SAUT E

On constate sans difficulté que la seconde de ces limites est atteinte, au point (supposé réel) z = a > V2—1, pour la fonction

: 341 (26) fa) Lara) Lea E Poser

On pourrait évidemment obtenir par le même raisonnement des limites analogues à (24) et (25) pour les fonctions de la forme

p(3) étant une fonction arbitraire de (#,); nous ne nous y arrêterons pas.

9. Indiquons plutôt comment, des inégalités (25), on peut déduire des relations entre les domaines que font correspondre au cercle unité une fonction holomorphe quelconque et sa dérivée.

__ Soit donc f (3) une fonction holomorphe dans le cercle unité, et supposons d’abord que f(o) = o. Cherchons d’abord une limite inférieure du module des zéros de f’(z). Considérons la fonction holo-

morphe F(z) = 4È 2) US Àz,

À étant une constante que nous laissons pour le moment indéterminée. Lorsque f'(z)— 0, on a F'(3)— À. Soit M(r) le maximum de |F(z)] sur la circonférence |3|—=r<1. D'après la première inégalité (25), on a, pour |z| <(Ÿ2—:1}r,