OO

Valeur de m. . . .

Valeur de n. ...

Ainsi pour l'année 1908, nous avons m = a/j, n = b ', par suite a = o, b = II, c = 8, d = 26 ei e =z 2 ; le jour de Pâques se présente donc le 19 avril. Après l'année 4 200, la forme de la règle devra être légèrement modifiée,

La lettre dominicale et le nombre d'or du calendrier ecclésiastique peuvent se déduire en môme temps des valeurs de 6 et de c. L'épacte (ou l'âge de la lune au commencement de l'année) peut également se calculer aisément dans chaque cas particulier d'après les données qui précèdent ; la formule générale a été donnée par Delambre, mais elle est appliquée si rarement, à moins que ce ne soit par les astronomes de profession et par les fabricants d'aljnanachs, que nous jugeons inutile de la mentionner ici.

Nous pouvons éviter d'avoir à nous rappeler les valeurs de m et

de n en remarquant que si ( — ) représente la partie entière du quotient de la division de N par aï, N étant l'année considérée, m est le reste obtenu en divisant i5 -h ^ par 3o, et n le reste donné par la division de 6 -h t) par 7 : dans le calendrier Julien $ r= o, r, = o et dans le calendrier grégorien

\ioo/

(435) - (^)- " "i = (tss) ~ (ï^)

En employant ces valeurs de m et de n, et en posant

„»-.(!),. = N-(f),..„-„(Jl).

la règle donnée plus haut se présente sous la forme suivante :

« On divise 19N — (- — j H- i5+ ^ par 3o, et on représente « par d le reste de l'opération. On divise ensuite ;

« par 7 et on représente par e le reste. La pleine lune de Pâques (( est le d""" jour après le 2 1 mars, et le jour de Pâques est le (( (22 -+- d -h e)*"^ jour de mars, ou le (ci -h e — 9)"'® jour d'avril (( suivant les cas ; mais comme plus haut, si le calcul donne c? p= 29 « et e = 6 ; ou cf.= 28, e = ô et c >- 10, le jour de Pâques est le a [d -\- e — 16)""' jour d'avril ».

Ainsi pour N = 1899, nous divisons 19 X 1899 — 99 H- 10 H- (18 — 4 — 6) par 3o, ce qui donne d = b, puis nous divisons 6 (1899 H- 5 -H i) — 474 H- (18 — 4 — 2) par 7, ce qui donne e = 6 ; par suite le jour de Pâques sera le 2 avril.

Les règles précédentes comprennent tous les cas étudiés avec tant de soin par Clavius et d'autres astronomes (').

Nous donnerons ici une règle, citée par Zeller pour déterminer le jour de la semaine qui correspond à une date déterminée quelconque. Supposons que le p""" jour du g'"' mois de l'année N,

(1) La plupart des renseignements qui précèdent sur le calendrier sont empruntés à V Astronomie de Delarabre, Paris, 181 4- vol, III, chap. XXXVIII; et à son histoire de V Astronomie moderne, Paris, 1 821, vol. I, chap. I : voir aussi A. De Morgan, the Book of Almanacs, Londres, 1801 ; S. Butcher, the Ecclesiastical calendar, Bublin, 1877 ; et G. Zeller, Acta Mathematica, Stockholm, 1887, vol. IX, pp. i3i-i36. Pour les détails chronologiques, voir J. L. Ideler, Lehrbuch der Chronologie, Berlin, i83i.

DU TEMPS ET DE SA MESURE Il3

anno dominiy soit le r'"° jour de la semaine, à compter du samedi précédent. Alors r est le reste obtenu en divisant par 7 l'expression

en considérant respectivement janvier et février comme le treizième et le quatorzième mois de l'année précédente.

Par exemple, Colomb découvrit le Nouveau Monde le 12 octobre 1492. (vieux style); ici p = 12, ç rm 10, N = 1^92, r, z= oeten divivisant 12 -t- 20 + G H- 1/492 -f- 873 par 7, on trouve r = Ci \ donc c'était un vendredi.

