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Ainsi, comme le remarque Baudemont, la quadrature du cercle revient à déterminer géométriquement le point E. Mais de fausses apparences lui font démontrer que la surface du cercle tangent au premier en D et passant en E est à celle du premier comme i est à
2. Cela est inexact, le rayon du nouveau cercle est — 1 — ^ ^^ ^^ rapport, présumé égal à - , est en réalité égal à
Si toutefois on supposait ces deux rapports égaux, on en tirerait pour ir la valeur peu approchée
Une quadrature qui, de son temps, a fait beaucoup de bruit, à cause de la grande réputation de son auteur, est celle de Joseph
tROlS I^ROBLÈMES DE GÉOMETRtE 3l5
Scaliger. En iSgA, ce savant publia un ouvrage (*) sur la question dans lequel il admet que les résultats donnés par le calcul peuvent ne pas être d'accord avec ceux que l'on obtient par une construction.
Voici quelques unes des propositions de Scaliger.
Le périmètre du dodécagone régulier est plus grand que la circonférence circonscrite,
V aire du cercle vaut 36 fois le segment sous-tendu par le côté de Vhexagone régulier inscrit.
Vaire du cercle est équivalente à celle du rectangle dont les dimensions sont les côtés du triangle équilatéral inscrit, et les neuf-dixièmes du diamètre.
Vaire du cercle est plus petite que celle du tri-rectangle dont les côtés de Vangle droit sont le rayon et la circonférence.
C'est à la suite de telles propositions qu'il trouve
7r = yio == 3,16227.,
Ludolph Van Ceulen, J. Errard, Adrien Romain (dans l'ouvrage Apologia pro Archimède), Ch. Clavius, Cataldi et Fr. Viète ayant osé réfuter sa logique mathématique, il se courrouça, les accabla d'injures, et se persuada de plus en plus que les géomètres n'avaient point le sens commun.
Dans un manuscrit de seize pages, paraissant remonter à Louis XV d'après l'écriture et l'orthographe et dont l'auteur était Nicolas Wursten, officier suisse réformé (^), on trouve une quadrature pouvant se résumer ainsi :
Ayant divisé le quadrant AB en cinq parties égales, aux points C, D, E, F, on trace la corde CF, on prolonge cette corde jusqu'à
(*) Les Cyclometrîca Elemenia, libro duo, qui ont été imprimés avec grand luxe, par Raphalingius, gendre de Ch. Plantin (les figures et leurs lettres sont en encre rouge au milieu du texte).
(2) Ce manuscrit, non daté, commence par une dédicace à Sa Majesté tres-chrétienne roi de France cl de Navare (sic).
3l6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
ce qu'elle rencontre en M et N, les rayons OA, OB : la droite MN est le côté du carre équivalent au cercle (*)•
Citons encore l'Essai physico-géométrique de M. Le Roliberg- Herr de Vauscnville (^) dans lequel se lit la proposition suivante :
Si de Vune des extrémités de Varc d'un secteur de cercle, on tire une ligne qui divise ce secteur en deux parties équivalentes, cette ligne passe par le centre de gravité du secteur.
L'auteur déduit de cette proposition, qui est manifestement fausse, la distance du centre de gravité du secteur au centre du cercle, et, en appliquant le théorème de Guldin, le volume de la portion de sphère engendrée par la révolution du secteur ; en égalant ce volume à son expression vraie il obtient une équation entre le rayon du cercle et sa circonférence.
Il aurait trouvé la même équation sans tous ces détours, en égalant ce qu'il donnait pour être la distance du centre de gravité du secteur au centre du cercle, à l'expression vraie de cette distance.
De Vauscnville avait donné une très grande publicité à son œuvre et l'avait envoyée, en France, aux Universités, Collèges et Académies.
Malgré ces soins, l'Académie des Sciences écarta dédaigneusement
(^) Le rayon étant pris pour unité
MN = 2 cos 270, MN^ = 2 (i -f- cos 54°) opérant par logarithmes, on trouve
cos 540 = 0,587785, , MN^ = 3,17557 au lieu de 3,i4i6.
(') Essai physico-géométrique. — Exposé à la Censure du Public et nominativement à celle des Physiciens géomètres, Professants dans les Universités, Collèges et Académies, lesquels sont priés et invités de le réfuter, et d'en rendre la réponse par les Journaux Littéraires. — Avec une lettre d'invitation particulière à M. D'Alembert, pour le réfuter aussi, s'il y a lieu. — Dédie à Sa Sainteté et aux Monarques. — Par M. Le Rohberg-Hcrr de Yauseuville, Astronome, Correspondant de l'Académie Royale des Sciences de Paris, Historiographe de la ville Vire, etc. — « Virtus omni obice major ».
Paris, 1778, in-8^
l'ouvrage de De Vausenville, en se bornant à affirmer la fausseté des propositions de l'auteur. Celui-ci en fut outré, d'autant plus que son Mémoire avait été envoyé à un Commissaire spécial de l'Académie, chargé d'examiner les inepties, et nommé paraît il, « Le Commissaire des Enfants perdus ». Il s'en plaignit vivement dans une longue lettre à d'Alembert, où nous relevons les détails suivants.
