arc tg arc tg \- arc tg
En 1844, Dase (^) trouva -n: avec 2o5 décimales (200 exactes) en
TI l 1 l
partant de la formule j === arc tg - -h arc tg p^ + arc tg 0 •
(1) Phîlosophical Transactions, 1776, vol. LXVI, pp. 476-492.
(2) Nova Acta Academiae Scientiarum Pelropolitanœ pour 3798, Saiiit-Pctcrsbourg, 1798, vol. XI, pp. i33-i49 ; le mémoire fat lu on 1779.
(3j Nova Acta Academiae Scientiarum PetropoUtanœ pour 1790, Saint-Pétersbourg, 1795, vol. IX, p. 4i-
(*) Thésaurus Logarithmorum (logarilhmisch-TrigometriscJier Tafeln), Lcip-
(3) Philosophical Transactions, 1841, p. 283.
{^) Journal de Crelle, i844, vol. XXVII, p. 198.
En 1847, Glausen (*) poussa rappioximation jusqu'à 25o décimales (248 exactes) en calculant u au moyen des deux formules :
j = 2 arc. tg i + arc. tg i, ~ == 4 arc. tg ~ — arc. tg ^.
En i853, Rutherford (^) poussa sa première approximation jusqu'à 44o décimales (toutes exactes) et William Shanks alla jusqu'à 53o décimales. Ces 53o décimales se trouvent également reproduites dans les tables d'intégrales définies de Bierens de Haan (Amsterdam 1858-1867). La même année, Shanks fit connaître une nouvelle valeur de - calculée avec ('07 décimales (^). Dans les Proccedings of tlie Royal Society of London, 1872-78, Vol. XXI, p. 3i8, la valeur de 7: est donnée avec 707 chiffres décimaux, mais on a découvert que trois décimales étaient fausses ; la valeur corrigée avec 707 décimales a été donnée dans le Vol. XXII, p. 45, dans une communication de William Shanks, lue par le professeur G. G. Stokes, le i3 octobre 1873. Ces 707 décimales ont été rééditées tout récemment dans le Zeitschrift d'HolTmann, 1896, T. XXVI, p. 263, avec une réimpression textuelle d'un article de W. Shanks, daté du i4 avril 1873, et une courte esquisse biographique de cet infatigable calculateur.
La formule employée pour cette évaluation du nombre u est celle de Machin.
^ = /iarclgl-arctgji^.
En i853, Ritcher, ignorant probablement les résultats obtenus jusqu'alors par les géomètres anglais, trouva une valeur de tz avec 333 décimales '(*) (dont 33o sont exactes) ; son approximation fut
(*) Schumacher. — Astronomische Nachrlchlcn, vol. XXV, col. 207.
(2) ProceecUngs of Ihe Royal Society, 20 janvier i853, vol. VI, pp. 278-
{^) Contributions to Mathematics, W. Shanks, Londres, i853, pp. 86-87. (*) Archiv. de Gruncrt, vol. XXI, p. 119.
29b RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
poussée jusqu'à 400 décimales, en i854 (^), et jusqu'à 5oo décimales en i855 Q).
De toutes les séries ou formules qui ont été employées pour calculer ces valeurs approchées de tt, celles de Machin et de Dase sont peut-être les plus simples et les plus commodes. Signalons deux séries dont la convergence est rapide
et
^=2 + 22arctg^ + arctg^3-5arctg^-~ioarclg-^^g,
cette dernière est due à M. Escott (^).
Les résultats qui précèdent se trouvent résumés dans le tableau de la page suivante.
Pour retrouver tt avec un nombre de décimales plus que suffisant pour les calculs les plus approchés que l'on puisse avoir à faire, il suffit d'écrire la phrase ci-dessus qui se retient facilement lorsqu'on l'a lue une fois
Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages 3i4i5 9 36 535
en comptant le nombre des lettres qui entrent dans chaque mot et en écrivant les totaux dans l'ordre où on les trouve, on obtient le nombre r avec ses 10 premières décimales.
