SUR LA

RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ D'après COSSALI, t. II, p. 96-184 {')

(Extrait du Bulletio de Bibliographie, d'Histoire et de Géographie de Mathématiques de Terquem, t II, i856)

Les Indiens, les Grecs et les Arabes savaient résoudre les équations binômes du troisième degré. Cette résolution se ramène immédiatement à une simple division ou à une extraction de racine carrée ou cubique. On doit la résolution d'une équation trinôme du troisième degré {^) aux Italiens du xvi® siècle. L'histoire de cette découverte jette un grand jour sur les mœurs et l'état des mathématiciens du temps. Les combats singuliers apportés en Occident par

(A) Aux trois problèmes de géométrie célèbres traités par Rouse-Ball, nous croyons devoir ajouter l'histoire d'un quatrième problème, point de départ de la rénovation des sciences mathématiques en Italie.

(1) Origine, trasporto in Italia, primi progressi in essa deW algehra. Sloria critica di nuova disquisitione analiliche e metafisiche arrichila di D. Pietro Gossali, C. R. Deux volumes m-k. P"* volume 1797, 896 pages. Il" volume 1709, 492 pages. Dalla reale tipografîia Parmense.

Le P. Gossali, do l'ordre des Théatins, né en lyAS, est mort à Vérone en i8i5.

(2) M. Libri cite une solution de l'équation du troisième degré contenue dans un manuscrit du xiv^ siècle : solution fausse donnée par analogie avec la solution des équations du second degré. Exemple :

px^ =. ax -\- 6, on donne

les Barbares du Nord, qui se livrent malheureusement encore aujourd'hui dans les champs dq l'honneur, existaient aussi alors dans les champs de la science. On se portail des délis publics, non seulement pour acquérir de la gloire, mais aussi dans l'intérêt de l'existence. Le vaincu, perdu de réputation, ne trouvait plus de disciples : tandis que le vainqueur était appelé par diverses cités à venir professer et à expliquer les auteurs classiques. Des lors les inventeurs se gardaient bien de divulguer leurs découvertes ; car, munis de ces armes secrètes, il trouvaient plus avantageux de proposer des questions dont la solution reposait sur l'objet de ces découvertes. Pourtant ce secret intéressé porta malheur, comme hbhs l'àllons voir, au célèbre Tartaglia, véritable auteur des formules qu'on s'obstine à nommer ybr;?m /es de Cardan.

Paccioli, dans son ouvrage (^) qui a paru en iliÇ)l\, au VIÎP chapitre du Vl* traite de la VHP distinction, énumérant les équations biquadratiques, dit : Ma de capiloli de numéro cosa et cubo composte over de numéro censo e cubo over de numéro cubo e censo de censo non se possut Jînora troppo bene formare regole gênerait per la disproporzlonalita fra loro, perche Jra loro non sono inlervalli equali. Cela signifie en écriture moderne que les trois équations

n == ax + bx'^^ ,3

n = ax" -+- ox^

(ij Summa de arlthmetica, rjconielrla, proporlioni e proporlionutUa.hi-toWo, écriture gothique. A la fin, on lit :

Con spesa c d'dUjeniia e opificlo del prudcnlc Iiuomo Pa(janlno de Pacjanini da Drescia : nella excelsa cita de Venezia, con (jralia del suo excelso domitiio rhe per anni x proximl nell altro in qiiello la possi reslarnpare ne allrove slanipata in quello porlarla sotlo pena in dilta cjralia contenula negli anno de nostra salute MGCCGXGUI a U lo de novembre, Augastino Barbadico^ serenessimo principe di quello. — Fraler Lucas de Dunjo, sancLi Sepulcri ordinis Minoruin et sacre llieolofjie liumilis professor, suo parvo ingenio ignaris cornpaliens hanc Sunwiam Arithmelice et Géométrie proportionumque et proporlionalitatum edidil ac impressoribus assistens die noctuque pro posse manu proprià castigavit. Laus Dca (voir Nouvelles Annales, t. XII, p. 89).

ne peuvent encore jiisqu aujourd'hui être généralement résolues. îl donne une singulière raison de cette impossibilité : c'est qu'entre x et x" il y a un milieu, c'est x^ (média el censo), tandis qu'entre le nombre et la chose x il n'y a pas de milieu.

Néanmoins, il ne croit pas h. une impossibilité absolue. Aussi un nommé Scipion Ferro ou dal Ferro, né à Bologne où, au dire d'Alidosi et de Cardan, il enseignait les mathématiques, de 1496 à 1626, réussit à résoudre l'équation de la forme

x'^ -\~ px = q,

et il en communiqua la pratique à son élève Antonio Maria Fiore ou dcl Fiore.

C'est tout ce qu'on sait de cette découverte, dont on ignore complètement la méthode, 11 n'en est pas ainsi de la découverte de Tartaglia, sur laquelle on a beaucoup de renseignements donnés par lui-même dans son ouvrage : Quesiti et inventioni diverse.

Ce sont des questions adressées à Tartaglia par diverses personnes, avec les réponses, le tout sous forme de dialogues. Les huit premiers livres roulent sur la balistique, la fortification, l'art militaire, la mécanique, etc. (^).

