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De même, si l’on ne considère que les polynomes f(z) de degré au plus égal à n, on peut améliorer les inégalités (11); cela résulte de ce qu’on peut remplacer les inégalités (ro) par d’autres plus précises, où

y Cie

figure le degré du polynome trigonométrique correspondant, ainsi que l’ont montré M. Fejér ([16], p. 79), puis MM. Szäsz et v. Egerväry (Math. Zeitschrift, t. 27, 1928, p. 644); on a, par exemple, pour un polynome trigonométrique de degré m,

[A |<2 cos »

ce qui donne ici, pour le polynome f(z),

|a, | <2 cos

DE à

9. On peut aussi appliquer les inégalités (10) à o(æ, 6) même, qui est également un polynome trigonométrique en 4. On trouve ainsi, en posant |

f(s)= LOIS =

fa) = eee)

3 + d7° + a,zles deux séries d’inégalités | æ Max Ji(æ) ST 0Lx<1 Ja(x) Ma Tera Le (14) Fe M CN ‘ ER TC ER EN CE ] te, Ye re nt, P Max HO ARE ae ter 0<æ<1 f(x) | VA Maxi = L<:

0x1 f(x) &Æ + dx Max |1— 2" |<i G4r) LæS1 f(x) Are d'etc ele dise etrarx +: 6) /o"le) p Lars: ave , FA FE es d?P+1 Mode ee meer") ee 0x1 f(x)

ele l ere later sus ler cernes 2 4es a Mpleelie A7 que eh ooate