Puisque nous sommes en si bonne voie citons le'quatrain mné-
(1) ArcJdv. de Gnmcrl. Vol. XXIII, p. 476 : l'approximation donnée dans le vol. XXII, p. 473, n'est exacte que pour les 33o premières décimales.
{') Ibid. Vol. XXV, p. 472 ; et Elbinger Anzeigen, n° 85.
Ç^) Intel médiaire des Mathématiciens, Paris, Décembre iiSgG, Vol. III. p. 276.
Nombre
Nomhre
Dates
Noms des calculateurs
des décimales
des décimales
calculées
exactes
Archimède
Regiomontanus
Les astronomes indiens
J. Rhelicus
Pierre Metius
Viète
I SgO
Lud. 'Van Geulen
Adrien Roman us
Lud. Van Geulen
iGi 5
Lud. Van Geulen
lG:2I
Snell
Abr. Sliarp
Machin
De Lagny
Vega
ii3
^ Vega
l/iO
(inconnu)
18 'Il
Rulherford
Dahse
Glausen
2ao
Shanks
Rutheiford
-V'iO
lx\o
Shanks
Shanks
Richter
Richter
/jOO
Richter
/jOO
Richter
5oo
5oo
Shanks
monique suivant (en pitoyables vers d'ailleurs) qui permet de rctrou ver les 32 premiers chiffres de iz :
Que j'almc à faire apprendre un nombre utile aux sages
Immortel Archimcde, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ? 323 8 4 626
Pour moi ton problème eut de pareils avantages. 433 8 327 9
Ce quatrain a été public dans le tome V, 1879 de la Nouvelle Correspondance malhêmalique , p. 449 d'après une communication de Radicke, empruntée à Vlllustrirte Zeitung, Le même quatrain est rapporte dans les Problèmes de géométrie de Laisant et Elie Perrin (Paris 1894), p. 42 et les auteurs ajoutent, comme l'avait fait Catalan (loc. cit.) : « la 32* décimale (^) est un zéro ce qui empêche d'étendre davantage ce procédé mnémotechnique »,
Dans l'ouvrage d'Aimé Paris intitulé Principes et applications diverses de la Mnémotechnie (2 vol. in-8°, Paris i834), on trouve à la page 676, le moyen d'apprendre le nombre tc avec i54 décimales (2).
La valeur de - se retient par un procédé analogue en faisant un
emprunt à l'histoire.
Les révolutions ont été assez fréquentes en France.
La révolution de i83o a succédé à celle de 89.
Les trois journées de i83o ont précédé 89 à l'envers
(1) On a imprimé par erreur 3i'"®.
(2) A l'Ecole polytechnique, tous les élèves connaissent le moyen mnémotechnique de retenir les premiers chiffres de la partie décimale de tc. On dit un quatre et un cinq font neuf.
L'expression faire deux pi signifie décrire une circonférence et, par extension, faire le tour complet de la cour. Faire pi, c'est faire une moitié de tour. Faire pi sur deux, c'est profiter du sommeil d'un camarade pour le redresser verticalement sur son lit.
Pour la plupart des cas, les 3 journées de i83o suffisent pour rappeler les premiers cliilTres 3 i83o de la partie décimale. Knûn disons qu'on a trouvé pour e la phrase suivante :
Tu aideras à rappeler ta quantité à beaucoup de docteurs amis 0=2,718 2 8 I 8 3 8 4
On peut aussi obtenir expérimentalement une valeur approchée de TT au moyen de la théorie des probabilités. A cet effet après avoir tracé sur un plan un certain nombre de droites parallèles distantes les unes des autres d'une même quantité constante a, on laisse tomber sur ce plan une petite tige de longueur / (/ étant moindre que«). La probabilité qu'elle tombera de façon à couper une des parallèles
est exprimée par — (^). Si l'expérience est reprise plusieurs centaines de fois, le rapport du nombre des cas favorables R au nombre
R 2I total des chutes N sera sensiblement éeal à cette fraction, -^j = —
d ou resuite tt r= =^ .
