RÉCRÉA.TIONS MATHEMATIQUES
la première case de la quatrième colonne, sur la sixième case de la septième colonne et sur la deuxième case de la huitième colonne ; ou encore en les disposant respectivement sur les première, septième, troisième et cinquième cases des première, troisième, cinquième et septième colonnes.
Un problème semblable consisterait à déterminer le nombre minimum de reines et les positions qu'il faudrait leur donner sur un échiquier de n^ cases, pour que toutes les cases soient commandées ou occupées.
Il paraîtrait que, même en introduisant la restriction qu'aucune reine ne peut en prendre une autre, on ne trouve pas moins de 91 solutions typiques permettant de disposer 5 reines sur un échiquier de façon à commander toutes les cases (^).
Problèmes avec d'autres pièces du jeu. — On peut proposer des problèmes analogues en choisissant d'autres pièces du jeu d'échec. Par exemple on a proposé de déterminer le nombre maximum des cavaliers pouvant être placés sur un échiquier de n^ cases de façon que deux quelconques d'entre eux ne soient pas en prise, ainsi que le nombre minimum des cavaliers qu'il faut disposer sur l'échiquier pour que toutes les cases soient commandées ou occupées. Q)
Des problèmes semblables ont été proposés pour le cas de k rois sur un échiquier de n^ cases. (^) On a avancé que, si A: =^ 2, le nombre de manières de disposer 2 rois sur l'échiquier de façon qu'ils ne puissent occuper deux cases adjacentes a pour expression
~ {n — i) (n — 2) {n^ H- 3/i — 2). De même, si /c = 3, le nombre de manières dont on peut dispo-
(') V înlcrmcdiaire des Malhématiclens, Paris, 1901, vol. VIII, p. 8 S. P) Ihid. mars 1896, vol. III, p. 58; 1897, vol IV, pp. i5, 254; et 1898, vol. V, p. 87.
(3) Ibid. juin 1901, p. i4o.
QUESTIO:SS DIVERSES 120
ser 3 rois sur l'écliiquier de façon que deux d'entre eux n'occupent pas des carrés adjacents est
^ (n — t) (n — 2) (n' -f- Srî' — 2on^ — 3o/i + i32.-)
Le problème des quinze écolières. — Ce problème, qui a été énoncé pour la première fois par M. T. P. Kirkman et qui est quelquefois connu sous le nom de problème de /ûV/cman (*), consiste, en principe, à disposer quinze objets en différentes séries de triades remplissant certaines conditions déterminées.
(•) Il a été publié pour la première fois en i85o dans Lady^s and Gentleman's Diary, p. 48, et a donné lieu à de nombreux mémoires. Nous citerons principalement les articles suivants :
A. Catley dans le Philosophical Magazine, juillet i85o, série 3, vol. XXXVII, pp. 5o-53 ;
T. P. KiKKMANN, dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i85o, vol. V, p. 260 ;
R. R. Anstice, dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i852, vol. VII, pp. 279-292 ;
B. PiERGE, Gould's Journal, Cambridge U. S. 1860, vol. VI, pp. 169-174. T. P. Kirkman, Philosophical Magazine, mars 1862, série 4, vol. XXIII,
pp. 198-204;
W. S. B. WooLuousE, dans le Ladfs Diary de 1862, pp. 84-88, et de i863, pp. 79-90;
Le même dans le Educational Times Reprints, 1867, vol. VIII, pp. 76-83 ;
J. Power, dans le Quarterly Journal of Mathematics, 1867, vol. VIII, pp. 236-25 1 ;
A. H. Frost, dans le Quarterly Journal of Mathematics, 1871, vol. XI, pp.26-37;
E. Carpmael, dans les Proceedings of the Lcmdon Mathematical Society, 1881. vol. XII, pp. i48-i56;
Lucas, dans ses Récréations, vol. II, partie VI;
A. G. DixoN, dans le Messenger of Mathematics, Cambridge, octobre 1893, ^ vol. XXIII, pp. 88-89 ; et W. Burnside, dans le même, 1894, vol. XXIII, pp. 137-143.
U a été également discuté, par W. Aiirens dans ses Mathematische Unterhaltungen und spiele, Leipzig, 1901, chap. XIV.