Un sieur Coaé, inventeur d'un cuir à rasoir, lit approuver son invention par deux commissaires, alors que lui, de Vausenville, n*en a qu'un.
Charles V lit élever une statue à Guillaume Bukel, qui inventa l'art de saler et d'encaquer les harengs : que ne ferait-on pas pour le quadrateur du cercle ?
Les quadrateurs du cercle ont tous eu la manie d'exalter les avantages que tirerait le commerce de leur découverte.
Voici ce que l'on trouve dans l'ouvrage susdit :
« Note du Censeur. — La quadrature du cercle n'a aucun rapport direct, ni indirect, avec les avantages du commerce : c'est la manie de tous les quadrateurs de vouloir le faire croire ».
<( Réponse. — C'est la manie des anti-quadrateurs de vouloir faire croire le contraire, et d'assujettir les idées d'autrui à leur façon de dire. Mon censeur eut parlé plus juste, s'il m'eût réduit à la nécessité de le prouver » Q).
On peut se demander aussi quels avantages pouvaient pousser tant de gens à rcchcicher la quadrature du cercle. La Gazette de France nous l'apprend : vers cette époque, un M. de Mély avait légué 5oooo écus pour sa découverte. De plus, le Trésorier de la Marine devait payer : 5ooo livres sterling à quiconque trouverait la manière de déterminer la longitude en mer, à un degré près ; 7 5oo
(*) Nous avons emprunté tous ces détails à l'intéressant ouvrage déjà cité de M. Maupin et dont nous conseillons fortement la lecture.
Opinions et curiosités touchant la mathématique d'après les ouvrages français des XVI®, xvn* et xvin^ siècles. Paris, 1898.
3l8 RÉGUÉATIONS MATHÉMATIQUES
livres à deux tiers de degré près et loooo livres h un demi-degré près. Chacun s'efforçait donc de cumuler les deux avantages et de Vausen ville ne s'en cache pas.
Il s'était établi aussi sur ce problème des espèces de paris et de défis.
Entre autres exemples,on raconte qu'un fabricant de Lyon, nommé Mathulon, après avoir annoncé aux Géomètres et aux mécaniciens la découverte de la quadrature et du mouvement perpétuel^ les défia de prouver qu'il s'était trompé, et déposa à Lyon une somme de 3 ooo francs qui devait être remise à son réfutateur. Nicole, de l'Académie des Sciences, lui démontra, sans réplique possible, qu'il déraisonnait, et demanda que les 3 ooo francs lui fussent adjugés. Le fier fabricant incidenta et prétendit qu'il fallait aussi prouver la fausseté de son mouvement perpétuel ; mais la sénéchaussée de Lyon ne vit pas en quoi une vérité prouvée dépendait d'une erreur à démontrer. Il perdit son procès devant elle, et Nicole céda les 3 ooo francs à l'hôpital de cette ville.
Le Châtelet de Paris eut également à se prononcer dans une affaire du même genre. Un homme de condition, après avoir provoqué triomphalement tout l'univers à déposer les plus fortes sommes contre la vérité de sa quadrature, consigna, par forme de défi, 10 000 francs. Il déduisait de sa solution, l'explication palpable de la Trinité, et il donnait, comme évident, que le carré était le Père, le cercle, le Fils, et une troisième figure le Saint-Esprit. De là aussi, avec une rigueur invincible, l'explication du péché originel, delà Jigure delà terre, de la déclinaison de V aiguille aimantée, des longitudes, etc.
Gomme on le pense bien, il y eut concurrence pour les loooo francs consignés ; une femme se mit sur les rangs ; elle crut qu'il ne fallait que le sens commun pour le réfuter. L'affaire fut plaidée au Châtelet, qui cette fois, jugea que la fortune d'un homme ne devait pas soufl'rir des erreurs de son esprit, lorsqu'elles ne sont pas nuisibles à la société. Et le roi ordonna que les paris fussent considérés comme non avenus. Maiâ le tenace inventeur n'en resta pas
TROIS PROBLÈMES DE GEOMETRIE SlQ
moins persuadé que dans les siècles à venir on rougirait de l'injustice qui lui avait été faite.
Un nommé Liger crut avoir trouvé la fameuse solution du problème de la quadrature, en démontrant que la racine carrée de 24 égale celle de 20, et que celle de 5o égale celle de 49. Sa démonstration ne reposait pas, disait -il, sur des raisonnements géométriques qu'il abhorrait, mais sur le mécanisme en plein des figures.
Un autre quadrateur avec un « plan quadrillé, moyen bien simple^ comme tout ce qui est vrai » mettait la quadrature « à la portée de tout le monde ». Il trouvait
Son opuscule est arrivé à la 2'"* édition (^).
Mais voici mieux : deux quadrateurs s'associent non seulement pour faire leur découverte, mais encore pour l'exploiter, car ils prennent un brevet ! Leur petit prospectus contient ces deux propositions :
1° Il existe de toute éternité, un rapport commensurable et constant du cercle à un polygone rectiligne bien connu ; »
2° Ce rapport est exactement égal à 9 -■ ^ ».
