LL RO RS
En explicitant cette condition, pour la valeur de a donnée par (24), on trouve, lorsque n > 3, l'inégalité
à ; CS T WT (26) 2 COS DS 9 COS = COS»
, étant ici la plus petite racine positive de l’équation (29) cos? sin(n — 1)? — sin(n — 2)g=—0.
Pour 7—53;0n 2 X,(2)=X, (2); la condition (25) n’est pas vérifiée.
Afin d'examiner à partir de quelle valeur de n l'inégalité (26) est Te
vérifiée, cherchons une limite inférieure de +,. Je dis QUÉ
est une telle limite : il faut montrer que
V2 Tr Te — cos — > sin 2 nie l 4(n — 1) ou Tr. T :
28 COS — 2 COS > — 5 GE = To 0 0 à sin > > 2| sin? sin? Ê (nn —1)T7 2n S(rn —:1) Or, l'inégalité : T TA sin 2 ; tre) con
qui entraine la précédente est vérifiée pour n—6, et, par suite, pour n >6, car, si elle est vérifiée pour une valeur de n, elle l’est
: d ; T c 2e aussi pour les valeurs plus grandes, --|#°sin : P Y plus grandes, > Re étant positive
On constate directement que l'inégalité (28) est satisfaite pour n = à et qu'elle se réduit à une égalité pour n = 4. Pour que l'inégalité (27) soit satisfaite, il suffit donc que l’on ait
É T is 2 COS TH COS COS ER = n )
T (nr —1) ou encore
A A AETT ARTS SO 2 9 SIN 2 SIN) — HR on an
et, a fortiori,
On constate que cette dernière inégalité a lieu pour n — 10, et, par suite, pour la même raison que ci-dessus, lorsque nr > 10. Lorsque n = 7, 8, 9, on vérifie directement l'inégalité (27) en calculant une limite inférieure plus précise pour +,, dans chaque cas. Pour R—=4; 5,06 0n4, au contraire,
: Te 2 TE D'COSYS = à COS —— cos — + rt [12
Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant : Le rayon d’univalence du polynome Ja) =z+2+ as" (n27)
est au plus égal à r, — . Cette valeur est effectivement égale au
2COS — rayon d'uruvalence du polynome particulier
: T T oi sin? = cos?—? es n n
faits) = 2 + + (— 1) na gn,
Les deux points du cercle |z|=—7r, où ce polynome prend la même valeur sont
on
13. Il nous reste à chercher le maximum de R(a) lorsque 3£n<6. Reportons-nous à la figure 4; nous savons que lorsque le maximum est atteint, ou bien la droite (X,) est tangente à la courbe (X,), ou