On le présente généralement sous cette forme : Une maîtresse de pension avait l'habitude de conduire tous les jours en promenade ses quinze élèves en les disposant sur cinq rangs, comptant chacun trois jeunes filles. On demande comment elle doit s'y prendre pour que chacune des élèves se trouve successivement une seule fois en compagnie de chacune de ses camarades.
Plus généralement on pourrait se proposer de disposer Sm jeunes fdles en triades pour faire des promenades pendant
- (3m — i) jours, de façon que chaque enfant eût successivement
une seule fois chacune de ses camarades comme compagne de route.
La théorie de la formation de toutes les triades possibles pour le cas de quinze élèves ne présente aucune difficulté sérieuse, mais l'extension au cas de $m personnes n'a pas encore été résolue. Nous allons présenter trois solutions, toutes les trois analytiques, mais en faisant remarquer que le problème peut également se traiter par des méthodes géométriques.
Méthode de Frost. — La première de ces solutions est due à M. Frost. Son exposition complète nous conduirait à des développements trop considérables et nous nous contenterons d'en présenter un aperçu qui donnera, pensons-nous, une idée suffisamment exacte du procédé.
Représentons par k l'une des jeunes filles, ses compagnes de promenades étant différentes chaque jour, supposons qu'elles
soient ;
le dimanche .•..«••... ai et 02,
le lundi 61 et 62,
le mardi Cj et ca,
et finalement le samedi </i et gfo.
Nous avons ainsi les sept triades ou combinaisons trois à trois ka^a^ I kb^b^ \ kc^c^ \ kd^d^ \ ke^e^ | kfj^ | kg^g^.
QUESTIONS DIVERSES
dont chacune sert pour un jour, et il nous faut déterminer sept suites de quatre autres triades formées avec les quatorze lettres a,, a,, 6j. b.^, c^, c,, d^, do, e^, e^, f^, f^, rj^, g^, de telle sorte que deux mêmes lettres ne figurent pas ensemble.
Or, convenons d'écrire a pour a^ ou a^, h pour 6j out^, c pour Cj ou c^, et ainsi de suite ; les indices i et 2 sont appelés complémentaires. Alors, puisque les trois lettres qui entrent dans chacune des triades que nous cherchons à former doivent être différentes, il s'agit de composer avec ces lettres a, h, c, d, e, f, g des arrangements de trois lettres, tels que deux quelconques d'entre elles ne se trouvent pas ensemble plus d'une fois. Aussi on peut grouper a avec 6c, de et fg, puis h avec dj et eg, et enfin c avec dg et ef.
Nous obtenons, par ce moyen, les sept triades fondamentales :
abc, ade, afg, hdf, beg, cdg, cef.
Parmi ces sept triades, les quatre qui ne contiennent pas la lettre a seront placées dans la colonne du dimanche, les quatre qui ne renferment pas la lettre 6 seront inscrites dans la colonne du lundi, et ainsi de suite. Gela nous donne le canevas suivant ;
Dimanche
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
Samedi
/t'Ai «2
kb.ho
kciC-i
hd^d-2
/ccic^
kg^g-2
bdf
ad e
ad e
ah c
ab c
ab c
ab c
le g
afg
afg
afg
ad e
ad e
cd fj
cd g
bdf
bdf
be g
bdf
cef
cef
be g
ccj
cd g
cd g
cef
Faisons maintenant remarquer que. chaque triade fondamentale donne quatre combinaisons des quatorze jeunes filles prises trois à trois, qui peuvent entrer dans le tableau des promenades de la semaine. Par exemple, la disposition bdf nous donne les quatre triades,
^i^i/i, ^AA» MiA» M?/i-
bAfi
ade
abc
abc
b,eg
^fg
^Ag
ade
cd^g
cdg
hAh
beg
\dj.
beg
bM
ce/a
cef
b,eg
cef
cd,g
cdg
cef.
On pourrait disposer les indices i et 2 de plusieurs autres manières, mais nous avons donné celle qui se présente le plus naturellement.
