MA — MF "^"-^ 5 — MF
MS=r^ v/ii' + 52= 10
Dans une communication présentée à la société mathématique de France, Bioclic observant comme nous l'avons fait remarquer plus haut que
y 2 -\- \/s = 3,iA63 = 71-1- 0,0047
en déduisait un procédé approché de rectification consistant à construire géométriquement y 2 et y S et à ajouter les segments obtenus. D'Ocagne a fait connaître une construction directe (^), Dans le cercle de diamètre AA' on trace le rayon OB incliné à 45" sur OA' et par B on mène la parallèle à AA' qui coupe en G la tangente indéfinie en A'.
La bissectrice de l'angle GOA coupe en D cette même tangente et
Voici enfin une dernière rectification.
De l'extrémité G d'un diamètre quelconque on décrit avec une ouverture de compas égale au rayon un arc de cercle qui détermine la corde AB égale au côté du triangle équilatéral inscrit. On prend sur le diamètre prolongé et à partir du point M, la longueur MD
(*) Journal de Mathématiques élémentaires, 1895, p. 77,
Récréations mathématiques, II, 90
égale à aAB. Sur DB on porte DP égal au double du rayon et la longueur PB représente approximativement - ir.
MB
PB
^V/3.DM = 2V/3,DB = \/|
2BP= 3,1414284...
Quand on a en vue la quadrature du cercle, on peut la réaliser approximativement par l'un des procédés suivants ;
Construction Willich (i). — Soit dans un cercle 0 la corde AB égale au rayon. On prend les milieux E et G de cette corde et de l'arc sous-tendu, puis à partir de G on porte deux fois le rayon de G en D ; enfin on trace la corde DEF. Gette corde est sensiblement égale au côté du carré équivalent au cercle. L'arc AD vaut
5 — — r= T- de la circonférence. Gette corde représente donc le côté du carré inscrit et l'angle AOD est droit.
Si on abaisse la perpendiculaire AH sur BD, on a AH = AD
et il est, par suite facile, de calculer la corde DB.
On calcule ensuite la médiane DE du triangle ADB, puis le segment EF par la proportion
DE.EF=AË'.
On trouve ainsi
DF = 1,77198 au lieu de 1,77245.
Voici deux autres constructions.
On trace un diamètre AB et la tangente indéfinie en A. On prend
(*) Nouvelles Annales Tbiiie XV, p. 22^^
sur OB la longueur OC égale au .. du rayon et du point G comme
centre avec une ouverture de compas égale au double du diamètre on décrit un arc de cercle qui coupe la tangente en D. On trace
enfin la sécante DB qui coupe la circonférence en E et la corde AE représente approximativement le côté ^ du carré équivalent au cercle.
AL Q C |B On trouve AE = 1,7724502 au
lieu de 1,7724588.
Sur deux diamètres rectangulaires on porte, à partir du centre 0, les 4 longueurs OA, OB, OC, OD égales
aux .- du rayon ; la surface du carré
Fjg. i5o ABGD est à peu près égale à celle du cercle (M.
AB = 1,768 au lieu de 1.772.
Construction donnée par Périgal (2). — Soit AB le côté
(1) Cette construction et la précédente sont dues, croyons-nous, à Sonnet* (2^ The MesseiKje'r of mathemalics, vol. IV, 1875, p. 71.
de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle 0. On trace le diamètre perpendiculaire MOG, et du point A comme centre avec une ouverture de compas égale au côté du carré inscrit, on trace un arc de cercle qui coupe COM en D. Enfin on porte DA en DG sur le diamètre DOC et GG représente approximativement le côté du carré équivalent au cercle.
OE
i^3, ED = i^7,
GG^i4-^(v/3 + v/"7 au lieu de
Donnons enfin cette dernière construction.
les Y du
Sur le diamètre AB du cercle donné
on prend le segment OD
rayon et, dans le sens opposé, le segment OF égal trois fois la moitié du rayon. Soit E le milieu de OB. Sur
DE et AF comme diamètres, on décrit de part et d'autre de AB des demi-circonférences qui coupent en G et H le diamètre élevé perpendiculairement à AB.
TROtS PROBLÈMES DE GEOMETRIE SoQ
Le carré construit sur GH est équivalent très approximativement au cercle.
OG'==OE.OD=-, OG-=v/-; Orf r:=:OA.OF.=z?. 0II=^-v/5
lO V 10 2 V 2
