CHAPITRE XIII

Les problèmes qui dépendent du temps présentent un caractère absolument différent de ceux concernant l'espace que nous avons examinés dans le dernier chapitre. Nous avons montré que la vie, telle qu'il nous est possible de l'imaginer, dans l'espace à une dimension, ne présenterait pas beaucoup d'intérêt, et que probablement, les habitants d'un pareil espace ne seraient pas en état de concevoir l'existence dans un monde supérieur. Nous nous trouvons dans une situation à peu près identique quand nous abordons les questions relatives au temps. Nous concevons parla pensée, le passé et le futur — ce qui peut être considéré comme correspondant à un déplacement en arrière et en avant — mais en réalité nous ne faisons qu'aller en avant. A ce point de vue, le temps est comparable à un espace à une dimension. Si notre temps était à deux dimensions, les conditions de notre existence seraient infiniment plus variées, mais il ne nous est pas possible de concevoir le sens d'une pareille expression, et nous ne pensons pas qu'on ait jamais tenté de l'expliquer.

Nous nous bornerons simplement ici à l'étude des questions relatives à la mesure du temps, et nous les traiterons plutôt au point de vue historique qu'au point de vue philosophique.

Pour mesurer une quantité quelconque, nous devons être en possession d'une unité invariable de la même espèce et pouvoir déterminer combien de fois cette unité est contenue dans la quantité

que l'on sG propose de mesurer. Par suite, les seules quantités susceptibles d'être mesurées sont celles qui peuvent s'ajouter à d'autres de la même espèce.

Ainsi pour évaluer une longueur, nous pouvons prendre le mètre et en le portant sur cette longueur autant de fois qu'il est nécessaire pour la couvrir entièrement, nous trouverons combien elles contient de mètres et de subdivisions du mètre. Mais pour la comparaison des longueurs entre elles, nous devons admettre comme résultat de l'expérience, que la longueur du mètre est constante ou plutôt, que toute variation de l'unité est susceptible d'une détermination exacte ; si cette proposition n'était pas admise, nous ne pourrions en donner une démonstration, bien que fort probablement, nous n'aurions aucune raison de douter de l'exactitude de notre façon d'opérer, si des expériences nombreuses faites dans des conditions variées, nous fournissaient toujours le même résultat.

Il est évident que la mesure du temps. est un problème autrement difGcile. Noys ne pouvons avoir, par devers nous, une unité de temps, comme nous avons un mètre étalon ; ni mesurer un intervalle de temps par la répétition d'un certain nombre d'opérations identiques, car le temps une fois passé l'est pour toujours. Nous ne pouvons donc faire un appel direct à nos sensations pour justifier notre façon d'opérer. Par conséquent, quand nous disons qu'une certaine durée est mesurée par quatre lieures ce n'est qu'en faisant appel à la raison que nous pouvons montrer que chacune de ces heures représente la môme durée.

La détermination d'une unité scientifique pour mesurer le temps a été un travail long et pénible. Voici, semble-t-il, la marche suivie : les hommes observèrent à l'origine que certains phénomènes se reproduisaient dans l'intervalle d'un jour, d'un lever à l'autre du soleil. L'expérience — par exemple la quantité de travail qu'ils pouvaient efl'ectuer dans cet intervalle de temps — leur montra que la longueur de chaque jour était à peu près la même, et en supposant cette longueur constante ils se trouvèrent en possession d'une unité au moyen de laquelle ils purent comparer les durées des évé-

ïOa héORlÔATlONS MATHÉMATIQUES

nemenls. La subdivision du jour en heures, minutes et secondes est artificielle et semblerait remonter aux Babyloniens.

Semblablement, le mois et l'année sont des unités naturelles de temps, bien qu'il ne soit pas très facile d'en déterminer exactement le commencement et la fin.

Les choses restèrent ainsi tant que les hommes n'eurent simplement à s'occuper que de durées multiples des unités usitées ou dont la mesure n'exigeait pas une très grande précision mais ils se trouvèrent arrêtés aussitôt qu'ils cherchèrent à comparer les différentes unités ou à se rendre compte d'une durée exprimée par une partie de l'unité. En particulier, ils ne tardèrent pas à s'apercevoir que la dure'e du jour différait suivant les lieux, et que, même en un même lieu^ cette durée variait à divers moments de l'année. Dès lors, le jour ainsi compris ne pouvait être considéré comme une unité invariable.