Inscrivons donc ces combinaisons dans les colonnes respectives qui contiennent bdf, c'est-à-dire dans les colonnes du dimanche, du mardi, du jeudi et du samedi ; puis, dans ces mêmes colonnes, donnons à l'autre lettre, b, d ou/, l'indice complémentaire de celui déjà écrit, on obtient ainsi pour les quatre dernières lignes du tableau
Cela fait, la triade suivante dans la colonne du dimanche est b^eg. La disposition beg se présente dans quatre colonnes et comprend quatre triades possibles, telles que
ViS'i» b,e,g.^, b,e,g., b.e^g^.
On les inscrit, et on donne les indices complémentaires aux autres mêmes lettres dans ces quatre colonnes.
En opérant ainsi, l'arrangement cherché s'obtient graduellement en prenant ime triade à la fois, notant d'indices convenables les lettres dans les triades qui s'en déduisent, et donnant ensuite les indices complémentaires aux autres lettres semblables dans les mêmes colonnes.
Voici un arrangement final obtenu ainsi
Dimanche
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
Samedi
ka^a^
hbM
kc,c.
kdid^
keiCi
hi9i
bAfi
Uiditto
aldle^
HhH
aibiCi
aib^c^
adi ej
aidie-i
CidiCji
cidiOi
bieifj2
hdj.
C2eji
C2dig-2
Ciei/2
QUESTIONS DIVERSES
Nous pouvons obtenir d'autres solutions en choisissant sept autres triades ou en adoptant un autre arrangement pour les indices dans chaque triade (ou simplement en effectuant des inversions entre les lettres et les indices dans le tableau ci-dessus).
En opérant ainsi, M. Power a montré cjue le problème ne présentait pas moins de 16567 552 000 solutions différentes, mais puisque le nombre total des manières dont la premenade peut être effectuée, dans une semaine, par les élèves disposées en triades est de (455)^ la probabilité qu'une de ses promenades, prise au hasard, se fasse suivant la condition imposée par Kirkman est très petite.
La méthode de M. Frost est applicable au cas de 2-° — i écolières
se promenant en triades pendant 2'
— I jours. Il a donné la
solution détaillée pour soixante-trois jeunes fdles marchant pendant trente-et-un jours, cas qui correspond h n = 3,
Méthode d'Anstice- — Une autre façon d'aborder le problème est due à M. Anslice ; elle fournit l'élégante solution suivante qui permet de déduire, au moyen d'une permutation circulaire, de l'ordre choisi pour le dimanche, l'ordre à adopter pour les six jours suivants.
Représentons les écolières respectivement par les lettres
k, fli, «2. «3> «4J «3) «6' «-' ^» ^2J ^3' K» h» ^6' ^7
dl supposons que l'ordre, pour le dimanche, soit :
kaj)^y a^a^a.., agh^h^, a^b^b-, a^b,b,^.
En faisant permuter circulairement les indices, on obicnt six autres arrangements qui remplissent les conditions du problème : la raison en est que dans la disposition donnée ci-dessus, la différence des indices de chaque couple de lettres semblables (telles que les lettres a ou les lettres 6), dans une triade, diffère d'une triade à l'autre, et il en est de même de la différence des indicés de chaque couple de lettres dissemblables entrant dans une triade.
Récréations Mathématiques, II. g
l3o RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
On peut former, pour le diiiianclie, deux autres arrangemenls, qui donneront par pcrmulalion circulaire^ les dispositions pous les autres jours de la semaine. Ce sont :
kafi^, a^^a^, a,b..b., aM.fi^^ a.h.^b^, et
kciyb^, CL^a^a.., aj).,b^, a^bJ).^, a^b.Jj^,
La méthode de M. Ansticc s'applique au cas de 2 p + i jeunes filles se promenant par rangs de trois pendant p jours, dételle sorte qu'aucun couple ne puisse marcher ensemble plus d'une fois, p étant un nombre premier delà forme 12 m -h 7. Il a montre comment il était possible de former un arrangement fondamental pour un jour de promenade et comment on pouvait en déduire les arrangements pour les p — I jours restants au moyen de permutations circulaires des indices. Le nombre des arrangements fondamentaux est de
Le problème des quinze écolières correspond à m = o, et les trois arrangements fondamentaux de M. Anstice sont donnés plus haut.
