équation

COCA CT de one CARTE ND)

ait toutes ses racines intérieures au cercle unité, en disant que la forme hermitienne

— = = 2 a FE a ) | An Ti Ai Lan FE. ET) | À=1 nm —Y ALI E Li Lits +... + GRR Er) À —1

doit étre définie positive. Lorsque, dans cette forme, on annule tous les

F ; 5 : n +I PE .

æ; à l'exception d’un seul, on obtient les E( ) conditions nécessalires

an [+ | ns +. 4er n+ Fes sa nn

En appliquant ces conditions à l'équation aux inverses de (5), on aura des Inégalités plus simples que à,(8)20. En particulier, si l’on fait 0 — o [ce qui revient à appliquer les conditions (6) à l'équation aux Inverses de f’(3) = o], on obtient

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| an + (1) au PH (

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ce qui donne entre autres, en utilisant (4),