La question se pose alors ainsi ; pouvons- nous trouver une unité fixe servant à mesurer la durée et avons-nous la certitude que les minutes et les secondes employées aujourd'hui h cet usage aient une durée égale ? Pour répondre, rendons-nous compte de la façon dont un mathématicien définirait l'unité de temps. Il dirait probablement, que l'expérience montre qu'un corps rigide se déplaçant suivant une ligne droite sans l'intervention d'aucune force extérieure, continue son mouvement indéfiniment suivant cette même droite, et on peut regarder comme égaux les temps mis par ce corps pour parcourir des espaces égaux ; semblablement, si ce corps était animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe principal passant par son centre de masse, les temps mis pour décrire des angles égaux seraient égaux. Toutes nos expériences sont en concordance h ce sujet et un mathématicien ne peut demander une autorité supérieure.

Les espaces et les angles pouvant être mesurés, les durées d'événements divers sont comparables. Or, la terre est très approximativement semblable à un corps rigide tournant autour d'un axe principal passant par son centre sans Tintervention d'aucune force exté-

DU TEMPS BT DB BA MBBURB Io3

rieure ; par suite le temps mis par la masse terrestre pour effectuer une rotation de quatre angles droits, c'est-à-dire de 36o^ est toujours le même, on l'appelle le jour sidéral. Le temps nécessaire pour tourner de la vingt-quatrième partie de 36o°, c'est-à-dire de i5°, est appelé heure, et le temps mis pour tourner de la soixantième partie de 15" c'est-à-dire de i5' est une minute ; et ainsi de suite.

Si nous trouvons, par suite de perfectionnements apportés dans les observations astronomiques, que le mouvement de rotation de la terre est influencé par l'action de forces extérieures, les mathématiques nous permettront de déterminer le temps de la rotation en supposant annihile l'effet de ces forces extérieures, et nous déterminerons ainsi la correction à faire subir à l'unité choisie. On peut dire de la même manière que si la longueur du mètre étalon est légèrement modifiée par une variation de température, la variation de longueur pouvant se calculer il est facile de corriger en conséquence l'unité de longueur epiployée. En fait, on a des raisons dé

croire que la terre met environ i de seconde de plus quM y a deux

milles cinq cents ans pour tourner de quatre angles droits autour de son axe, par suite la durée de la seconde est aujourd'hui un tant soit peu plus longue que lors de la fondation de la cité romaine.

Le jour sidéral dont la détermination exige des observations astronomiques très minutieuses et très exactes [ne constitue pas une unité convenable pour l'usage ordinaire. Les relations de la vie civile dépendent principalement de la position du soleil qui est notre régulateur naturel. Le jour solaire vrai est le temps mis par la terre pour effectuer, par rapport au soleil, une rotation complète autour de son axe ; il est midi vrai lorsque le soleil passe au méridien du lieu d'observation. Par suite du mouvement du soleil par rapport à la terre, la durée du jour solaire vrai surpasse d'environ quatre minutes celle d'un jour sidéral.

Le jour solaire vrai n'a pas cependant toujours la môme durée. C'est un inconvénient si (comme c'est actuellement l'usage dans l'Europe occidentale depuis bientôt deux cents ans) le temps est

évalué d'après les indications d'une horloge et non au moyen d'un cadran solaire, et on prend pour la mesure du jour la durée moyenne du jour solaire vrai : c'est ce qu'on appelle le jour solaire moyen. Pour définir l'instant midi d'un jour solaire moyen, on suppose un point se déplaçant uniformément sur l'écliptique coïncidant avec le soleil à chaque apside, et un soleil fictif, appelé soleil moyen, se déplaçant sur l'équateur céleste de telle sorte que sa distance au premier point du Bélier soit la môme que celle de ce point : il est midi moyen lorsque ce soleil moyen est sur le méridien. Le jour solaire moyen est divisé en heures, minutes et secondes qui sont les unités usuelles de temps dans la vie civile.

Le temps indiqué par nos horloges et nos montres est le temps solaire mq,yen, le temps évalué d'après les indications des cadrans «olaiFes ordinaires est le temps solaire vrai. La différence entre les deux constitue ce qu'on nomme l'équation du temps : à certaines époques de l'année, cette différence peut être d'un peu plus d'un quart d'heure. En Angleterre, l'origine des longitudes est le méridien de Greenwich et au lieu du temps solaire moyen local, on prend comme étalon de mesure le temps solaire moyen correspondant au méridien de Greenwich.

Le temps moyen est d'invention relativement récente. La France est le pays civilisé qui a abandonné le dernier, en 1816, l'usage du temps vrai.

Il n'y avait pas autrefois accor.d complet sur l'origine du jour.