Si /7ï = I, nous avons le problème des trente-neuf écolières. L'un des arrangements fondamentaux est dans ce cas :
kafii, a^a^ay^, «3«7«io> «g^it^is' «a^io^i;;» «4^3^' «y^s^o»
«1J^8^4» «13^9^75 «H^12^16' «lo^4^» «lG^2^il' «lO^C^lB'
Si m= 2, nous avons le problème des soixante-trois écolières, dont M. Frost a donné une solution ; et ainsi de suite.
Méthode de M. GiU. — M. J. H. Gill nous a donné l'idée d'une nouvelle façon de traiter la question. En représentant les élèves par les lettres
QUESTIONS DIVERSES
1° Il forme une tiûadc du type a, a,^ -+- i, a^m + i, au moyen de laquelle il déduit, en permutant circulairement les indices i, 2, 3,...., 3m, m triades composant un arrangement pour un jour; puis
2^ Il forme - [m — i) autres triades telles que les trois différences
des indices soient différentes, et il en tire, par des permutations
circulaires des indices, les arrangements pour les - (m — i) jours
qui restent.
Ainsi, dans le cas des quinze écolières, la triade a^a^ai^ donne (par des permutations circulaires des indices) un arrangement pour le premier jour et deux triades telles que a^a.^a^, «tCtgag nous permettant de former trente triades dont on peut déduire immédiatement un arrangement pour les six autres jours de la semaine. Voici une des solutions obtenues par cette méthode.
1" jour
2* jour
3* jour
4' jour
5° jour
6" jour
7" jour
TI,l3, 4
3, 5,ir
io,ii,i/i
2, 4jIO
Mais bien que celte méthode nous donne des triades qui nous permettent de résoudre le problème, l'arrangement final est empirique.
Une solution du problème des vingt-une écolières, pour dix jours de promenades, peut s'obtenir par cette méthode.
a^a/I^. donne sept triades constituant un arrangement pour un jour et a^ a.^ a^,, a^ a, a^^. a^ a^ a^Q nous fournissent soixante-trois triades dont on peut déduire une disposition de promenade pour les neuf autres jours. Voici la solution obtenue ainsi :
l" jour
2' jour
3« jour
4' jour
5* jour
io,ii,i5
6* jour
7" jour
8« jour
9" jour
10' jour
io,i3,T9
II,l4,20
ll,l3,2l
Nous serions heureux de recevoir d'un de nos lecteurs une solution semblable pour un arrangement analogue de trente-trois écolières faisant seize promenades pendant seize jours, en partant de triades types comme i, 12, 28 ; i, 2, 10 ; i, 3, 16 ; i, 4, 18 ; i, 5, 11 ; 1,6, i3 , ou de toute autre suite de triades formées de la même manière, c'est-à-dire telles que (à l'exception de la première) les différences des indices qui y figurent soient toutes différentes.
Théorème de Walecki. — Récemment, M. Walecki — cité par M. Lucas — a montré que, connaissant une solution du problème de n élèves faisant des promenades par rangs de trois,
pendant jours, on pouvait en déduire une solution pour le
cas de on élèves se promenant pendant - (3 n — i) jours.
QUESTIONS DIVERSES l33
Car, si on connaît un arrangement des n ccolières, a^, ctg, «3...., a„ pour - {n — i) jours ; ainsi qu'un arrangement des n élèves
^i, ^2» ^3.-.--) bn', et qu'un nouvel arrangement des n ccolières c^, c^, C3,...., C;, ; on a immédiatement un arrangement de ces 3n
élèves pour - (n — 1 ) jours. Une suite de n triades pour un autre
jour sera donnée par l'arrangement a^ 6,„ ^ ^ c^ + 2& ^^ faisant m successivement égal à i, 2, 3,...., n. Ici /c peut avoir une quelconque des 71 valeurs o, i, 2, 3 [n — i); mais chaque fois qu'un indice est supérieur à n, on doit le diviser par n et ne retenir que le reste de l'opération.
Nous obtenons de la sorte un arrangement pour n-\ {n — i)
jours c'est-à-dire pour - (3/i — i) jours.
