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cultes ou de quelqucs^contradictions apparentes constatées dans l'étude des sciences physiques (*). Or, l'idée généralement admise d'un clber lumineux, l'explication de la gravitation et le fait que la matière se présente seulement sous un nombre déterminé d'espèces, les atomes de chaque espèce étant semblables, sont autant de difficultés ou de contradictions. Pour voir si l'hypothèse d'un espace h quatre dimensions nous permet d'élucider la question, nous ferons mieux d'étudier d'abord les problèmes analogues dans l'espace à deux dimensions.

Nous vivons sur un corps solide à peu près sphériquc qui se meut autour du soleil soumis à l'inQuence d'une force attractive dirigée vers son centre. Pour réaliser quelque chose de semblable dans l'espace à deux dimensions, il nous faut supposer ses habitants sur la périphérie d'un disque planétaire tournant autour d'un autre disque (le disque solaire) et sous l'influence d'une attraction vers ce dernier. Nous pouvons admettre que le monde planétaire ainsi compris repose sur un plan uni ou sur une autre surface à courbure constante ; mais la pression exercée sur ce plan et même son existence sont ignorées des habitants bien qu'ils aient conscience de la force attractive émanant du centre du disque sur lequel ils vivent. Bien entendu, ils ont connaissance des corps solides, liquides ou gazeux pouvant exister sur la périphérie ou en des points qu'ils peuvent atteindre a l'intérieur de leur terre.

Chaque partie de matière dans le monde qui nous occupe se trouve sur ce milieu plan. Dès lors, si une particule quelconque de matière était animée d'un mouvement vibratoire, elle communiquerait une partie de son mouvement au plan qui la supporte. Les vibrations transmises ainsi au plan se propageraient dans toutes les directions et toutes les autres particules de matière participeraient au mouvc-

(*) Voir une nolo que nous avons publiée dans le Messenger of Mathematics, Cambridge, i8(ji, vol. XXI, pp. 2o-:2/|. dont le raisonnement ci-dessus est un extrait.

La question a été également traitco sous une formo scmblablo par M. Ilînton.

ment vibratoire qui deviendrait général. Par conséquent, l'énergie causée par des vibrations et se manifestant sous une forme quelconque (telle que la lumière, la chaleur rayonnante, l'électricité, et peut-être l'attraction) se transmettrait d'un point à un autre sans que la présence d'un milieu quelconque servant d'intermédiaire puisse être soupçonnée.

Si les particules étaient supportées par un plan assimilable à une membrane d'une élasticité uniforme, l'intensité des agitations en un point quelconque serait inversement proportionnelle à la distance qui le sépare de la source des agitations ; si les particules s'appuyaient sur un milieu solide d'une élasticité uniforme, l'intensité serait inversement proportionnelle au carré de la même distance, mais si le milieu qui sert de support était animé d'un mouvement vibratoire, partout où il est en contact avec une particule il lui céderait une partie de son énergie et, par suite, les vibrations du milieu intermédiaire seraient arrêtées par son association avec la matière.

Si les habitants de notre monde à deux dimensions étaient à même de raisonner sur la manière dont l'énergie se transmet, ils arriveraient à une difficulté. Il est probable qu'ils ne pourraient expliquer la gravitation entre deux particules — et par suite entre le disque solaire et le disque qu'ils habitent — qu'en supposant en vibration un milieu résistant reliant les deux particules ou les disques. Ils pourraient même découvrir que la lumière et la chaleur rayonnantes, telles que la lumière et la chaleur solaires, sont transmises par des vibrations transversales à la direction d'où elles viennent (bien qu'il ne leur serait possible de réaliser des vibrations de cette nature que dans leur plan), et démontrer expérimentalement que la transmission de ces vibrations exige la présence d'un milieu très résistant (que nous pouvons désigner sous le nom d'éther). Dans les deux cas cependant il serait absolument évident pour eux qu'aucun milieu résistant ne les entoure ou ne relie leur terre au disque solaire. L'explication de ces résultats contradictoires repose sur ce fait que leur univers est soutenu par un plan, dont nécessairement

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ils n'ont pas conscience et que ce plan rigide et élastisque constitue l'éther qui transmet les vibrations.