Dans certaines parties de l'ancienne Grèce et au Japon, l'intertervalle entre le lever et le coucher du soleil était divisé en douze heures, ainsi que Tintervalle entre le coucher et le nouveau lever. Les Juifs, les Chinois, les Athéniens et, récemment encore, les Italiens, subdivisaient le jour en vingt-quatre heures à partir du coucher du soleil, qui varie, bien entendu, chaque jour. On prétend que cette façon de compter le temps est encore usitée dans quelques villages des environs de Naples avec cette modification que le jour commence une demi-heure après le coucher du soleil. De même les Babyloniens, les Assyriens, les Persans et, jusqu'à ces temps

DU TEMPS ET DE SA MESURE Io5

derniers, les Grecs modernes et les habitants des îles Baléares comptaient les vingt quatre heures du jour à partir du lever du soleil. Les anciens Égyptiens et Ptolémée faisaient partir les vingt-quatre heures de la journée de midi : c'est encore l'habitude des astronomes modernes. Dans toute l'Europe occidentale, le jour commence à minuit — comme Hipparque en a le premier donné l'idée — et est divisé en deux périodes égales de chacune douze heures.

Aussi loin que nos observations remontent, on trouve que la semaine de sept jours était d'un usage universel en Orient, mais c'est une unité de temps artificielle. L'empereur Théodose l'introduisit en Occident et depuis lors elle a été adoptée d'une façon générale (sauf, cependant, durant la première révolution française) par toutes les nations civilisées. Les noms des jours sont tirés de ceux des sept planètes astrologiques qui sont (en les disposant, suivant l'usage, dans l'ordre de leur temps apparent de rotation autour de la terre) Saturne, Jupiter, Mars, le Soleil, Vénus, Mercure et la Lune. Les vingt-quatre heures du jour étaient successivement dédiées à ces planètes, et le jour était consacré à la planète qui correspondait a la première heure.

Par exemple, si la première heure était dédiée à Saturne, la seconde l'était à Jupiter, la troisième à Mars, et ainsi de suite, mais le jour était le jour de Saturne. La vingt quatrième heure du jour de Saturne étant dédiée à Mars, la première heure du jour suivant appartenait au Soleil, et ce jour était le jour du Soleil. Semblablement, le jour suivant était le jour de la Lune, puis on avait le jour de Mars, le jour de Mercure, le jour de Jupiter et le jour de Vénus.

Le mois astronomique est une unité de temps naturelle dépendant du mouvement de la Lune et contenant environ vingt-neuf jours et demi. Les mois du calendrier ont été réglés graduellement comme divisions convenables du temps et on en trouve l'histoire dans presque toutes les astronomies. Dans la disposition primitive de Julien, les mois des années bissextiles étaient alternativement de trente-et-un et de trente jours, tandis que dans les autres années,

lOfl RéCRlfiATIONS MATHiSmATIQUII

février ne comptait que vingt-neuf jours. Auguste modifia cette disposition pour que son mois ne fut pas d'une durée moindre que celui portant le nom de son oncle.

L'année tropique solaire est une autre unité naturelle de temps : d'après des observations récentes, elle contient 3G5, 242 216 jours, c'est-à-dire 365 jours, 5 heures, 48 minutes, 47,4624 secondes. Les Égyptiens n'ignoraient pas que cette année contenait entre 365 et 366 jours, mais les Romains n'utilisèrent pas cette observation car Numa regardait, dit-on, l'année comme constituée par 365 jours. Des mois additionnels étaient intercalés d'une façon accidentelle afin de faire tomber les saisons à peu près aux mêmes époques.

En l'an 46 A. C, Jules César décréta que l'année contiendrait à l'avenir 365 jours et que, tous les quatre ans, c'est-à-dire chaque année bissextile, on ajouterait un jour supplémentaire. Cette règle devait être applicable à partir du premier janvier de l'année 45 A. C. Ce changement fut fait d'après les conseils de Sosigène, célèbre astronome et mathématicien d'Alexandrie.

Il faut se rappeler que l'année i, Anno Domini, suit immédiatement l'année I, A. C, c'est-à-dire qu'il n'y a pas ]eu d'année 0, et qu'ainsi l'année 45 A. C. aurait dû être une année bissextile. Toutes les dates historiques sont données maintenant comme si le calendrier Julien s'appliquait aux années antérieures aussi bien qu'aux années postérieures à l'an 45 (*). En réalité et par suited'une erreur commise dans le décret originel, les Romains, pendant les trente-six premières années qui suivirent l'an 45 A. C, intercalèrent le jour supplémentaire chaque troisième année, mais l'erreur fut corrigée par Auguste.