Le Magasin pittoresque do i838 (p. 3oo) rappelle ce procédé en prenant pour exemple / = 5o millimètres, a = G3™"\6, et ajoute dans le même article que le choix de ces longueurs (ou plutôt de leur rapport) est tel que sur un nombre de coups déterminé on a ainsi le plus de chance d'obtenir la plus grande approximation possible. F. Robellaz a examiné la question dans V intermédiaire des Mathématiciens et a démontré que, contrairement à l'afTirmation ci-dessus, ces conditions se trouvent réalisées lorsque la longueur de la tige est égale à l'équidistance des parallèles (^j.
Citons quelques résultats obtenus par cette méthode ; en i855. En i855, M. A. Smith {^) d'Aberdeen fit 3 204 essais et en déduisit
(1) Voir l'ouvrage de J. Richard. Sur la philosophie des Mathématiques. Paris 1908, pp. 157-161.
■ (^) Intermédiaire des Mathénialiciens, T. II, 1895, pp 45-47.
(•^) A. DE MoHGAN. — Budfjet of Paradoxes, Londres, 1872, pp. 171-172 (extrait d'un article de De Morgan pubUc en 1S61).
300 RÉGUÉATIONS MATHEMATIQUES
r = 3,i553. Un élève du Prof. De Morgan (^), trouva tt = 3, 187 après 600 essais. En 1864, le capitaine Fox recommença i 120 fois l'expérience avec quelques précautions additionnelles, et obtint la valeur moyenne tt = 3, 1/119.
D'autres méthodes semblables permettent d'obtenir tt avec une certaine approximation. On sait par exemple que la probabilité que deux nombres écrits au hasard soient premiers entre eux a pour
expression -^ ; comme cas particulier à citer (^) 5o élèves furent invités à écrire chacun au hasard 5 couples de nombres et, ceci fait, on constata que sur les 2 5o couples écrits, i54 étaient constitués par des nombres premiers entre eux. Il résultait de là l'égalité
- ^ = --- d ou TC=:0,I2.
Plusieurs géomètres ont présenté, pour la rectification approchée de la circonférence, quelques constructions, dont quelques-unes sont très ingénieuses. Nous donnerons les principales.
Remarquons d'abord qu'on obtient une valeur de 7: avec deux décimales exactes en remplaçant la demi-circonférence par la somme des côtés du triangle équilatéral et du carré inscrit.
En prenant le rayon pour unité, la somme des valeurs de ces deux côtés a pour expression
au lieu de
La valeur ainsi obtenue est donc par excès avec une erreur absolue plus petite que o,oo5.
(^) Messenger of Mathematics, Cambridge, 1878, vol. II, p. ii3-ii4. * (2) Note sur tt, par R. Chartres. Philosopldcal Magazine, Londres, série 6, vol. XXXIX, mars 190/i, p. 3t5.
3oi
Citons encore l'expression indiquée par Gantor dans le Gesch. der
Maihem,
v/ïô
5oi -i- 80 y/io 2 , J 240 10
et due à Gergonne (A. G. Tome VIII), elle donne la valeur de t: avec 9 décimales exactes.
Construction de Specht C). — Soit OA le rayon d'une circonférence de centre 0 ; sur la tangente indéfinie en A on prend à partir de ce point, des longueurs AB, BC, CD respectivement égales au double, au cin-
quième et aux ^ du rayon.
On trace
les droites OC, OD, et l'on prend sur AO et dans le sens AO, une longueur AE égale à OC. Enfin on mène par le point E une parallèle à OD, jusqu'à son intersection en F avec la tangente AB. La droite AF est très approximativement égale à la circonférence.
On a, en effet, en prenant le rayon pour unité
donc