L'arrangement de trois élèves pour un jour est visible. Dès lors, au moyen du théorème de Walecki nous pourrons en déduire aussitôt un arrangement de 3™ enfants pour - (3'" — i) jours. D'une
façon plus générale, comme nous avons donné des solutions du problème pour le cas de Sn enfants quand ai = i, 3, 5, 7, 9, i3 et i5, il en résulte que^ pour les mêmes valeurs de n, nou» pouvons trouver des arrangements analogues pour 3"' X n enfants.
Au théorème original, le professeur Sylvester (*) a ajouté comme corollaire que les quinze écolières devaient effectuer leurs promenades pendant i3 X 7 jours pour permettre à toutes les triades possibles de se trouver une seule fois en tête de ligne.
Le problème général consistant à trouver le plus grand nombre de manières de disposer x écolières se promenant en rangs de a de front, de telle sorte que toutes les combinaisons possibles de b
(') Philosopldcal Marjcizine, juillet ]85o, série 3, vol. XXXVII, p. 52 ; une solution par Sylvester est donnée dans le PliilosopJdcal Magazine de mai 1861, série 4> vol. XXI, p. 371.
l3/i RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
d'entre elles marchant de compagnie se présentent tmc fois, mais une fois seulement, a été résolu pour plusieurs cas. Supposons que y soit ce nombre de dispositions. Il est évident que si les x écolières peuvent marcher chaque jour en rangs de a de front, x doit être un multiple de a et le nombre des rangs dans chaque promenade quotidienne est égala-. Si un tel arrangement peut se reproduire
pendant z jours, nous aurons la solution du problème consistant à promener pendant z jours x enfants disposés par rangs de a de front de manière que toutes les jeunes fdles sortent à chaque promenade et que toutes les combinaisons possibles de h d'entre elles marchant de compagnie se présentent une fois seulement. Dans la généralisation correspondante du problème de Kirkman une élève quelconque ne peut être qu'une seule fois la compagne dopromenade de toutes ses camarades, mais il ne s'ensuit pas nécessairement que toutes les combinaisons possibles de deux élèves se présentent une fois.
Un exemple pour lequel la solution est évidente est x =. 211, a := 2, b =- 2, dansée cas j = n [211 — i), z = 2n — i.
En prenant x = ib, a ^^ S, b = 2, nous avons j = 35 et il se trouve que ces trente-cinq rangées peuvent être divisées en sept séries dont chacune contient tous les termes, par suite 2 = 7.
Plus généralement, avec oî = 5 X 3", a = S, b = 2, on trouve
Il faut remarquer que dans les solutions du problème des quinze écolières et de l'extension donnée ci-dessus, chaque groupe possible de deux enfants se promène une fois, il en résulte donc que, dans ce cas, on aurait pu déterminer z aussi bien que j.
Les résultats mentionnés plus haut ont été donnés par Kirkman (^)
(*) Cambridge and Dahlia Mathematical Journal, i85o, vol. V, pp 255-262.
quilstions diverses i35
en i85o. Dans le même mémoire il démontre que si p est un nombre premier, et si oî =^ p^\ a = p, 6 = 2 ; on a ; p'" — I
Si x = (/)2 -f- p 4- i) (p H- i), en supposant que p^ -h p -h i n'ait aucun diviseur moindre que p + i, a =^ p -{- i, b = 2 ; on
XX — i)
Si X = p^ -\- p -{- I , a = /J H- 1,0 = 2, alors y = x.
Et enfin, si a: = i5, a = 3, 6 = 3 ; y = Z|55, z = C)i (Résultat de Sylvcstcr).
Trois ans plus tard Rirkman (*) résolvait le problème pour X = 2", a = liy b = d.
Dernièrement, en i8g3, M. Sylvester [^) a fait connaître une solution pour X = (), a = S, b = 5 \ dans ce cas y = 84, z = 28. Il a montré qu'une méthode identique s'appliquait au cas de x= 3'", a = 3» 6 = 3 ; de sorte que neuf écolières peuvent faire vingt-huit promenades (soit quatre par jour pendant une semaine) de telle sorte que chaque jour un même couple ne se présente qu'une seule fois et, qu'à la fm de la semaine, chaque écolicrc s'est trouvée une seule fois avec tous les couples possibles de ses compagnes.