Le IX" et dernier livre porte pour titre : Sopra la scientia arilhmetica, geomelrica el in la pralica speculativa de algebra et alnmcabala, volgarmente delta Begola de la cosa, over Arle maggiore el massime délia inventione de CapiloU de cosa e cubo eqaal a numéro, et allri suoi ederenti et dependenti, et simelniente de censi et cubi equal a numéro et suoi dependenti, qualli dalli sapienti sono slati giudicâti . împossibili (^).

Cardan se sert aussi du mot capitahim pour désigner une équa-

;*) La partie balistique a été traduite par M. Rieffel, professeur à l'Ecole

d'artillerie de Vincenncs.

(2) La première édition est de i5/j6, in-zj. On lit à la fin :

Stampala in Venetia per Ventiirino Bujjinelli ad instantia et requisitione

et a proprie spese de Nicolo Tartalea Brisciano autore, nel mese de Luio, Vanno

de nostre sainte MDXLVL

ÎÎOTIGE HISTORIQUE 325

tlon. On voit qu'il s'agit de la résolution des équations cubiques de ces deux formes

x^ -h px = q et

x^ -}- px' =■ q

On arrangeait les équations de manière à ne renfermer que des termes positifs dans chaque membre, et une équation ainsi arrangée était considérée comme l'en-lête du problème, Capitulum.

Ce livre renferme quarante-deux questions ; la quatorzième a été proposée en i53o par Zuane de Torrini da Coi (*), qui tenait écolo d'arithmétique à Brescia. Il demande : i° de trouver un nombre qui multiplié par sa racine augmentée de 3 fasse 5, et semblablement de trouver trois nombres tels, que le deuxième surpasse le premier de 2, que le troisième surpasse le deuxième de 2, et que le produit des trois nombres soit égal à i 000. Selon l'écriture actuelle, on parvient aux équations

Tartaglia répond qu'il possède une règle (jéiicrale pour résoudre la question du cube et des censi égaux à un noiiibre ; mais, pour plusieurs raisons, il veut, pour le* présent, se taire (per al présente voglio lacère per plu respeUl); quant à la seconde question, il avoue ne pas en connaître la solution, mais qu'il est bien loin de la croire impossible, et commence par dire vertement à Zuano : « Je sais que les professeurs de Brescia vous craignent et vous fuient, parce que, pour vous faire passer pour un grand mathématicien, vous leur faites des questions que vous-même ne savez pas résoudre, et je parie dix ducats contre cinq qu'il en est ainsi de vos deux questions. C'est un procédé dont vous devriez rougir. » [Et circa cio ve doviresti alquanto a rossire.^

(•) Cardan le nomme da Dolle et da Colla; Zuane pour G io vanne; les Vénitiens changent souvent le ^ en ; ; mazore pour macjr/iore,

S26 RÉCIRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Cette question XXV fut portée à Venise, où Tarlaglia était professeur, par un nommé Antonio de Cellatica, et, dans sa question XXV, 10 décembre i53G Tartaglia, annonce qu'il a trouvé la solution de l'équation

le lendemain du jour où il a trouvé la solution de l'équation

Nous ferons observer une fois pour toujours que ïartaglia ne fait usage ni de nos signes ni de nos exposants. Comme le^ Arabes, il parle des capitoli et ne les écrit pas ; dans son langage, la cosa c'est l'inconnue, le censo c'est le carré, et le cubo c'est le cube (*) ; ainsi, pour exprimer la dernière équation, il emploie cette locution : cubo e censi egiiala numéro, et ainsi des autres.

Cependant Antonio Maria del Fiore, ce disciple de Scipion Ferro dont nous avons parlé ci-dessus, se vantait de venir humilier Tartaglia pour sa prétendue habileté dans la solution des problèmes. Tartaglia, sachant que del Fiore n'était qu'un arithméticien sans aucune connaissance théorique, ne tint aucun compte de ces vanteries ; mais ayant appris que del Fiore était en possession de la règle générale de résoudre le chapitre (capiiole) du cube et de la chose égale au nombre, qu'un grand maître lui avait enseigné, il y a une trentaine d'années, il commença à avoir des craintes, s'appliqua à ce chapitre, et parvint à en trouver la solution le i4 février i535, et le lendemain il trouva la solution des équations

x^ = px -+- q, x^ -h mx^ = n,

Bien lui en prit. Car, huit jours après cette découverte, le 22 février

(i) Cardan nomme aussi l'inconnue rcs et aussi positio, du verbe ponerc ; on ne posait que des qusintités positives.

i535, del Fiore vint à Venise où Tartaglia professait alors, et lui porta un défi public qui fut accepté. Del Fiore déposa cliez le notaire Jacomo Zambelli trente questions et une certaine somme d'argent ; Tartaglia en fit autant. Celui des deux qui, au bout de trente à quarante jours, aurait résolu le plus de questions serait déclaré vainqueur et gagnerait la somme déposée. Voici les trente questions de del Fiore, telles qu'elles sont énoncées dans la question XXXI des Qiiesiti. *