SAN

et montre de plus que (2) représente le cercle |3[<R, sur un domaine étoilé par rapport à l’origine.

De même, au théorème de M. Kakeya, correspond l'inégalité

R, étant le rayon d’univalence du polynome particulier

sue f a+wy ds.

et z, la racine de plus petit module de f'(z) —0.0na d’ailleurs, d’après la proposition de M. Alexander rappelée au n° 4,

1 Pp = nr I P n>(r) 2( log2) :

8. Nous allons maintenant porter notre attention sur les polynomes f(3) à coefficients réels; nous supposerons, pour simplifier, que — +?

Il résulte alors de la définition que nous avons donnée de R que la fonction des deux variables réelles x et 0

- sin20 , sm30 , Sinn0 o(x, 0)=1+ ax EAU ET 7 Lu ETES

sin ÿ sin Ü U ]

ne peut s’annuler pour aucun système de valeurs de x et 8 telles que O<0<2, EH EU PR TL 1

Cette fonction reste donc positive quelles que soient les valeurs de æ

et 0 comprises dans ces intervalles. Par suite, l'expression

(x, 8) = 2 sin? 00 (x, 0) =1+ a,x cos0 + (a,x?— 1) cos20 +...

+ (arr? — ayx)at cos (k —1)0 +...+ anætt cos(n + 1)6

reste non négative pour les mêmes valeurs. Or, si l’on donne à x une valeur fixe quelconque comprise entre — 1 et + 1, (x, 0) est un polynome trigonométrique non négatif en 0, de la forme

1 + À cos + À, COS 20 +... + Anys COS(n + 1)8

L'emorer

et l’on sait alors que l’on a nécessairement ([ 16], p. 71) (10) lAkl<2 CRD tee Em), En appliquant ces inégalités à Ÿ(æ, 4) et en faisant tendre æ vers 1, il vient (11) |& |<2, | —1|<2, dx dr i£2 CRE 9 EP, d’où, par récurrence, (12) Fal< A4, quel que soit #.

Ces inégalités ne dépendent pas du degré du polynome considéré; elles subsistent donc pour toute fonction holomorphe univalente dans le

cercle unité, et réelle sur l'axe réel. Elles ne peuvent d’ailleurs être améliorées si l’on ne restreint pas la classe des fonctions auxquelles

elles s'appliquent, puisque les limites sont atteintes pour f(3)— Rene

Par contre, la même méthode fournit des inégalités plus précises pour des catégories particulières de fonctions univalentes : par exemple, si f(z)est ëmpaire, o(x, 0) est une fonction des variables réelles 0 et : — x?, qui reste positive pour

OS0< 27 et EU EE,

En procédant comme ci-dessus, mais en remarquant qu'on peut faire tendre ici t vers +1, on obtient, au lieu de (11), les inégalités

fase tes del CREED SSSR ou encore (13) [a |S1, Fdersa | + | Gex |S 0,

limites qui sont encore atteintes pour la fonction particulière