De même Charles I" fut exécuté le 3o janvier 1G49 i^ieux style). Dans ce cas p = 3o, (jf = i3, N = 1G48, t] = o, et nous trouvons r = 3 : c'était dès lors un mardi.

Comme dernier exemple, la bataille do Waterloo fut livrée le 18 juin i8i5 ; icip = 18, ^ = G, N = i8i5, t) = 12, et nous trouvons r = 1. Elle eut donc lieu un dimanche.

Continuons maintenant en donnant un simple aperçu de quelques-uns des moyens autrefois en usage pour mesurer le temps.

Les plus anciennes inventions dont nous ayons connaissance sont celles des styles ou gnomons construits en Egypte et en Asie Mineure. Ils consistaient en tiges montées verticalement sur une tablette horizontale et entourées de trois cercles concentriques tels que toutes les deux heures l'extrémité de l'ombre portée par la tige passait d'une circonférence sur l'autre. Quelques-uns de ces appareils ont été trouvés à Pompéi et à Tusculum.

La construction des cadrans solaires repose sur le même principe. Ils consistent en une tige ou style fixé sur une plaque rectangulaire ou sur un cadran ; généralement, mais cela n'est pas nécessaire, le style est disposé suivant une direction parallèle à l'axe terrestre. Le soleil projette l'ombre du style sur des lignes tracées sur le cadran et correspondant aux diverses heures de la journée.

Le cadran solaire le plus ancien dont l'histoire fasse mention est Récréations mathématiques, III* 8

celui construit par Berosus en 54o A. C. Meton en construisit un à Athènes en 433 A. G. Le premier cadran solaire à Rome est attribué à Papirius Gursor en 3o6 A. G. Des cadrans solaires portatifs avec une boussole fixée sur la face, ont été longtemps employés en Orient et en Europe, D'autres instruments portatifs à peu près semblables étaient en usage en Europe au Moyen âge, nous citerons principalement les anneaux solaires (que nous décrivons plus loin) et les cylindres solaires (^),

L'on ignore généralement, pensons-nous, qu'on peut construire un cadran solaire de façon que l'ombre se déplace en sens contraire sur le cadran pendant un petit espace de temps dans le voisinage du lever et du coucher du soleil ('^). Ge fait a été découvert par INunez et en voici l'explication. Chaque jour le soleil paraît décrire un cercle autour du pôle et la ligne joignant la pointe du style au soleil décrit un cône droit dont l'axe est dirigé vers le pôle. La section de cette surface conique par le cadran est la courbe décrite par l'extrémité de l'ombre, et c'est comme l'on sait une conique. Dans notre latitude lé soleil est au dessus de l'horizon seulement pendant une partie des vingt-quatre heures du jour, et, par conséquent, l'extrémité de l'ombre du style ne décrit qu'une partie de la conique. Soit QQ' l'arc décrit par l'extrémité de l'ombre du style du lever du soleil en Q au coucher en Q' ; représentons par S la pointe et par F le pied du style, c'est-à-dire le point où il rencontre le plan du cadran. Supposons que le cadran soit placé de telle sorte que les tangentes menées par F à la conique QQ' soient réelles et que les points de contact, P et P', se trouvent sur l'arc QQ'. Si ces deux conditions sont remplies, l'ombre rétrogradera (dans l'angle QFP) lorsque ses extrémités se déplaceront de Q à P elle avancera (dans l'angle PFP') lorsque ses extrémités iront de P

(1) Ainsi Chauccr dans le Rccit du matelot, « par mon cylindre c'est l'aurore du jour », et Lydgate dans le siège de Thèbes, u par mon cylindre je commence à voir qu'il est bientôt neuf heures ».

(2) OzANAM. — Edition de i8o3, vol. III, p. 821 ; édition de i8/|0, p. 629.

DU TEMPS ET DE SA MESURE Il5

en P', et enfin elle rétrogradera (dans l'angle P'FQ') pendant que ses extrémités se déplaceront de P' en Q'.

