FOIE

C'est en effet une conséquence immédiate de la formule (12). On peut d'ailleurs aussi le voir directement, en calculant des limites pour le module de la dérivée d’une telle fonction; il suffit d'appliquer la for-

mule (3) à la fonction + —, il vient

(‘) La démonstration de cette proposition, ainsi que celle des inégalités (24), est un peu plus simple que celles que j'avais d'abord données dans ma Note aux Comptes rendus du 2% mars 1930; ces simplifications m'ont été indiquées par . M. Landau.

(2) Ce résultat est dû à M. Landau (loc. cit.).

d’où HAT Lfta)| M272—=1 C3) .

et NES if) | M?r— | f(2)/ [J'(e)2 : Mr no ou encore | (24) (|f(s)|—Mr) (M + |f(z))) <|f'()1< (f(&)| + Mr?) (M = |f(2)D ga | Mr(i— 7?) el 3 S Go :

et la première de ces inégalités redonne bien (25) lorsque f'(z) = 0. Les inégalités (24) se transforment en égalités pour les fonctions de la forme He re ete — où VASE

Si l’on pose æ — se", la première inégalité est atteinte pour 3 = te",

, , . I t étant reel et compris entre o et=» la seconde pour z — te", avec