LES ZÉROS DES POLYNOMES
Bibliographie.
Dans le cours de ce travail nous désignerons les Ouvrages ci-dessous, par les caractères gras qui les précèdent :
[1] E. Lanpau. — a. Ueber den Picardschen Satz ( Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich, t. 51, 1906, p. 252-318).
b. Sur quelques généralisations du théorème de M. Picard (Annales de l'École Normale supérieure, 3 série, t. 24, 1907, p. 179-201).
[2] R. E. Arrarnice. — On a limit of the roots of an equation that is independent of all but two of the coefficients (Bulletin of the American Mathematical Society, t. 13, 1906-1907, p. 443-447).
[3] L. Feér. — Ueber die Wursel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung (Mathematische Annalen, t. 65, 1908, p. 413-423).
(*) Les principaux résultats de ce travail ont été résumés dans cinq Notes aux Comptes rendus des 24 mars, 7 avril, 12 mai 1930, 12 janvier et 11 mai 1931.
A re
4] P. Bon. — Zur Theorie der trinomischen Gleichungen (Mathematische Annalen, 1. 65, 1908, p. 556-566).
[5] G. Hercrorz. — Ueber die Wurzeln trinomischer Gleichungen (Leipziger Berichte, Math.-Phys. Classe, 1. Th, 1922, p. 1-8).
[6] P. Monte. — Sur les modules des zéros des polynomes (Annales de l'Ecole Normale supérieure, 3° série, t. h0, 1923, p. 1-34).
[7] A. Percer. — Sur la racine de plus petit module des équations (Bulletin des Sciences mathématiques, 1. k8, 1924, p. 265-268).
[8] E. B.-Vax Viecx. — On Limits to the absolute values of the roots of a polynomial (Bulletin de la Société mathématique de France, 1. 53, 1995, p: 105-125).
[9] M. Brernacki. — Sur les équations algébriques contenant des paramètres arbitraires (Thèse) ( Bulletin de l’Académie polonaise des Sciences et des Lettres, 1927, p. 541-685).
[10] L. Scnur. — a. Ueber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind (Journal de Crelle, t. 147, 1917, p. 205-232).
b. Idem (Journal de Crelle, t. 148, 1918, p. 122-145).
[11] A. Cox. — Ueber die Ansahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise (Mathematische Zeistchrift, t. 14, 1922, p. 110-148). [12] J. Drieunonné. — Sur une généralisation du théorème de Rolle aux
fonctions d’une variable complexe (Annals of Mathematics, t. 31, 1930, P: 79-116).
Les travaux numérotés de 1 à 9 contiennent l'essentiel de ce qui a été publié jusqu’en 1929 sur le sujet de ce Chapitre. On trouvera une bibliographie très complète des travaux publiés de 1900 à 1928 sur tout ce qui concerne les zéros des polynomes à la fin d’un article de M Van Vrecx, On the location of the roots of polynomials and entire functions (Bulletin of the American Mathematical Society, t. 35, 1929, p. 672-683).
1. Nous nous occuperons, dans ce Chapitre, du problème suivant : Déterminer des régions du plan complexe contenant toujours des racines de l'équation algébrique
(1) 1+ an Zu + An, L+... + an L'k= O0 (NN)
lorsque, certains des coefficients restant fixes, on fait varier arbitrairement les autres. Les seules régions du plan que nous considérerons sont les cercles de centre origine; autrement dit, nous chercherons
nee
des limites supérieures des modules d’un certain nombre de racines de l'équation (1).
Ce problème, considéré pour la première fois par M. Landau [la et 1b] à la suite de ses recherches sur le théorème de M. Picard, a été récemment repris et étudié d’une manière approfondie dans les travaux de MM. P. Montel [6], Van Vleck [8] et Biernacki [9].
La position du problème a été déterminée par M. P. Montel, qui a montré ([641, p. 21) que si l’on met l’équation sous la forme
(2) LH GE + Al +... pl + pra PTE. Gp PTE O, et si l’on se donne 4,, a,, ...,a,(a,=<o), ul y a toujours p racines de l'équation inférieures en module à un nombre fixe o(a,, a, ...,a,, k)
ne dépendant que des coefficients donnés et du nombre de termes du polynome.
M. Van Vleck [8] a apporté un complément important à cette proposition, en montrant qu’elle subsiste si l’on se donne les p coefficlients dj, @, ..., Ap is Aprm (Apimz£ ©), et de plus que, dans aucun autre cas, la donnée de p coefficients de l’équation ne limüte supérieurement les modules de p racines.
Ces théorèmes ne font pas intervenir les degrés des termes qui suivent æ’; la limite exacte de p racines peut cependant en dépendre a priori. J'entends par « limite exacte » la valeur |æ|—p telle que toute équation de la famille considérée ait p racines de modules inférieurs à p, et qu’on puisse trouver une telle équation ayant moins de p racines inférieures ou égales en module à 9 — €, € étant un nombre positif arbitrairement petit. Pour l’équation
(3) 1+2P+ a du axe +... + ax O,
M. Biernacki a donné ([9], p. 547), comme borne supérieure de p, la valeur
P. ue n nm} e R=/ le LU.
Ni —p sp Ni—p déjà obtenue par M. Fejér [3] comme limite supérieure du module d’une racine. Si l’on ne fixe pas n,, nr, ..., n, cette borne est la meilleure possible, car elle est atteinte pour n, =p+1,m, =p+2,.….,