En 1867, M. S. Billy (^) montrait que : pour x = ^, a = ^, b = 2 on avait y = 7 ;
pour a: = i5, a = 3, 6 = 2, on avait y = 35 ;
pour x = Si, a = S, b = 2, on avait y ==^ 1 55 ; et la méthode au moyen de laquelle il trouvait ces résultats donne la valeur de j, pour x = 2^ — 1, a = 3, 6 = 2.
Peu après, M. W. Lea (*) faisait voir que si t = 11, a = 5,
(') Cainbr'ubje and Dublin MatJœmatical Journal, i853, vol. VIII, pp. 38-/|2. (') Messenger of Malheniatics, février 1893, vol. XXII, pp. 159-160. (^) Educational Times Reprinls, Londres, 1867, vol. YIII, pp. 32-33. l^) Ibid. 1868, vol. IX, pp. 35-36; et iSyn, vol. XXII, pp. 7/1-76; — voir également lo volume do 1869, vol, XI, p. 97.
l36 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
b --:= 4. on avait y :=: GQ -^ également x = iQ, a = li, b =■ 3, donne 7 = i4o.
Ce dernier résultat est un cas particulier des théorèmes de Kirkman.
Il faut aussi faire remarquer que ces savants ne se limitèrent pas, dans leurs discussions, au cas où x est un multiple de a.
Récréations faites avec un jeu de cartes. — Nous avons déjà dit dans le premier chapitre de cet ouvrage que l'on pouvait se servir d'un jeu ordinaire de cartes pour expliquer plusieurs tours ou récréations dépendant des propriétés les plus simples des nombres, et dont beaucoup roulent sur la position relative que l'on fait prendre aux cartes. Le principe de la solution consiste à arranger le paquet de manière à amener la carte dans une position bien définie. Un tel arrangement constitue un façon particulière de battre les cartes.
Nous allons traiter successivement comme problèmes dépendant de la manière de disposer les cartes : les arrangements en lignes et en
colonnes, la détermination d'an couple de cartes choisies parmi - n(n -^ i)
couples connus, le problème de Gergonne et enfin le jeu connu sous le nom de la Souricière.
Le mélange des cartes. — L'opération de battre les cartes exécutée d'une façon régulière conduit toujours à un arrangement pouvant être calculé û priori; mais les tours qui en dépendent exigent généralement beaucoup d'adresse.
ÎSupposons, par exemple, qu'on mélange un paquet de caries en opérant de la manière suivante (qui est quelquefois usitée). On place la seconde carte sur la première, la troisième sous les deux, la quatrième au-dessus des trois, et ainsi de suite. La théorie de cette façon de battre les cartes est due à Monge (^). Voici quelques-uns
(1) Les recherches de Monge sur le sujet se Ironvcnt dans les Mémoire de l'Académie des sciences, Paris lyyB, pp. 890-412.
Parmi ceux ayant fait de nouvelles études sur la question nous citerons
QUESTIONS DIVERSES 187
des résultats obtenus dont il n'est pas difficile de donner l'explication a priori.
Si le paquet contient 6 p + 4 cartes, la (2 p -\- 2)'"" occupera la même position après l'opération qu'avant. Ainsi en battant un jeu complet de cinquante-deux caries comme on \icat de l'expliquer, la dix-lmitièmc carie ne changera pas.
Ou encore, dans un paquet de lop -f- 2 cartes mélangées par ce procédé la (2 /) -h i)'"" carte changera de place avec la (6 p 4- 2)'"" ; par exemple, avec un jeu d'écarté de trente-deux cartes, la septième carte deviendra la vingtième et la vingtième prendra la place de la septième.
Plus généralement, un seul mélange d'un jeu de 2 p cartes amènera la carte occupant le rang x^ au rang Xi, les nombres Xç^ et x^ étant liés entre eux par l'une ou l'autre des relations
^i = l C^P H- ^0 + 0' ou ^1 = l (2p — ^0 + 2),
suivant que x^ est impair ou pair.
Les résultats précédents se déduisent de ces relations.