Supposons maintenant que les corps de notre univers présentent tous, suivant la quatrième dimension, une épaisseur uniforme, et qu'ils s'appuient, suivant cette dimension, sur un corps homogène, doué d'élasticité, et dont l'épaisseur toujours suivant la quatrième dimension, soit très faible et constante. La transmission de la force et de l'énergie radiante pourra s'expliquer, sans l'intervention d'un milieu séparatif, au moyen des vibrations du corps qui sert d'appui, lors môme que ces vibrations ne s'effectueraient pas suivant la quatrième dimension. On trouverait également (ce que d'ailleurs l'expérience conQrme) que l'intervention de la matière arrête les vibrations de l'éther lumineux. Nous avons supposé que l'espace servant de support présentait, suivant la quatrième dimension, une épaisseur très petite et uniforme, parce qu'alors l'intensité de l'énergie transmise par une source à un point quelconque est inversement proportionnelle au carré de la distance (fait vérifié par l'expérience), tandis que la loi ne serait plus la même si Tespace-support était un corps à quatre dimensions, l'intensité, dans ce cas, serait inversement proportionnelle au cube de la distance.

L'application de cette hypothèse à la troisième difficulté mentionnée ci-dessus, c'est-à-dire l'explication de ce fait que notre univers ne renferme qu'un nombre fini d'espèces d'atomes, tous les atomes de chaque espèce ayant en commun un certain nombre de propriétés caractéristiques, a été donnée par divers savants(^).

Ainsi, la supposition de l'existence d'un corps homogène doué d'élasticité et présentant quatre dimensions, sur lequel s'appuierait noire univers à trois dimensions, nous permettrait d'expliquer quelques-unes des difficultés que l'on rencontre dans les sciences physiques.

Il va sans dire qu'il n'est pas possible de réaliser une figure h quatre dimensions ; quoiqu'il en soit, on a fait des tentatives pour

(*) Voir : Poincaré : Science et iiypolhùse.

chercher à se rendre compte de ce que pourraient bien être les sections d'une telle figure.

Si l'équation de la surface d'un solide à trois dimensions est ? (^'7' ^) ^"^ ^> nous pouvons nous former une idée de ce corps en superposant par la pensée une série de sections faites par des plans parallèles à Taxe des z. Dans la géométrie à quatre dimensions, l'équation de la surface d'un corps serait cp (x, y, z, w) = o, et on a fait des essais pour réaliser la forme d'un solide de cette nature en construisant les modèles d'une suite de corps à trois dimensions obtenus au moyen de sections parallèles hw = 0.

Nous pouvons également représenter un solide en perspective au moyen de sections par trois plans coordonnés. Dans le cas d'un corps à quatre dimensions, la section par chacun des quatre solides coordonnés à trois dimensions, serait un corps à trois dimensions, et on a cherché à construire ces sections pour avoir une idée de la forme d'un solide à quatre dimensions. Bien entendu, l'enveloppe d'un solide à quatre dimensions est constituée par des corps.

M. Stringham (^) a discuté les formes possibles des corps réguliers dans l'espace à quatre dimensions analogues aux polyèdres de l'espace à trois dimensions.

Abordons actuellement la seconde question énoncée, page 85 savoir : la possibilité de créer une géométrie autre que celle généralement acceptée jusqu'ici et traitée dans tous les ouvrages classiques. Ce sujet est trop technique pour être étudié à fond dans un livre de cette nature, et nous devons [nous contenter d'en donner une idée sommaire.

Le système euclidien de géométrie, le seul que connaisse la plupart des gens, repose sur un certain nombre d'axiomes et de postulats indépendants les uns des autres. Ceux qui sont nécessaires pour les fondements de cette géométrie ont été, durant ces dernières années, discutés et énumérés. Ils comprennent non seulement ceux explicitement énoncés par Euclide, mais encore plusieurs autres qu'il

(*) American Journal of Mathematics, 1880, vol. III, pp. 1-14.

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admettait inconsciemment. Si ces axiomes sont modifiés ou abandonnés pour en formuler d'autres, on obtient comme conséquence, une série de proposions qui diffèrent des premières, et une telle suite de propositions réunies en corps de doctrine, constitue un système de géométrie. On comprend dès lors qu'il soit possible de construire une infinité de géométries non euclidiennes.

