HELENE
Donc, s’il est possible de choisir la constante À telle que
f'(z) ne s’annulera pas dans le cercle [| < (2 — 1}r. L'inégalité(27)
(1) L'expression donnée dans ma Note du 24 mars 1930 est erronée.
donne pour Kat r Lf(z) Az] M(r)S TA Fr
ou
Si l’on désigne par (D) le domaine que la fonction ne fait correspondre au cercle |3|<r, il est clair que la condition nécessaire et suffisante pour que l’on puisse trouver une valeur de À satisfaisant à cette inégalité, est que l'angle sous le lequel on voit, de l’origine, le domaine (D), soit inférieur à x.
On peut raisonner de mème pour l'équation /’(3)— a, a étant un nombre quelconque; il suffit de remplacer f(z) par f(z) — az. Enfin, en utilisant la seconde inégalité (25), qu’on peut écrire
; avec tango — 7,
il vient finalement le résultat suivant :
f(3) étant une fonction holomorphe dans le cercle unité, soit (D) le domaine que fait correspondre au cercle |3|<r <{1 la fonction
Fey ET),
(D') le domaine que fait correspondre au cercle|z3 <r'<r la dérivée f'(2):
10 Se 2 £Y2— 1, (D') est intérieur au plus petit domaine convexe contenant (D ); DOPST re RES ë <{1, (D') est intérieur au domaine (A), lieu des points d’où l’on voit le domaine (D) sous un angle au moins égal à 27 — 8 avec
r' T à tangÿ= — (asuss)
La seconde partie de cette proposition ne peut être améliorée, comme le montre l’exemple donné par l'égalité (26). Par contre, comme la première inégalité (25) ne se transforme en égalité que pour f(3) M, c'est-à-dire lorsque les domaines (D) et (D’) se réduisent à un point,
il n'apparait pas aussi immédiatement que la première partie du théorème précédent donne également la meilleure limite possible. L'exemple suivant montre pourtant qu’il en est bien ainsi : pour la fonction
le domaine (D) correspondant au cercle unité est le demi-plan à droite de l’axe imaginaire, et pour 3 — ÿ2—1 on a f'(3)= 0.
10. Comme autre application des inégalités (24), indiquons rapidement comment on peut les utiliser pour démontrer et préciser dans certains cas le théorème suivant, établi par M. Montel dans un Mémoire récent ([21], p. 106):
Soit f(z) une fonction holomorphe dans une ellipse (E) de foyers —1 et +1, réelle lorsque 3 est réel, telle que | f(z)|<1 dans (E) et s'annulant aux points —1 et +1; soit de plus f(o)—a,<o. Il existe alors un nombre réel 0(a,) compris entre o et 1, tel que f'(3) ait au moins un zèro dans l'intervalle (— 0, + 4). Ce nombre dépend aussi évidemment de la grandeur de l’ellipse (E).
Pour démontrer eette proposition, faisons une représentation conforme de l’ellipse (E) sur le cercle unité, en conservant le centre et les axes de symétrie. Nous avons alors une fonction (3) holomorphe dans le cercle unité, réelle sur l’axe réel et satisfaisant aux conditions
[f(z)ISx, NO) ae o (on peut toujours supposer a, > 0),
+ © étant les deux points de l’axe réel qui correspondent aux foyers de (E). Il faut chercher une limite supérieure du module minimum des zéros réels de f’(z) compris entre — p et + p.
En posant
Wa) p
f(z)=— 272 È Eros Vue
(3) est une fonction de la famille (F,), assujettie à la seule condition ENS d’être réelle sur l’axe réel.
TE : — o s'écrit alors
L’ équation
28 » » 9 2 2 “a WG +] @=php# 1) où a iQ À — ©, == - n< k ° E PRE (o<kS1)
On peut supposer Ÿ'(o) > 0; le cas L'(o) = 0 donnerait une racine de. f(z) = 0 à l’origine, et si d(o)<o, on 'posera 3, == U(z) = ,(3,); on est ramené à l'équation (28) entre z, et 4,(z,), et l’on a
} Wi(o)=— 4" (0).
(3) commence donc par être positif lorsque 3 croit à partir de z—o. Je dis que si 3, est la plus petite racine de (28) comprise entre o et »,- Y(z)20 Poe 0£3<3,. Sinon, comme Ÿ(z) est une fonction continue, d(z) s talent pour une valeur 3, au moins telle que o< 3, € 3,, et comme Ÿ(o)— 0, on aurait aussi, d’après le théorème de Rolle, une racine de d'(z —. 0 au moins ie entre o et 3,; si z, est la plus petite de ces racines, on a
W(z)>0o pour OS ef
où l’on a posé, pour abréger,
7(3) Kz AE [Y(z) + S [kb(z) +1] RUE a pt) (ptzt 1) Comme y, et y, sont continues pour o£3<3,, il y aurait une racine de (28) inférieure à 3,, ce qui est contraire à l'hypothèse.
Soit alors Y,(3) la limite supérieure de y,(z) en un point de l'intervalle o {3 <{1, lorsqu'on suppose en ce point Y(z:)> 0, Ÿ pouvant être d’ailleurs une fonction quelconque de (F,), réelle sur l'axe réel. Il résulte de ce qui précède que si l'équation
Yi(z)—y;(2)=0
a une racine € comprise entre o etp, f'(3)—o aura toujours une racine de module inférieur à €, ce qui démontrera le théorème de M. Montel.
Or, il est aisé de calculer Y,(3) en se servant de la seconde inégalité (24) qui donne ici
(d + % (1— Ÿ) 2) (+ 0) (td +1)
Por
et comme |Ÿ|<{z, Y,(z) sera le maximum du second membre lorsque Ÿ varie de o à 3, 3 restant fixe. On trouve ainsi
Cr) — rO<Z<@ Y,( ) (z3+k)(kz +1) pour 05 =, 1+ À ke Nkes) VE) Fest (y = ) pour «a <z<f (= —— pour B<z<i
où x désigne la racine comprise entre o et 1 de l’équation
2 (PR RER Berre ke LS 2 2 ms
Æ Br
Un calcul immédiat montre alors que l'équation Y,(3)—7y,(z2)—=oa bien toujours un zéro € et un seul compris entre o et £, quel que soit p comprisentreoet1.
2 HÉAN ob
et
11. La valeur Ÿ que nous venons d'obtenir n’est pas en général la limite exacte du module minimum des zéros de f'(3). Cela tient d’abord à ce que, pour que cette limite fût atteinte, 1l faudrait que y1(O = Y,(Q), et l’on sait que cela ne se produit que pour
; z(1+ 3x) VON
avec æ >1 ou æ <— -; mais la seconde hypothèse est à rejeter, car
U(z) ne serait pas positif pour o£3<€. Donc, au point &,
