Trouver un nombre qui ajouté à son cube fasse
k- Trouver trois nombres en proportion ^triple \x, 3a?, grr) tels, que le carré du plus petit multiplié par le plus grand et ajoutant au produit le nombre moyen, la somme soit égale à 7.
5. Deux hommes mettent en société un capital de 900 ducats ; le premier met la racine cubique du second. Quelle est la part de chacun ?
G. Deux hommes gagnent ensemble 100 ducats ; le gain du premier est la racine cubique de la part du second.
7. Trouver un nombre qui ajouté à deux fois sa racine cubique fasse i3.
8. Trouver un nombre qui ajouté à trois fois sa racine cubique fasse i5.
9. Trouver un nombre qui ajouté à quatre fois sa racine cubique fasse 17.
10. Partager \l\ en deux parties dont l'une soit la racine cubique de l'autre.
11. Partager 20 en deux parties dont Pune soit la racine cubique de l'autre.
12. Un joaillier vend un diamant et un rubis pour 2,000 ducats ; le prix du rubis est la racine cubique du prix du diamant.
328 RÉCRÉATIONS MVTIIÉMATIQUES
i3. Un juif prête un capital à celte condition qu'à la fin de l'année on lui payera pour intérêts la racine cubique du capital. A la fm de l'année, le juif a reçu 800 ducats, capital et intérêt. Quel est ce capital P
i4. Partager i3 en deux parties telles, que le produit de ces deux parties soit égal au carré de la plus petite partie multipliée par ellemême.
i5, Quelqu'un vend un saphir pour 5oo ducats et y gagne la racine cubique de son capital.
Les quinze autres questions reviennent à partager les nombres 7, 19, 9, 25, 26, 28, 27, 29, 3Zj, 12, 100, i/io, 3oo, 810, 700 chacun en deux parts dont l'une soit la racine cubique de l'autre.
On voit que toutes ces questions amènent à l'équation x^ -h px = q.
Aussi Tartaglia les résolut toutes en moins de deux heures, et Fiore ne résolut aucune des trentequestions posées par Tartaglia ;du moins il ne voulut pas communiquer ses solutions et ne s'en rapporter qu'au jugement de ses amis. C'était s'avouer vaincu. Tartaglia se contenta de la gloire et renonça au prix.
On ne connaît que les quatre premières des trente questions posées par Tartaglia. On les trouvera plus loin.
Tel est le récit que fait Tartaglia à Zuane di Coi (qaesilo XXV), mentionné ci-dessus, qui s'était rendu à Venise, le 10 décembre i536, pour prier instamment Tartaglia de lui donner communication dos trente questions qu'il avait proposées. Tartaglia dit qu'il n'en avait pas gardé de copie, mais qu'en allant chez le notaire et lui offrant une légère rétribution [donaie cjli iiiia genlilezza), il en aurait une copie ; mais, en tout cas, il refuserait de donner les solutions, de crainte que ces solutions ne fassent trouver la règle. Toutefois, il lui donna les quatre premières questions.
1° Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en la multipliant par sa racine carrée augmentée de 4o, le produit soit égal à un nombre rationnel donné.
2" Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en la multipliant par 3o moins la racine carrée de cette quantité, on obtienne un nombre rationnel donné.
3° Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en y ajoutant quatre fois la racine cubique, on obtienne i3.
4° Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en en soustrayant trois fois sa- racine cubique, il reste lo.
Les autres questions sont restées inconnues, mais elles roulaient sur la géométrie, l'algèbre.
Zuane vit tout de suite, ce qui annonce même une certaine perspicacité, que la première question mène à l'équation
la deuxième à la troisième à la quatrième à
Comme il était tard, Tartaglia l'engagea à rester avec lui à souper. Zuane lui dit qu'il était invité chez un sien cousin. Piqué de ce refus, Tartaglia lui dit : Attendez que le désir me vienne encore que vous restiez (AspelU quanto vocjlla, che voglio, cJie resLaii).
Zuane se mit en vain l'esprit à la torture pour trouver les solutions, et il retourna le i6 décembre vers Tartaglia et renouvela ses supplications. Tartaglia lui dit que ses découvertes lui avaient coûté beaucoup de peines et qu'il ne se croyait pas tenu de les publier sans en tirer aucun honneur, aucun proiit ; qu'il savait d'ailleurs qu'il n'était pas licite de vouloir ensevelir totalement de telles inventions ; que son intention était que, lorsqu'il aurait Uni d'autres travaux ('), de tout publier. Pour montrer qu'il n'attachait pas une importance exagérée à ses découvertes, il fit cette offre à Zuane :
(*) Il était occupe à traduire Euclide.
33o RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES
(i Pour chaque problème que vous me donnerez et avec la solution, si je n'ai pu la trouver, je vous donnerai en échange une de mes formules générales. » Zuane accepta et proposa tout de suite ces deux questions : i° dans tout triangle rectangle la somme des deux cotés de l'angle droit est égale à l'hypothénuse plus le diamètre du cercle inscrit ; 2° dans un triangle ABC on a AB = i3, BG = i/j, CA = i5 ; sur la hauteur AD, on prend dans l'intérieur DF = 3 ; on mène la droite BF et on la prolonge jusqu'à ce qu'elle rencontre AG en E. Trouver les segments AE et CE (^). ïarlaglia lui répond : « Tout cela est si facile, que si vous me donnez une heure de temps, je vous en donnerai la solution. A cette occasion je vous rappellerai que l'année dernière me furent apportées de votre part trois questions, dont l'une était ainsi conçue : Trois hommes ont acheté chacun une certaine quantité de livres de viande dont la somme est 20 livres : la quantité moyenne est égale au produit des extrêmes, et le produit des deux moindres quantités est 8 ; et, selon votre habitude, vous ne pouvez en savoir la solution puisqu'elle est impossible (2)^). Enfin vaincu parles prières et les serments, Tartaglia lui donna la solution de sa première question pour le cas particulier où le nombre rationnel est 2 888, et il l^i dit qu'alors la quantité
irrationnelle x- est 78 — y 3o8 ; en effet, on parvient à l'équation
et
x=~- I -l-v/??- De retour à Brescia, Zuane réfléchissant sur cette solution, en
(*) Il suffît de prendre un triangle dont les trois côtés et l'aire soient rationnels ; alors les hauteurs et les segments formés par ces hauteurs sur les côtés sont rationnels. Posons
