EN R
Cette dernière inégalité n’est autre qu'un cas particulier du théorème de Kæbe-Bieberbach sur les domaines couverts par les fonctions univalentes ([18], p. 75). La méthode de M. Bieberbach permet aussi de montrer que tout point de la frontière du domaine couvert par une
fonction impaire univalente dans le cercle unité est à une distance >= de l’origine ([19], p. 26, ex. 148), ce qui contient encore les inégalités (15) comme cas particuliers.
10. On peut se demander si, en exprimant les conditions néces-
HET de
sarres et suffisantes pour que d(æ, 0), où æ est fixe, reste positif quel que soit 0, on ne parviendrait pas à résoudre le problème (A) pour les fonctions univalentes à coefficients réels. Il est aisé de voir qu’il n’en est rien. é
En elfet, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un polynome trigonométrique ou une série de Fourier uniformément convergente
1+ À cos 0 + À, cos20 +...+ À, cosnÜ +..:
soit positif ou nul quel que soit 0 s'expriment sous forme d’une infinité d'inégalités ([10a], p. 229), dont les n premières ne contiennent que les z premiers coefficients, quel que soit 2; de plus, il n'y a pas d’autres conditions entre ces » coefficients qui ne soient pas conséquences des précédentes. Comme les n premiers coefficients de L(æ, () ne dépendent que des 7 premiers coefficients de (3), on voit que notre méthode ne pourra donner entre ces n premiers coefficients d’autres inégalités que celles qu’on déduira des 7 conditions qui viennent d’être rappelées.
Or, pour n — 3, un calcul simple montre que les conditions qu'on obtient pour a, et a, sont les suivantes :
Mais, d'autre part, la méthode de M. Bieberbach fournit la condition
nécessaire | a; — d3 | < 1,
qui n’est pas une conséquence des inégalités (17), ce qui montre bien que le procédé indiqué ne saurait donner toutes les conditions nécessaires et suffisantes.
11. Nous allons maintenant appliquer la définition que nous avons donnée du rayon d’univalence, à la résolution du problème particulier suivant : Trouver la valeur maxima du rayon d'univalence R(a) du polynome
(18) ÆCe a) VEN Er (a
HV
br
lorsque a prend toutes les valeurs possibles. L'existence de ce maximum
THÈSE DIEUDONNÉ, (to)