En appliquant successivement ces formules on peut voir que l'opération de mélanger les cartes m fois a pour effet d'amener la carie qui occupait primitivement le rang Xq, au rang x,,^ déterminé par la relation
... dz 2 zti i) zh 2 Xq -h 2™ zh I,
le signe à employer dépendant de la parité de m.
Dans un paquet de n cartes, après un certain nombre de mé-
parliculiorcnicnt V. Bouniakowski : Bulletin physlco-mathétnallqae de Saint- Pélcrsbonrg, iSSy, vol. XV, pp. 2o2-2o5, dont les recherches ont été résumées dans les Nouvelles annales de malliématiques, i(S58, pp. GG-G7 ; T. DE Sai\t-L\urent : Mémoires de V Académie du Gard, i8G5; L. Tanneu : Educational Times Reprints 1880, vol, XXXIII, pp. yS-yS ; et M. J. Bour- GET, dans le Journal de Liouville, 1882, pp. 4i3-434. Les solutions données par le Prof. Tanner sont simples et concises.
l38 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
langes, ne surpassant pas n, les cartes reprennent leur position initiale. C'est ce qui arrive toujours aussitôt que la carte qui se trouvait au-dessus à l'origine est revenue occuper cette place. Pour déterminer le nombre de mélanges qu'il est nécessaire d'effectuer avec un paquet de 2p cartes, il suffit de poser Xm = Xq et de chercher la plus petite valeur de m satisfaisant à l'équation résultante pour toutes les valeurs de oîq, de I k ap. Il s'ensuit que si m est le plus petit nombre pour lequel 4°^ — i est divisible par ^p -\~ t^ m mélanges sont nécessaires lorsque l'une ou l'autre des expressions 2™ -h i, 2'" — I est divisible par lip ~{- i, dans le cas contraire l'opération exige 2111 mélanges.
Pour un paquet de 2p + i cartes, le nombre de mélanges est le même que pour un paquet de ap cartes.
Avec un jeu d'écarté de trente-deux cartes, six mélanges suffisent ; aA'ec un paquet de 2" caries, /i -+- i mélanges suffisent ; avec le jeu complet de 52 cartes, il faut faire 12 mélanges ; avec un paquet de i3 cartes, dix mélanges sont suffisants tandis qu'avec un paquet de cinquante cartes il en faut cinquante ; et ainsi de suite.
M. W. H. Hudson (^) a également montré que, cjuelle que soit la loi du mélange, si on le répète d'une façon constante en opérant sur un paquet de n cartes, ces cartes reprennent finalement leur position primitive après un nombre de mélanges ne surpassant pas le plus grand possible plus petit multiple commun de tous les nombres dont la somme est égale à n.
Car supposons qu'une certaine position soit occupée après le premier, le deuxième le p'"^ mélange, respectivement par les cartes
Al, Aj, A3,..., A^,, et qu'au début, cette position soit celle de la carte Aq. Supposons de plus qu'après le p™^ mélange, Aq reprenne, sa position initiale, par suite Aq = A^. Mais, après le second mélange A^ prend la place de A^ pour la môme raison que Aj a pris celle de iVo après le premier mélange ; il s'ensuit donc qu'avant ce mélange Ag occupait la place prise par A^ avant le premier mélange.
(*) Ediicational Times Reprints, Londres i865, vol. II, p. io5.
QUESTIONS DIVERSES iBq
Par con::cqncnl, les carlos qui, après les mélanges successifs prennent la place occupée primitivement par A^ sont A^, Ag,..., A^,, Aj ; c'est-à-dire, qu'après le p™° mélange A^ reprend sa place initiale. Il en est donc de même de toutes les autres cartes Ag, A^, . . . , A^, — i .
Ainsi, les cartes A^, Ag,..., A^ forment un cycle de p cartes ; l'une ou l'autre d'entre elles occupe toujours l'une ou l'autre de p positions dans le paquet et elles passent par toutes ces positions après d mélanges. Divisons ainsi le nombre n des cartes en cycles de p,q,r,..f caries, la somme p + f/ -h r +,..., étant égale à n , alors le plus petit multiple commun de p,q,i\...^ représente le plus grand nombre de mélanges qu'il est nécessaire d'effectuer avant que toutes les cartes aient repris leurs positions initiales.
