RO OT EMI RE
Vi— 4rcoso, cosÿ + 4r°cos°b,
o, étant le plus petit angle positif qui satisfait à équation (22) sin (7 —1)® — 2r cos sin(rn — 2)9 — 0.
La seule région du plan des X telle que la courbe (F5) tourne (n —1)
fois dans le sens négatif autour de chacun de ses points est le domaine (D;) intérieur à cette boucle. Il nous suffit donc d’étudier la
variation de ce domaine et du point X, lorsque 4 varie de o à = Le point X, se déplace sur une droite (d) issue de l’origine et faisant un angle égal à arga (à x près) avec l'axe réel. Chaque domaine (Ds) découpe sur cette droite un segment MN à l'intérieur duquel doit se trouver le point X, (fig. 3). Je dis tout d’abord que sir —R(a),ily
aura une valeur au moins de Ü pour laquelle le point X, sera sur la . frontière de (D,), en l’un des points M ou N (ON <[ OM). Sinon, la distance de X, à (To) aurait, lorsque 0 varie, un minimum positif, fonction continue der; en remplaçant r par r +e, € étant un nombre
ÉArQEE
positif suffisamment petit, le point X, variera encore en restant constamment intérieur au domaine (D;) correspondant; la valeur de r considérée ne peut done être égale à R(a).
Supposons donc que pour un certain nombre de valeurs de 6, soient ®’, 0”, ..., 00, le point X, vienne sur la courbe (1) correspondante. Montrons que, st a n’est pas réel, on peut le faire varier d’une quantité da telle que R(a + 0a) > R(a). Nous utiliserons la remarque suivante : soient D, et 0, deux valeurs de 6, telles que
2rcos0, > 1, DACOS ee
considérons les courbes (F5) et (1) correspondantes, et les points d’intersection N, et N, de ces courbes avec la droite (d). Il est évident, puisque la courbe (1%) n’a jamais de points d'inflexion ('), que l’on a (fig. 3)
Ve Ver
Faisons alors tourner la droite (d) d’un petit angle 59 dans le sens négatif, et soient Net N, les points d’intersection de la droite (d') ainsi obtenue avec (l, )et (ls, );ona
ON
ON
re COUV, 00 — BE — 1 — cot V, do.
ON
Ceci posé, considérons parmi les valeurs 0’, 4”, ... celles pour lesquelles 2rcosû © 1, et telles de plus que, pour ces valeurs, X, vienne coincider avec l'extrémité N du segment MN correspondant. Désignons par 6, celle de ces valeurs pour laquelle l'angle V correspondant est le plus grand, soit V, cette valeur maxima. Faisons alors varier Pargument de a d’un angle négatif — 29 et, en même temps, faisons varier le module de a d’une quantité
d|al—=—|a|(i—es)cotV, ôv,
e étant un nombre positif suffisamment petit. Dans ces conditions, il est évident, d’après la remarque précédente, que pour la nouvelle
: n —-1 (:) Bien entendu, lorsque 2r cosÿ < :
ere
valeur de a, le point X, n’est jamais sur la frontière du domaine (D) correspondant, et l'on a bien, par suite,
R(a + da) > R(a).
12. Nous supposerons donc dans tout ce qui suit que a est réel; pour fixer le signe de X, et X,, nous nous placerons dans le cas où est pair ('). Prenons dans un plan deux axes de coordonnées Owr, et
traçons les courbes (X,), (X,), (X,) obtenues en portant en abscisses RP es RUE) RCE)
M mer
u—2cosû, en ordonnées v = —
a «a «a respectivement et en faisant varier 0 de o à = D'après les raisonnements précédents, la première de ces courbes doit être comprise entre les deux autres et avoir au moins un point commun avec l’une d’entre elles.
La courbe (X,)est une droite dont le coefficient angulaire a le signe de — a; il en résulte, d’après la forme de la courbe (X,) (fig. 4), que
Fig. 4
si a > o cette droite ne peut couper l'axe Ow qu’en un point d'abscisse
: raie < ‘ 5 ne sb: ne négative ou supérieure à 2; cette abscisse étant égale à - © 0,0n doit
(:) Lorsque 7 est impair, les résultats qui suivent subsistent en changeant simplement le signe de « dans les formules et les énoncés,
donc avoir
Cette valeur est d’ailleurs effectivement atteinte pour le polynome ILE) 22
Supposons maintenant a<o. La droite (X,) doit être alors tout entière au-dessous de la courbe (X,), ce qui n’est possible que si elle coupe l'axe réel en un point d’abscisse supérieure au plus grand zéro de X,(u),
T Un = 2 COS — + n'
On a donc la limite supérieure
HA
(23) r = 2 COS — n Cherchons si cette limite peut être atteinte pour une valeur particulière de a. Il est d’abord nécessaire pour cela que la droite (X,) soit tangente à la courbe (X,) au point ,, ce qui donne
Co RdX, OT ANA JE
Comme dX, __ dX, dû ncosnô sin0 — cosô sinnô AE NN ie. 2 sin° Ü ?
il vient DT SIN n DENT ETT T AZ — — sin? — COS ?—:
US Le n n ñn
Lorsqu'on donne à à cette valeur, la droite (X,) est bien située au-dessous de la courbe (X,) pour toute valeur de u £u,. En effet, comme X,(u)est un polynome en uw ayant toutes ses racines réelles, sa dérivée seconde est positive dès que u Du, ,, u,, étant la plus
; dx : à grande racine de = — o; il suffit donc de montrer que
X,(u)<X,(u) pour oSu< uns (fig. 4).
ET Or, on vérifie sans peine que
RU re) Er 2 IX, Ce) |;
quel que soit u, ce qui suffit à établir la proposition.
Il reste maintenant à examiner si la courbe (X,) est constamment au-dessus de (X,). Cherchons d’abord le sens de variation de X,(u); il nous faut pour cela connaître le sens de variation de l'angle 9, défini par l'équation (22) en fonction de 0. Or, si l’on pose
Vi a (ro; Ys=2r.cos0 sin(n — 2), on à :
dy; F4 dy») a | (S Pr (PE Jau=atr or cos 0.
Lorsque r< ï je dis que
2 COS — | nr dy; S (S —— —— , do ]?=< do @=0
quel que soit 0; il suffit de montrer que
