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désignerons par 5,, 5», ..., 64,, les fonctions symétriques élémentaires de ces racines, et par (D) le domaine de l’espace (6,,0,,...,0,,,) à (k+-1) dimensions, défini par les inégalités

O<Û LT, O<0,<2T; Tes OCR AT Soient alors Yriyr(u =1, 2, ..., n— k# — 1) les racines restantes de l'équation (4), u,,u,. ...,u,__, leurs fonctions symétriques élémen-

taires. Par hypothèse (h — 1) au plus de ces racines sont extérieures au cercle unité, les autres sont intérieures, aucune ne pouvant étre sur la circonférence. Ces conditions s’expriment par un nombre fini » d’inégalités où figurent algébriquement les v; et leurs quantités conjuguées ([ 11], p. 135), soient

4) d > 0 (USSR pe

Lorsqu'une ou plusieurs de ces fonctions à, s’annulent simultanément, les autres restant positives, une au moins des racines y,, devient en module égale à un, et réciproquement.

Ceci posé, écrivons les relations entre les coefficients et ls racines de l’équation (4), et considérons en particulier celles qui correspondent aux coefficients nuls. On obtient un système de (n — #— 1) équations linéaires en w,, U:, ..., u, y :

Uj+ 9 —=0, U3 + UT + T2 —= 0,

Un=k10r + Un-k20kr—= O0.

Le déterminant de ce système est une fonction des 6; qui ne peut être identiquement nulle au voisinage d’un point quelconque du domaine (D). En effet, c'est un polynome en y,, y:, ...,yxs; en fixant toutes ces variables, sauf y, par exemple, on aurait un polynome en y, qui s’annulerait en tous les points d’un arc du cercle unité, donc serait identiquement nul. En répétant le raisonnement, on voit que le déterminant serait identiquement nul, en considérant y,, ya, …, Yx+ Comme des variables arbitraires: on en déduirait que l’équation (4) a toujours une racine infinie quels que soient ses coefficients, ou que l’on peut se donner arbitrairement (4 + 2) de ses racines au moins,

Eng ie

ce qui ést absurde. On peut donc résoudre le système (£) en tous les points de (D), à l'exception d’un continuum (T°) à # dimensions au plus.

Ayant ainsi les w; en fonction des 6;, portons-les dans les inégalités (5); on obtient un système d’inégalités en 6,,0,, ...,0,.,,

(6) D > 0 (URL)

St ce système est compatible, il définit une portion (A) à (4 + 1) dimensions du domaine (D). Soit (F) la frontière du domaine ouvert (A); le domaine fermé (A + F) sera défini par les inégalités

(6) ®,2 0 CUT RNA)

On déduit alors de la relation

(—1)PEP—= UpE Up +...

l'expression de |£| en fonction des 6;, en tout point non situé sur (T°). Cette fonction reste bornée dans (A + F— T°) d’après le théorème de M. Montel; soit M, son maximum. D'autre part, sur (T°), le système (£) ne peut avoir de solutions où certains des w; seraient infinis, les conditions (5) restant vérifiées; car, si l'équation (4) a une racine infinie, elle en a p au moins, et les conditions (5) expriment que À—1<p racines au plus sont de modules supérieurs à un. Nous devons donc supposer que le système (Z) est indéterminé, ce qui donnera pour [Ë| une fonction des 6; et d’un certain nombre des w; qui restent arbitraires, l’ensemble de ces variables devant naturellement toujours vérifier les inégalités (ou, à la limite, égalités) qu’on déduit de (5). Soit M, le maximum de |£]sur (T°) dans ces conditions (‘); si M est le plus grand des deux nombres M,, M, ce sera la limite exacte cherchée, d’après le théorème de M. Biernacki, pourvu que cette limite soit atteinte lorsqu'il y a au moins (#£ +1) racines de même module.

Pour achever le raisonnement, 1l faudra donc faire les calculs ana-

(:) Si dans l'expression de ?? sur (T), on laisse fixes les 0;. on obtient une fonction holomorphe des u; qui restent arbitraires; le maximum du module de cette fonction ne peut donc être atteint que lorsque ces quantités atteignent la frontière de leur domaine de variation; par conséquent, lorsque M, est atteint, il y a au moins (À + 2) racines de (3) ayant même module.