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n,=p + k. Mais si l'on fixe les »,, R n'est la limite exacte dans tous les cas que pour # = 1.

Nous nous proposons, dans ce qui suit, d'indiquer la marche à suivre pour obtenir la limite exacte des modules de 1, 2, ..., (p—1) ou p racines, et de faire effectivement le calcul pour un certain nombre de types de polynomes.

2. Nous partirons du théorème fondamental suivant, démontré par M. Biernacki ([9], p. 555) : Sr p est la limite exacte des modules de 1, 2, ..., (p—1) ou p racines de l’équation (3), lorsque les a; sont arbitraires et les degrés n; fixes, il existe toujours une équation de cette forme pour laquelle la limite est atteinte, et qui a au moins (k +1) racines, distinctes ou confondues, de module ©, à moins que, pour une telle équaton, on n'ait a;—=0. On constate d’ailleurs immédiatement que la démonstration est encore valable pour l’équation plus générale (2). M. Biernacki a indiqué qu’on pourra probablement supprimer l’alternative a;—0 où a,,<0 qui figure dans ce théorème, et a montré qu'elle disparait effectivement pour l’équation quadrinome; nous verrons qu'il en est bien ainsi également dans les exemples que nous traiterons.

De ce théorème, et de la remarque évidente que, si la limite exacte o de À racines (1<A<p) est atteinte pour une équation des types (2) ou (3), cette équation a au plus (} — 1) racines de modules inférieurs à o, il est aisé de déduire une méthode pour le calcul de p.

Posons pour simplifier n;= n. Par la transformation x — 7 où [Ë] = 0, l'équation (3) devient

(4). hs ÉPYREP + by a + by. Lune br 0,

les b, étant arbitraires. Il s’agit de trouver la plus grande valeur de |Ë] telle qu'il existe une équation de cette forme ayant (h — 1) racines au plus extérieures au cercle unité.

D’après le théorème de M. Biernacki, considérons en premier lieu le cas où il y a au moins (Æ + 1) racines de (4) de module unité lorsque la limite est atteinte, et supposons d’abord qu’il y ait exactement(k+ 1) racines de cette nature, soient y, = e"h(A =1, 2, ..., +1). Nous