HN TRE

circonférence | y| = 9 —7?-! par la transformation

En reprenant les transformations du n° 11, on voit qu’on peut se limiter au cas où a est réel: le problème consiste alors à déterminer la plus grande valeur de £& pour laquelle la courbe (X,) du plan (4,+) définie par

: sin pÜ sin 0 (X,) u= ©? 2

= — ) DRE 5 sin ÿ sin Ü

——. \ Ye . , lorsque 6 varie de o à 5 se trouve située entre, d’une part, une courbe

(X,) (formée de deux droites symétriques par rapport à l'axe ov), d’équation

; [u|—1 (X;) | (ae RE et, d'autre part, une courbe (X,) d’équation

(X2) p—=g(lul),

oùg(|u|) est une fonction décroissante de |z|, qui prend pour |u|=p la valeur

: sing ro 0 COSO, + p°p° CDN —= : | 00 Do g(p) ap sin(h —1)®, a P' PA

©, étant le plus petit angle positif qui satisfait à l'équation (30) sinko — pop sin(k—1)9 —=0.

On constate aisément que le point le plus éloigné de l’origine où la

courbe (X,) coupe l’axe Ou, correspond à Ü = -; par suite, on doit avoir

(1) : pE ——.

Il faut ensuite examiner si cette valeur peut être effectivement atteinte. On voit comme précédemment que la courbe (X,) doit être

AOÛ

tangente à (X,) au point où elle coupe l’axe Ou, ce qui exige

PT

PT ñn

ARS COS — Sin ñn EME == STE

TT ? SIN COS ! ñ

UE n

: AT n sin” — n

Un calcul assez long mais qui ne présente pas de difficulté sérieuse montre ensuite que la courbe (X,) tourne sa concavité vers les v positifs lorsque 0 varie de o à la valeur qui donne le premier minimum dev; cette portion de courbe est donc bien au-dessus de (X,). On trouve qu'il en est de même pour le reste de la courbe (X,) tout au moins dès que dépasse une certaine valeur indépéndarte de pl'}; on peut prendre par exemple 210. Pour que la limite (31) soit atteinte, il reste enfin la condition g(P)2n,

a ayant la valeur calculée ci-dessus; en explicitant, on obtient l’inégalité

(32) COS D < LÈTe 2p n [4] /è 0

Or, en utilisant l'inégalité

‘ , , , T kr . à a on constate sans difficulté que l'on a Po2y y dès que 229; d'autre

part, quel que soit 2, le second membre de (32) est supérieur à fm.

me 2h"

Pour que l'inégalité (32) soit satisfaite, il suffit donc que l’on ait

(Te E (où T RAP EES A0 FN RE SE Nm 32 h° 6144 h" Dh

(1) I suffit d'établir : 1° que les extréma de w (ou #) sont, en valeur absolue, inférieurs au premier minimum de cette fonction; 2° que cette dernière quantité est inférieure, en valeur absolue, à &# (8,), 0, étant la valeur de 6 qui correspond au premier minimum de #.

ge

et l’on constate que cette inégalité est vérifiée dès que 2213. On peut se demander si, en faisant un calcul plus précis, on ne trouverait pas que l'inégalité (32) est vérifiée quel que soit À tout au moins à partir d’une valeur de p suffisamment grande; mais il suffit de prendre h = 2 pour voir que, dans ce cas, l’inégalité (32) n’est jamais vérifiée, quelle que soit la valeur de p.

Nous pouvons donc résumer cette discussion dans la proposition suivante : le rayon d'univalence du polynome

J(s,a)=3+ 27 + az" (np)

est au plus égal à

I DA : ï x J (:) st(n —1) n'est pas multiple de (p — 1); [ 1 4 T PA) sin — - stn —1—=h(p—1).

a (Ps x) sin — n

Cette valeur est d’ailleurs atteinte lorsque h est supérieur à un certain nombre entier h, <12 (ce nombre pouvant à priort dépendre de p).

Lorsque 2<h<h,, la limite exacte est comprise entre les précédentes ; on l’obtiendrait par des raisonnements analogues à ceux que que nous avons faits pour p — 2. On peut constater que sa détermination se ramène à la résolution d’une équation algébrique dont le degré croit avec p.

Remarquons enfin que la limite supérieure

TT — SIN PEN n

est encore valable pour un polynome à un nombre quelconque de termes, de la forme

J(z)=2+ast+ ant +. + ape PE dues EURE + am ar

ë : T : à NS Il suffit, pour le voir, de faire 0 — = dans l'équation associée.

THÈSE DIEUDONNE. 12