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au lieu de 1,772/15
Terminons ce chapitre en consacrant quelques pages aux géomètres qui prétendent avoir trouvé la quadrature du cercle. Ils sont légion et ïious ne pouvons songer à les citer tous ou à résumer leurs recherches, nous nous hornerons aux principaux.
Dans sa célèbre Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Montucla s'exprime ainsi :
{( J'ai donné dans le cours de cet ouvrage, le nom de quadrateurs « à ces hommes qui, pour la plupart, à peine initiés dans la géomé- « trie, entreprennent de quarrer le cercle ou s'obstinent à maince tenir d'absurdes paralogismes pour une solution légitime de ce
(( problème Si l'erreur grossière, et presque volontaire, n'était
(( punie que de l'obscurité et de l'oubli, ce châtiment léger serait (( trop peu capable de retenir les nombreux imitateurs de ceux dont « je parle, ils deviendront peut-être plus circonspects en voyant le « mépris et l'espèce de tache qui accompagnent les noms de ceux « dont ils suivent les traces (*) ».
L'espoir que manifestait Montucla ne s'est pas réalisé : chaque année de pauvres esprits, qui n'ont certainement pas les premières notions des choses dont ils parlent, avancent, aux Académies et au public (^), qu'ils ont trouvé le rapport exact de la circonférence au
(•) Histoire des recherches, etc. Nouvelle édition (de Lacroix) pp. 200-201.
(') Dès i83i, Lacroix disait « Les choses ne sont pas changées depuis la publication de Montucla. Sans cesse de nouveaux quadrateurs assiègent les corps savants, avec des paralogismes plus ou moins grossiers, mais qu'ils
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diamètre ! Bien entendu ce rapport exact diffère pour chaque inventeur et est ordinairement fautif dès la deuxième décimale.
En France, l'Académie des Sciences a pris, depuis longtemps, le bon parti de ne pas plus s'occuper des Mémoires qui traitent de cette question, que de ceux qui ont pour but la recherche du mouvement perpétuel. (^)
Les géomètres de l'antiquité furent pour ainsi dire tous atteints de la fureur de la quadrature. Au nombre des plus ardents se trouvait Méton, célèbre par son cycle et Aristophane, le Molière des Athéniens, le tourne en ridicule sur la scène, à ce sujet. {^) Le cardinal de Gusa est le premier des Alchimistes-géomèlres modernes. Il s'imaginait avoir trouvé la quadrature du cercle, en l'aisant rouler un cercle ou un cylindre sur un plan, jusqu'à ce qu'il eût décrit toute sa circonférence ; mais il fut convaincu d'erreur par Régiomontanus. Après lui, vers le milieu du xvi' siècle, un professeur royal de Mathématiques, Oronce Fine s'illustra encore par ses singuliers paralogismes. Voici ce qu'il dit en substance :
Soit un cercle 0 dont AB et CD sont deux diamètres rectangulaires ; on joint le point G au milieu G de l'arc GB, et on divise cette droite GG en moyenne et extrême raison, GH étant le plus grand segment. Par H on mène à AB la parallèle HK qui rencontre
soutiennent toujours, avec un entêtement et une jactance invincibles ». [Histoire, etc., p. 20).
Suivant une remarque malicieuse d'Arago, la quadrature du cercle est une maladie qui sévit, surtout au printemps.
(*) Voyez ses mémoires, année 1776, hist., p. 61.
(2) Aristopu.oe. — Les Oiseaux.
CD en K : la longueur OK est le demi-côté du carré équivalent au cercle (').
En supposant exacte cette quadrature de Fine, on trouverait pour TT une valeur supérieure à 3,4 (^)-
Charles de Bovelles, chanoine de Noyon, donne également la construction suivante (^).
On trace dans le cercle E les deux diamètres rectangulaires BED, CEA ; on partage le rayon EA en 4 parties égales et l'on porte l'une des divisions en AH sur son prolongement. Puis du point II comme centre avec une ouverture de compas égale à HB, on décrit un arc
de cercle qui coupe en F et G la tangente indéfinie menée en A au cercle considéré.
De Bovelles ajoute alors : « Je dy doncques que la ligne AG sera esgale à la quarte partie de la circonférence, et aussi de l'autre costé la ligne AF. »
(i) AUrontli Finœi Delphinatis, Rcxjli Mathemalicarnm professons, De rébus mathematicis, etc. (Luletiœ Parisiorurn, Anno Christi Servatoris MDLVI) Liber Secundus, p. ']2 et 78.
(2) Nous empruntons ces renseignements à un charmant ouvrage de G. Maupin. Opinions et curiosités touchant la Mathématique. Paris 1898.