Parmi les axiomes et postulats admis par Euclide il en est un qui se présente généralement sous cette forme : Si dans un même plan, deux droites sont coupées par une troisième de façon à former d'un môme côté de cette S""" droite, deux angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, ces deux droites suffisamment prolongées finiront par se rencontrer précisément du côté de la 3'"' droite où sont situés les deux angles considérés. Sous cette forme l'axiome est loin d'être évident, et, depuis les temps les plus reculés, il a été fait de nombreux essais dans le but d'en trouver une démonstration (*).

Tous ces essais sont restés infructueux et ne pouvaient d'ailleurs réussir car Ton sait aujourd'hui, que l'axiome en question ne peut se déduire des autres admis par Euclide. On peut, il est vrai le remplacer par d'autres spécifiant quelques propriétés caractéristiques des droites parallèles : dire, par exemple, que deux telles droites sont équidistantes en tous leurs points ; mais cette exposition, bien qu'elle puisse paraître prima /acte plus évidente, ne doit pas prendre le pas sur l'axiome d'Euclide qui présente cet avantage de faire ressortir d'une manière remarquable la physionomie toute caractéristique de l'espace auquel il s'applique.

La plus ancienne conception d'une géométrie non euclidienne est due à la découverte, faite indépendamment par Saccheri, Lobatschewsky, et Jean Bolyai, de ce fait qu'un système consistant de géométrie à deux dimensions pouvait être crée en partant de cette sup-

(^) Quelques uns de ces essais, parmi les plus intéressants et les plus présentables, ont été réunis dans l'ouvrage de J, Richabd : Philosophie des malhémaliqucs, Paris, 1908.

position que l'axiome des parallèles était inexacte, c'est-à-dire qu'il est possible de mener par un point plusieurs droites (lignes géodésiques) parallèles à une ligne droite donnée. Cette géométrie a été appelée hyperbolique.

Plus tard Riemann établit la distinction entre l'espace illimité et l'espace infini et montra qu'un autre système logique de géométrie à deux dimensions pouvait être construit dans lequel toutes les lignes droites ont une longueur finie, de telle sorte qu'un point qui se déplace le long d'une ligne droite revient à sa position initiale. On est ainsi conduit à une géométrie à deux dimensions appelée ^eomé^ne elliptique, analogue à la géométrie /ijper6o/tfjf«e, mais caractérisée parce fait que, par un point, il n'est pas possible de mener une droite qui étant suffisamment prolongée ne rencontre pas une autre droite donnée quelconque. On peut comparer cette géométrie à celle des figures tracées sur une sphère.

Ainsi, suivant qu'on ne peut mener par un point aucune droite parallèle à une droite donnée, ou qu'on n'en peut mener qu'une seule, ou encore plusieurs formant faisceau, nous avons trois systèmes de géométrie à deux dimensions appelées respectivement elliptique, parabolique ou euclidienne, et hyperbolique.

Dans les systèmes parabolique et hyperbolique, les lignes droites sont infiniment longues ; dans le système elliptique elles sont finies comme longueur. Dans le système hyperbolique il ne peut exister de figures semblables de dimensions inégales ; l'aire d'un triangle peut se déduire de la somme de ses angles qui est toujours plus petite que deux angles droits, et cette aire a une valeur finie maximum. Dans le système elliptique, toutes les lignes droites ont la môme longueur finie ; deux droites quelconques se coupent toujours, et la somme des angles d'un triangle est plus grande que deux droits. Dans ce système il est possible de se rendre d'un point à un autre situé de l'autre côté du plan sans traverser le plan, en gagnant l'autre côté en suivant la droite qui joint les deux points. Ainsi une montre dont le cadran est apparent et qui se déplace sur un plan, toujours en avant et suivant la direction donnée par les marques

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VI et XII, apparaîtra fmalement à un observateur avec le cadran en dessous ; et si à l'origine, la marque III était à la droite de l'observateur, elle sera à sa gauche à la fin du mouvement.