Il se termine ainsi : « Adresser les commandes au Bureau de la quadrature du cercle... >
En 1877, l'Indépendance Belge publiait un « Défi aux géomètres de V Europe et de l'Amérique ».
Le quadrateur, après avoir annoncé que « la vraie proportion du cercle au carré inscrit est celle de 10 à 9 » poursuit ainsi : « dans le
« cas où aucun mathématicien ne pourra ré futer mes démonstrations
(( j'insisterai sur mon droit. . . de demander que la proportion prouvée
(*) Ce renseignement et les suivants sont empruntés à un article de Catalan paru dans la Nouvelle Correspondance maihématiqae i
SaO RKGRÉA.TIONS MATHEMATIQUES
« par mes démonslralions soit reconnue publiquement comme la « vraie... » (^)
Mais J. N. Sarrazin mérite une mention particulière.
Son opuscule sur les matières les plus importantes en mathématiques (■■^), est une collection d'extravagances sérieusement énoncées,
Exemples : « J'ai vu qu'il n'y avait d'incommensurabilité entre la diagonale elle côté du carré, que par le faux corollaire tiré de V exacte proposition de PylJiagore, lequel fait le contenu égal au contenant » {^).
a Jusqu'alors les géomètres se sont bornés à considérer le cercle comme purement égal à un triangle dont la hauteur serait le rayon, et la base sa circonférence, sans s'inquiéter du reste, s'il était ou non égal, en outre, à im vrai et parfait carré ».
« Il me semble que nos quadrateurs et même nos montuclistes (sic), ces fléaux des quadrateurs, et qui les ont traités avec tant de mépris, auraient dû nous dire, avant tout, s'il était possible qu'un carré parfait puisse prendre la forme circulaire... »
« Si vous avez un exact rapport du diamètre à la circonférence, quand on vous présente à réduire une superficie carrée encercles... ; alors vous pourrez obtenir un diamètre exact, sans bavures d'irrationnalités » — (( En vain, comme un second Prométhée, Pythagore a-t-il cru dérober un rayon du feu sacré, il n'a obtenu qu'un régulateur vicieux, un genre d'approximation au-dessus de la me-
(^) C'est vouloir faire de la Géométrie par autorité de justice, mais il faut s'attendre à tout de la part d'un quadrateur.
D'ailleurs, en i848, à Paris, Duhamel et Poinsot n'avaient-ils pas été dénoncés au Procureur de la République, pour avoir, dans les problèmes de mécanique, pris le temps comme variable indépendante !
Les affiches signées Passot offraient un singulier mélange d'expressions judiciaires et de signes d'intégration.
(-) Pont-à-Mousson(i8i6)in-8''de3o4 pages, PourSarrazin'n;=-Q— =3,i6.
(3) Avant-propos, p. XI. — Catalan à qui nous empruntons tous ces détails, raconte avoir reçu à Paris la visite de l'inventeur d'un curieux théorème :
Dans tout triangle équilatéral la base est à la hauteur comme 12 est à 5. Le pauvre homme avait consacré lo années à la recherche de ce résultat.
sure directe ». — ((... la superficie de la sphère est cinq fois celle d'un de ses grands cercles, ou bien de quatre seulement ; de sorte que les expériences, même les plus mal faites, ne peuvent donner des résultats si exacts d'un côté et si défectueux de l'autre, qu'en conséquence des faux raisonnements sur lesquels sont fondées les prétendues démonstrations qu'on donne de la superficie de la sphère etc., etc. »
Disons encore deux mots d'une note examinée par Haton de la Goupillière dans la Revue des travaux scientifiques pour l'année 1884 (p- p. 231-22A). L'auteur de la note présente la quadrature du cercle sous la forme de l'énoncé suivant qu'il intitule Théorème national : Pour obtenir le quart rectifié de la circonférence, il faut en partager le rayon en moyenne et extrême raison, puis mener une corde perpendiculairement par le point de séparation des deux segments.
La valeur de la corde fournie par cette construction est 1,5722. Pour ne pas abuser de la patience du lecteur, terminons par ces quelques réflexions de Catalan malheureusement trop justes.
(( Il y a quelque chose de plus triste que les divagations des quadrateurs : ce sont les encouragements qu'elles reçoivent parfois de certaines sociétés soi-disant savantes. On a vu une quadrature du cercle parvenue à la cinquième édition (^) et couronnée par V Académie nationale des Arts, des Sciences et de VIndustrie. Il y a mieux, une autre société, tout aussi savante que la première, a décerné une médaille d'or à l'auteur d'un livre, dans lequel on lit : « les nombres qui sont des carrés parfaits sont appelés nombres commensurables, tels sont iG et 81. On appelle nombres incommensurables ceux qui, comme 18 et 87 ne sont pas des carrés parfaits » I
(•) Vers iSG*!. L'auteur, un vieux berger des Pyrénées, s'appelait, croyons-nous Lacomme.
Dans la préface de son œuvre, il se glorifie modestement d' « avoir résolu un problème devant lequel ont échoué Newton et Laplace ».
UécréatioDs niatiicmutl(|ue8. II. n