Le calendrier Julien faisait l'année de 365,25 jours. La valeur actuelle est très approximativement de 365,242 216 jours. Dès lors, Tannée Julienne est trop longue d'environ onze minutes et quart, ce qui produit une erreur de près d'un jour au bout de cent vingthuit ans. Si le jour supplémentaire à intercaler avait été omis

(') Heuschel — Astronomie, Londres, 11* édit. 1871, art. 91 6-91 g.

chaque trente-deuxième année bissextile — comme l'avait proposé un astronome persan dont le nom ne nous est pas resté — l'erreur n'aurait pas été d'un jour au bout de too.ooo ans. Ajoutons que Sosigène n'ignorait pas que sa règle conduisait à une année un peu trop longue.

L'erreur dans le calendrier Julien, un peu supérieure à onze minutes par an, s'accumula graduellement, et au xvi" siècle, les équinoxcs du printemps et de l'automne devancèrent de près de dix jours les époques du 21 mars et du 21 septembre avec lesquelles ils concordaient primitivement. En i582, Grégoire XllI corrigea l'erreur en supprimant dix jours dans cette année (qui, dès lors, fut comptée comme avant seulement 355 jours) et en ordonnant, par une bulle du 2A février i582, qu'à l'avenir chaque année ayant pour millésime un multiple de 100 serait bissextile ou non suivant que ce multiple est ou n'est pas divisible par 4-

L'idée fondamentale de cette réforme appartient à Lilius qui mourut avant sa mise en pratique. Clavius fut chargé d'établir le nouveau calendrier et il en a exposé les principes et les règles dans un ouvrage prolixe mais bien travaillé de 5oo pages (^). Le plan adopté fut suggéré par Pitatus en i552, ou peut-être en i537 ; la proposition mieux étudiée, faite en 1 5i 8 par Stôffler, de retrancher un jour tous les i34 ans ayant élé rejetée par Lilius et Clavius pour des raisons qui ne nous sont pas connues.

Clavius pensait que l'année contenait 3G5,2/i25/i32 jours, mais il établissait son calendrier en partant de la moyenne 3G5, 2/120 jours, et il calculait que l'erreur devait jjtre de un jour au bout de 3 323 ans; en réalité, l'approximation est un peu plus grande, car l'erreur est de un jour au bout de 3 600 ans.

La réforme imposée était impopulaire, mais Kiccioli (") raconte que certains de ces miracles qui se produisent à des époques fixes — comme, par exemple, la liquéfaction du sang de Saint-Janvier —

(t) Romani Caîendarii a Grej/. XIII, resliluti explicatio, Rome, iGo3. [-) Chronoh(jia Reformata Bonn, 1669, vol. IT, p. .-^oG.

étant survenus régulièrement et conformément aux indications du nouveau calendrier, la bulle papale fut considérée comme ayant reçu une sanction divine (Deô ipso huic corredioni Gregorianœ sabscribente) et on l'accepta comme un mal nécessaire.

En Angleterre, un bill pour l'application de la réforme fut présenté en i584. mais il fut retiré après une seconde lecture, et ce n'est qu'en 1762 que le changement fut définitivement adopté : on diminua cette année de onze jours. Dans les pays catholiques romains, le nouveau style date de i582. Le changement fut fait en 1600 en Ecosse, en 1700 dans les provinces luthériennes de l'Allemagne et en 1782 en Irlande. Tout le monde sait que l'Eglise grecque a conservé l'usage du calendrier Julien.

L'année des Mahométans contient douze mois lunaires, ou trois cent cinquante-quatre jours un tiers, et, par suite, ne présente aucune corrélation avec les saisons.

La réforme grégorienne a été provoquée par la nécessité de conserver Pâques toujours à la même époque de l'année. La date de Pâques dépend de celle de l'équinoxe du printemps, et comme, d'après le calendrier Julien, l'année a une durée moyenne de 365,25 jours, au lieu de 860,242216 jours, l'équinoxe du printemps tendait de plus en plus à se rapprocher du commencement de l'année et en i582 il avait rétrogradé jusque vers le 20 février.

La date de Pâques se détermine comme il suit (*) : en 325, le Concile de Nicée avait décidé que l'on conserverait les usages des Romains. Or, après 463 (ou peut-être 53o) il fut décrété à Rome que le jour de Pâques serait le premier dimanche après la pleine lune qui arrive à l'équinoxe du prm temps ou très peu après. — On admettait que la pleine lune arrivait le quatorzième jour après celui de la nouvelle lune précédente (bien qu'en réalité elle se présente, d'après une estimation moyenne, après un intervalle un peu plus grand que quatorze jours trois quarts), et que l'équinoxe du prin-

(*) De Morgan. — Companion lo the Abnanac, Londres. i845, pp. i-36.

temps tombe le 21 mars (bien qu'il puisse parfois tomber le 22 mars).