Malgré ces particularités et bien d'autres sur lesquelles nous n'insistons pas et qui caractérisent les géométries hyperbolique et elliptique, il est impossible de démontrer, au moyen d'observations, que l'une ou l'autre de ces géométries ne s'applique pas à l'espace dans lequel nous vivons. Car il nous faut, dans Tune comme dans l'autre, une unité de distance pour effectuer les mesures, et si nous nous trouvons dans un espace dont les propriétés sont ceiles de l'une ou de l'amtre de ces géométries, et tel que les plus grandes distances avec lesquelles nous sommes familiarisés (par exemple les distantes des étoiles fixes) sont immensément plus petites qu'une unité quelconque, naturelle au système en question, alors il peut être impossible de déduire de nos observations les contradictions pouvant exister entre les trois géométries. A la vérité, il pourrait ctre possible de prouver par les observations des parallaxes des étoiles, que le système parobolique et l'un ou l'autre des systèmes hyperbolique ou elliptique sont faux, maison ne pourra jamais démontrer, par des mcsurages, que la géométrie euclidienne e&t vraie. Des difficultés de même ordre se présentent quand on ^considère des quantités d'une petitesse extrême.

En résumé, bien que l'exactitude des résultats fournis parla géométrie euclidienne, soit confirmée par les expériences actuellement faites sur les objets finis tels que ceux qui nous entourent, cependant ils peuvent ne pas être exacts si l'on considère des objets présentant des dimensions beaucoup plus grandes ou beaucoup plus petites ou encore une partie de l'espace restée jusqu'à présent inaccessible.

Si cependant allant plus loin on veut se demander ce qu'il faut entendre quand on dit qu'une géométrie est vraie ou qu'elle est fausse, nous citerons cette remarque de Poincaré que le choix d'une géométrie est, en réalité, une affaire de convenance et que la meilleure géométrie est celle qui nous permet de constater les lois phy- Récréations mathématiques, III. 7

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siques de la façon la plus simple. Cette opinion a été fortement controversée, mais elle n'en donne pas moins une vue de la question.

Tout ce qui précède s'applique seulement à l'hyper-espace à deux dimensions. Naturellement, la question a été poussée plus loin et on s'est occupé de chercher s'il n'y aurait pas plusieurs sortes d'hyperespaces à trois ou plus de trois dimensions. Riemann a montré qu'il existait trois sortes d'hyper-espaccs à trois dimensions ayant des propriétés analogues à celles des trois sortes d'hyper-espaces à deux dimensions déjà étudiées. Ces espaces se distinguent les uns des autres par ce fait que, par un point donné, on peut faire passer une surface géodésique ou un faisceau de surfaces géodésiques parallèles à une surface donnée, ou qu'on n'en peut faire mener aucune : une surface géodésique étant telle que toute ligne géodésique joignant deux de ses points est toute entière sur la surface.

Il est évident que les propriétés de l'espace non euclidien à trois dimensions ne peuvent se déterminer qu'au moyen de l'analyse mathématique et ne peuvent être matérialisées, car pour réaliser et construire des surfaces dans l'espace non euclidien à deux dimensions, il est nécessaire d'employer des modèles de l'espace à trois dimensions ; semblablement nous ne pourrions construire des modèles de l'espace non-euclidien à trois dimensions qu'en faisant intervenir l'espace^ quatre dimensions.

Il est encore possible d'aller plus loin et de concevoir une géométrie non-euclidienne à plus de trois dimensions, mais c'est là une conception qui, jusqu'à présent, n'a pas donné lieu à des recherches.

En revenant maintenant à la géométrie non-euclidienne, nous insisterons encore sur ce point que si on substitue d'autres axiomes à ceux énoncés par Euclide, il est possible de construire autant de systèmes consistants de géométrie. Quelques-uns sont intéressants, mais ceux qui ont été mentionnés plus haut présentent une importance particulière, résultant de ce fait, quelque peu sensationnel,

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qu'aussi loin qu'il a élé possible de les développer, ils ne conduisent à aucun résultat nécessairement inconsistant avec les propriétés de l'espace dans lequel nous vivons ; nous ne connaissons, jusqu'à présent, aucun autre système possédant le même caractère distinctif.