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| An |

Pour n<{6, cette limite de |a,,| est d’ailleurs tre élevée, car, en

faisant (—" = dans l'équation (5), on voit qu'on a toujours lee

EN OT Re.

4. Revenons maintenant au problème de la détermination de R. Nous allons voir d’abord que la considération de l'équation (5) permet de coordonner certains résultats déjà connus.

En premier lieu, comme le module de la racine de plus petit module

d’une équation dote Lite ln DO

est au moins égal à la racine positive de l'équation ltol—|miæ—[|æ|axt...—|æ|æt—= 0.

on voit que l'on a R2R,, R, étant la racine positive de l'équation 1—2|a|xr—3|a|x...—n|al|æt1—o,

sin 0

nÿ M. Alexander [13], qui a montré de plus que f(z) représente le cercle |z|<R, sur un domaine étoilé par rapport à l’origine.

en vertu de l'inégalité

£m. Cette proposition est due à

5. Cherchons maintenant à comparer les rayons d’univalence R et R’ de deux polynomes

JU) =3+as+...+ as",

g(z)=z+b,z+...+ biz.

Nous utiliserons le théorème suivant, dû à M. Szegô ([15], p. 35) : St les racines d’une équation

A(x)=a+Ciax + Car +...+a,2t— 0

sont toutes situées dans un domaine circulaire (K) (*), et st l’on désigne par li, ho, ..., À, les racines de l'équation

B(x) = 6,+ CiB,x + C,z+...+ B,xt—o, toute racine € de l'équation « composée »

C(x) = a+ Club + Ciofin? +...+ a,B,x"—= 0

(‘) Rappelons qu'on entend par domaines circulaires l’intérieur d’un cercle, l'extérieur d’un cercle et le demi-plan.

est de la forme E— À k,

où k est un certain point du domaine (K).

L'application de cette proposition aux équations associées de f(3) et g(z) donne immédiatement le résultat suivant :

On a, entre les rayons d'univalence des polynomes f(z)et g(z), la. relation