Comme autre application, prenons

J(:) = g(3)= F'(2), où

F(z)=z2+a,z+...+ az". On à

x(x)=2+3C,3 + 40,3 +... + (nr Hit Æ= = LG + 2) (1 +3) (ns +2), d’où R'> 2R

PPS

Je signale encore les deux résultats suivants, que le lecteur démontrera sans difficulté (!}. Si l’on prend

82) = f(2) + anu2"tt, on trouve R'<2R lorsque n est pair,

T SARA R'<2R cos > lorsque n est impair.

Fm 142

Si l’on suppose que les coefficients de f(z) et g(z) sont tels que Faxl =] 0x] (ÉRET R on trouve

— R° Pre

(V2—1)R£RES En faisant des hypothèses plus restrictives sur la nature des polynomes f(z) et g(z), il est parfois possible d'obtenir des inégalités plus serrées que (7) entre R et R’. Supposons par exemple que f et g soient de la forme

(a) hote Cr GPS des An se re ans tPp+, 83) = 2 + b,zP+! SE ba +... + b,ztt-0Pp+1,

On voit alors, en posant 3? —1 dans les équations associées de f(z) et g(z), que l’on a ici

LAPRERS

| pe |P

À et pr ayant la même signification que ci-dessus. Au théorème de M. Alexander correspond l'inégalité plus précise

R>R;]2,|, où Re D

Po

3, étant, comme ci-dessus, la racine de plus petit module de ) =D;

La méthode de M. Alexander s'applique d’ailleurs encore dans ce cas,

(*) Les deux résultats analogues concernant les zéros de$ polynomes sont démontrés respectivement dans [15], p. 46, et [11], p. 144.