(^) La Géométrie Pratique, composée par le noble philosophe maistrc Gharlei de Bovelles. Paris, i54a.
3l2 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Cette quadrature suppose que l'on prenne t: = y/io. L'un des commentateurs du P. Leurechon (^) donne une quadrature du cercle, qui est basée sur le théorème suivant : si dans un
triangle rectangle l'hypoténuse vaut —j^ R et qu'un des angles
soit de 3o% le grand côté de l'angle droit est égal à ttR. Un autre commentateur démontre dans le môme livre la fausseté de cette proposition, qui paraît due à Longomontanus (^) et il s'exprime ainsi : (( n'en déplaise à ce nouveau cyclomotre, ny à son prétendu traicté des Curvilignes, c'est avoir le jugement curviligne que d'admettre telles absurdités. Si cette faulse monnoye prend cours en Danemarck, la France, ou du moins Paris, ne la élèvera jamais, ou bien elle n'y aura cours que parmy les ignorans ».
Cette quadrature donne pour tt une valeur comprise entre 3, 1 4 18
et 3,1419 0-
La Hollande a fourni un grand nombre de quadrateurs. Le premier en date est Simon Vander Eycke, appelé aussi Simon Duchesne ou Simon a Qaercu. En i584, il publia la quadrature du cercle^ dans laquelle il prétend démontrer que
ou que le rapport entre le côté du carré équivalent à un cercle et le rayon du cercle, est rigoureusement égal à — ^. Il se basait sur le
théorème suivant :
Si de l'extrémité D du diamètre BD d'un cercle, on mène une tangente DF et que de l'autre extrémité B on tire une ligne droite
(*) Le P. Lcuréchon jésuite, confesseur de Charles IV de Lorraine (de iBgi ? à 1670) auteur du traité de Récréations mathématiques.
(2) Le danois Longomontanus vivait de i562 à 1647. ^°^ ouvrage, paru à Amsterdam en i644 est intitulé : « Ghristiani Severini Longomontani, Cimbri, Rotundi in piano, seu circuli absolu ta mensura ».
(3) Maupin. — Opinions et curiosités touchant la mathématique, p. 24.
BCG qui coupe le cercle et la tangente, en sorte que la partie DG coupée delà tangente soit égale à BG, cetle partie inscrite BG sera égale à la quatrième partie de la circonférence du cercle.
Le Teuner montra la fausseté de cette quadrature, dans son « Traité des qiianiitez incomensurables » .
Mais en Hollande même cet ouvrage avait provoqué une première réfutation de Ludolph Van Ceulen [Claer Bewiys), laquelle, après une réponse de Yander Eycke {Claerder Bewivs), fut suivie d'une seconde réfutation [Prœfsteen et Claerder Widerleggingh). Dans le a Claerder Bewiys » l'auteur abandonne sa première valeur de tc pour y substituer l'expression
\/\/o I20 — 32 = liy 2 {y/5 — ï) = 3,i4Zi6o5
surtout connue par la mention qu'en fait Nicolas Dithmarsus dans son Fandamentam astronomiciim.
De Beaulieu, ingénieur géographe du Roy reproduisit, en 1676 dans « La Géométrie Jrançaise, ou la pratique aisée » la quadrature déjà donnée par Gharles de Bovelles.
Rémy Baudemont fit paraître en 17 12 un petit traité in-8° intitulé « La Grande et fameuse découverte de la quadrature du cercle Q) dans lequel on trouve ce passage :
(^) Remy Baudemont présente ainsi sa découverte : Au lecteur Dois-je avant de rcsoudre un si fameux Problcmc, Me fraïant un chemin à la gloire suprême, Marquer ici les noms de mes vains concurrents ? Non sans doute, et je hais cet indigne artifice. J'attends de toy. Lecteur, une entière justice, Sans briguer ton estime aux dépens des Sçavans.
3l4 RÉGRÉA.TIONS MATHEMATIQUES
« Dinostrate... partagea la circonférence d'un quart de cercle en autant de parties égales que le rayon, et il mena des rayons par tous les points de division de cette circonférence et des parallèles à l'autre rayon par tous les points de division du premier, de l'extrémité duquel il commença une ligne courbe, la continuant par l'intersection de la première parallèle et du second rayon, delà seconde parallèle et du troisième rayon, et ainsi de suite. Puis il démontra que la base de cette courbe est au rayon, comme le rayon est au quart de la circonférence. »
Ce théorème est exact, comme l'on sait, et si on prend un quart de cercle DAB, que DE soit l'arc de quadratrice dont il est parlé ; si on suppose AB = i , on a :
