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toute portion du plan au plus un nombre déterminé de fois. Quant aux hypothèses faites sur les fonctions étudiées, elles ont trait, en général, soit aux coefficients de leur développement autour d’un point du domaine considéré, soit à des limitations globales imposées aux fonctions dans ce domaine.
Ce travail est consacré à l’étude d’un certain nombre de questions, appartenant aux deux catégories précédentes, et relatives à deux familles particulières de fonctions, à savoir Les polynomes et les fonctions bornées dans un domaine; dans toutes les questions traitées, je me suis attaché à donnerdes résultats quantitatifs aussi précis que possible.
Dans le premier Chapitre, je poursuis l’étude, commencée par M. P. Montel et poursuivie par M. M. Biernacki, de la détermination des limites supérieures des modules d’un certain nombre de zéros d’un polynome, lorsqu'on fixe le nombre des termes et certains coefficients. Ce Chapitre est divisé en deux parties : dans la première, j'indique un procédé général pour le calcul de ces limites, et j’applique ce procédé à la détermination exacte du plus petit cercle de centre origine contenant toujours un zéro, pour quelques types particuliers de polynomes. Dans d’autres cas, je donne simplement l’ordre de croissance de ces limites par rapport au degré du polynome; en particulier, pour le polynome le plus général
P(x)=i+ax+ar +... +aæt+ a; +... + anæ",
où les p coefficients a,, a,, .…., a, ont des valeurs fixes, les autres étant arbitraires, je détermine, dans tous les cas, l’ordre de croissance exact par rapport à n de la limite supérieure de la racine de plus petit module.
Dans la seconde partie de ce Chapitre, j'étudie en détail un cas particulier du même problème, à savoir, la détermination du nombre minimum de racines de l'équation quadrinome
IH PE a, x a; x 0
situées dans le cercle unité lorsque, p, n, et n, étant fixés, a, et a, varient arbitrairement. J’emploie à cet effet une méthode déduite du « principe de l’argument » de Cauchy, qui me permet d'obtenir une limite inférieure du nombre cherché. Les propriétés arithmétiques des degrés p, n, et n, jouent dans cette question un rôle prépondérant.
Le second Chapitre est consacré à l'étude des polynomes univalents.
EN es
Je démontre d’abord la proposition suivante : Le rayon d'univalence
d’un polynome 3 + 4,2 + 432 +... + 4,2"
est égal au rayon du plus grand cercle de centre origine, où ne pénètre aucune racine de l'équation
sin 2 0 , Sin 30 sin 7 0 a; 2? +, ..+ an2tt ==
n 9 se sin Ÿ
lorsque l’angle 0 varie de o à x. Comme applications, je montre d’abord comment un certain nombre de résultats obtenus antérieurement par des procédés divers sont des conséquences immédiates de cette proposition; je considère ensuite les polynomes à coefficients réels, et j'obtiens dans ce cas de nouvelles propriétés du rayon d’univalence. Enfin, j'étudie complètement le problème suivant : Déterminer le maæinum du rayon d’univalence R(a) du polynome
BP QT (p<n)
lorsque a varie arbitrairement. Lorsque p —2, je donne les valeurs numériques de ce maximum pour toutes les valeurs de .
Dans le troisième Chapitre, j’examine un certain nombre de problèmes relatifs aux fonctions bornées. Je résous d’abord la question suivañte : Déterminer le minimum o, du rayon du plus grand cercle de centre origine, dans lequel toute fonction de la forme
f(z)=23+ar+...+anr+...,
et telle que | f(z)|£M dans le cercle unité, prenne p fois au plus la méme valeur. Pour p =1, je montre de plus que toute fonction de la famille considérée représente le cercle |z]<o, sur un domaine étoilé par rapport à l’origine.
Je démontre ensuite quelques inégalités auxquelles satisfait la dérivée d’une fonction bornée, et j’en déduis une relation entre les domaines (D), (D') que font correspondre à des cercles concentriques
|z|Sr, |s/Sr'<r, les fonctions fa) et f’(z), f(z) étant une
fonction holomorphe, bornée ou non, dans le cercle unité. Enfin, j'utilise aussi ces inégalités pour préciser un résultat récent de M. P. Montel,
hi
qui constitue un complément au théorème de Rolle pour une fonction analytique, réelle sur un segment de l'axe réel, et bornée au voisinage (‘).
Dans les démontrations de beaucoup de propositions de ce travail, je n’ai pas craint de faire un large appel à l'intuition géométrique; j'estime qu'il n'y a pas lieu de se priver d’un aussi précieux auxiliaire, d'autant qu'il ne s’agit, dans la théorie qui nous occupe, que de courbes analytiques, et même le plus souvent algébriques; il n'y a done pas à redouter que l'emploi de la géométrie puisse être une cause d'erreurs, puisqu'il est toujours possible de présenter le raisonnement sous forme algébrique.
Je suis heureux, en terminant, d'exprimer toute ma gratitude à M. P. Montel, pour le bienveillant intérêt qu'il n’a cessé de témoigner à mes recherches, et les précieux conseils que je lui dois.