On trouve après quelques essais que dans le cas d'un paquet de cinquante-deux cartes, le plus grand plus petit multiple commun des nombres dont la somme est égale à 52, est i8o i8o.
Les développements qui précèdent permettent de suivre facilement l'intéressante récréation suivante.
On prend un jeu de 62 cartes que l'on dispose suivant un ordre déterminé : par exemple les i3 cœurs en ordre as, deux, trois,... , roi, puis à la suite les i3 piques, les i3 carreaux et enfin les i3 trèfles, dans le même ordre que les cœurs.
Toutes les faces étant en dessous, la première carte du dessus du jeu est le roi de cœur et la cinquante deuxième carte l'as de trèfle.
Cela fait, on bat les cartes une à une comme il est expliqué cidessus et cela autant de fois qu'on le demande.
Nous avons vu comment on pouvait déterminer après chaque mélange le rang occupé par une carte quelconque connaissant son rang initial.
On donne maintenant à couper autant de fois qu'on le désire et on a soin de regarder la dernière carte du jeu, une fois les coupes terminées.
Supposons que les cartes aient été battues, comme nous l'avons dit, 3 fois, et que la dernière carte du jeu soit le 7 de carreau.
l40 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
f,cs caries sont alors disposées une à une sur une table, en commençant par celle du dessus, de manière à former 4 rangées de i3 cartes chacune, sans retourner une seule carte.
La récréation consiste :
1° A déterminer la position d'une carte quelconque, par exemple du valet de cœur, c'est-à-dire à faire connaître la rangée où se trouve cette carte et le ii** qu'elle occupe dans celle rangée en comptant de gauche à droite.
2° A nommer la carte qui occupe un n° donné dans une rangée désignée, par exemple le n'^ 3 de la troisième rangée.
On commence par déterminer le rang qu'aurait dû régulièrement occuper le 7 de carreau, après les 3 battues successives, si on n'avait pas fait couper le jeu.
Au début du jeu le 7 de carreau était au rang 33.
Après la i*"" battue cette carte a pris, le rang déterminé par la relation
Après la 2™® battue, le rang de celle carte est devenu
et après la 3"^ battue son rang est
Car nous avons constaté la présence du 7 de carreau au 42'"" rang, il en résulte donc que les coupes successives ont eu pour effet de faire reculer cette carte de 52 — 3 = 49 rangs ou, ce qui revient au même, de la faire avancer de 3 rangs.
Il en est de même de toutes les cartes du jeu qui se trouvent ainsi déplacées dune quantité constante.
Cela posé abordons les deux questions proposées.
QUESTIONS DIVERSES
i" problème. — Il s'agit de trouver où est le valet de cœiii
rans: du valet de cœur au début
(( « « après la i'^'' battue (62 4- 3 H- i) = 28
« (( « après la 2™° « - (62 — 28 H- 2) = i3
« « (( après la 3"^^° « - (02 -h i3 H- i) = 33
ainsi le valet de cœur occupait le 33'"" rang après la 3™^ battue, et comme les coupes ont eu pour eîTet de le reculer des 49 rangs ou de l'avancer de 3 rangs, son rang final est
33 + 49 == 82 =rr 52 -f- 3o ou 33 — 3 = 3o.
Le valet de cœur est donc la 4"'* carte de la troisième rangée.
2'"" problème. — C'est la question inverse.
Nommer la carte occupant le n° 3 de la 3'"° rangée.
Cette carte est la 29"".
Or, elle a été avancée de 3 rangs par suite des coupes, elle était donc la 29 + 3 = 32"° après la 3""° battue.
Comme 32 X 2 est plus grand que 62, le rang Xq de la carte au commencement de la 3'"® battue ou à la fin de la 2™° battue, sera donné par la relation
(53 -H a^o H- i) d'où Xo = G4 — 53 = 1 1 .
II X 2 étant plus petit que 52, le rang de la carte au commencement de la 2"*^ battue ou à la fin de la i'"'' battue est donné par la relation
1 1 = - (52 — Xq -\- 2) d'où Xq = bf\ — 22 = 32.
Enfin, le rang de la carte avant la i" battue sera