Grégoire conserva celte règle et respecta ces suppositions pour cette raison qu'il aurait clé absolument inopportun de modifier des usages auxquels se rattachaient tant de traditions ; mais pour éviter toute contestation relativement à la détermination exacte delà nouvelle lune, on fit intervenir en appliquant la règle un soleil moyen et une lune moyenne définis par Clavius. Une des conséquences de l'emploi de ce soleil moyen et de cette lune moyenne et de l'introduction d'une définition artificielle de la pleine lune est qu'il peut arriver (ainsi, d'ailleurs, que le fait s'est produit en 1818 et en 1845) que la pleine lune réelle arrive le dimanche de Pâques. Dans la loi britannique, i[\ Géo. II, chap. 28, la clause explicative définissant la pleine lune est omise, mais en pratique on donne à l'expression pleine lune la même signification que l'Église romaine, de sorte que les règles anglicanes et romaines sont identiques. Jusqu'en 1774, les états luthériens de l'Allemagne utilisèrent le soleil et la lune réels. Si l'on comprend que pleine lune signifie le quinzième jour de la lune (comme c'est le cas dans le calendrier civil) la règle peut se présenter sous cette forme : le jour de Pâques est le dimanche coïncidant, ou le plus voisin, de la pleine lune du calendrier qui arrive aussitôt après le 2 1 mars.

£ix\ acceptant le calendrier grégorien avec toutes ses prescriptions, il subsiste encore une particularité dans cette définition du jour de Pâques qui peut amener la célébration de cette fête à des époques différentes. Cela provient de ce qu'on a introduit le temps local. Par exemple, la différence entre le temps local de Uome et celui de Londres est d'environ cinquante minutes ; par suite, le moment de la première lune aussitôt après l'équinoxe du printemps pourrait tomber à Rome dans la matinée d'un dimanclie (soit à douze heures trente après minuit), tandis qu'en Angleterre il arriverait encore dans la soirée du samedi (à onze heures quarante avant minuit) ; dans

(*) De Morgan. — Companion to the Almanac, 18A6, pp. i-io.

IIO RECREATIONS MATHEMATIQUES

ce cas, Pâques serait célébré en Angleterre une semaine plus tôt qu'à Rome. Cette difficulté avait été prévue par Clavius, et l'Église romaine sur toute la surface de la terre conserva Pâques le jour du mois déterminé par l'application de la règle à Rome. Mais il est à présumer que le Parlement Britannique entendait déterminer le temps par rapport au méridien de Greenwich, et si cela est, la date de Pâques peut différer d'une semaine dans les cultes anglican et romain ; nous ignorons si le cas s'est jamais présenté ou s'il a été discuté, et nous laissons aux ecclésiastiques le soin d'examiner comment la question doit être traitée.

La méthode usuelle pour déterminer la date du jour de Pâques chaque année est un peu confuse et il est possible que plusieurs de nos lecteurs ne connaissent pas la simple règle suivante (*).

Soient m et n deux nombres que nous définirons plus loin.

(i) Divisons respectivement par 4. 7, 19 le nombre représentant l'année considérée et désignons par a, b, c les restes respectifs ;

(2) divisions 19. c + m par 3o, et soit cl le reste de l'opération :

(3) divisons encore 2a -{- l^b -\- M -{- n par 7 et soit e le nouveau reste.

(4) Gela fait, la pleine lune de Pâques se présente d jours après le 21 mars, et le jour de Pâque est le (28 -\- d -{- e)'"^ de mars ou le (d ■+■ e — g)™" jour d'avril, avec ces exceptions cependant que si le calcul donne d = 29ete = 6 (comme cela arrivera en 1981), le jour de Pâques est le 19 avril et non le 26 avril, et si le calcul donne d= 28, e = 6, avec c ]> 10 (comme le fait se présentera en 1954), le jour de Pâques est le 18 avril et non le 25, c'est-à-dire que dans ces deux cas, Pâques arrive une semaine plutôt que l'indique la règle.

Ces deux cas exceptionnels ne se présentent jamais avec le calendrier Julien, et avec le calendrier grégorien il ne se produisent que très rarement.

(^) Elle est due à Gauss, et sa démonstration se trouve dans Zach, Monailiche Correspondenz, août 1800, vol. II, pp. 331-280.

t>\] TEMPS ET DE SA MESURE

Il reslc a donner les valeurs de m et n suivant les périodes. Dans le calendrier Julien m = i5, n = 6. Dans le calendrier grégorien, on a :

Périodes

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