Si la course diurne apparente du soleil est coupée par l'horizon (comme cela se produit toujours aux latitudes tempérées et tropicales) et si le plan du cadran est horizontal, l'arc QQ' forme en totalité une branche d'hyperbole et les conditions ci-dessus énoncées sont remplies, si F se trouve compris dans Pespace limité par cette branche d'hyperbole et ses asymptotes. Comme cas particulier, dans un lieu dont la latitude est 12° N., le jour où le soleil est dans le tropique septentrional (du cancer), l'ombre sur un cadran dont le plan est horizontal et le style vertical rétrogradera pendant près de deux heures entre le lever du soleil et midi.

Si, dans le cas d'un cadran solaire donné, placé dans une certaine position, les conditions énoncées ne sont pas remplies, il est possible d'y satisfaire en inclinant le cadran d'un angle convenablement choisi.

L'explication rationnelle qui a été présentée par les encyclopédistes français du miracle concernant Isaïe et Ezéchias (^), repose sur ce fait. Le style étant pris perpendiculaire à la surface du cadran, traçons la sphère céleste et supposons que le soleil, se levant en M, soit à point culminant en N. Prenons un point L entre M et N sur la courbe décrite par le soleil dans son mouvement diurne et traçons un grand cercle tangent en L à cette courbe ; soient A, A' les points où ce grand cercle coupe le méridien céleste et supposons que l'arc AL soit plus petit que l'arc A'L et, par suite, moindre qu'un quadrant. Si le style est dirigé vers A, alors quand le soleil aj)prochc de L l'ombre rétrograde, tandis qu'elle avance quand lo soleil dépasse le point L. Ainsi, le cadran étant placé de façon qu'un style qui lui est normal passe par le milieu du méridien entre l'éciuatcur et les tropiques, l'ombre rétrogradera entra

(•) Les Rois. 2. ciiap. \X, V, y-i 1,

Il6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

le lever du soleil et midi du jaur le plus long, dans un angle donné par l'expression

arc sin (cos co sec - w | —

— arc cotg j sin w cos ( / w | ( cos^ l — sin^ lo 1 ^ l

dans laquelle / est la latitude du lieu et w l'obliquité de l'éclip tique.

La remarque précédente s'applique au cadran solaire usuellement employé.

En i8()2, le général Oliver introduisit à Londres un cadran ayant un style massif dont la section était une certaine courbe ayant une forme déterminée d'une façon empirique par la valeur de l'équation du temps en tant que comparée avec la déclinaison du soleil (^). L'ombre du style sur le cadran donne le temps moyen local, mais il est bien entendu que pour établir correctement le cadran en chaque lieu, il est nécessaire d'en connaître la latitude ; le cadran peut aussi être disposé de façon à donner le temps moyen de toute autre localité dont la longitude relativement au lieu d'observation est connue.

h' anneau-soleil ou le cadran-anneau est un autre instrument utilisé pour la mesure du temps solaire ('). La figure ci-dessous représente un des modèles les plus simples.- L'anneau-soleil consiste en une mince bande de laiton d'environ o"',oo6 de largeur, courbée en cercle et glissant entre deux anneaux circulaires fixes. Les rayons des cercles sont d'environ o™.o25. La bande est percée d'un trou et quand l'anneau est suspendu par un point fixe de son contour de façon à se tenir dans un plan vertical contenant le soleil, la lumière solaire pénétrant par ce trou produit un point lumineux sur la sur-

(«) Une description de ce cadran -solaire avec un diagramme a été donnée dans le journal Knowledge, du i"" juillet 1893, pp. i33-i34.

(^) Voir Ozanam, édition de i8o3, vol. III, p. 817 ; édition do iS/Jo, p.

face concave de Tanneau c'est-à-dire à l'intérieur. Les heures sont marquées sur cette surface et, si l'anneau est convenablement réglé, le point brillant tombe sur l'heure qui indique le temps solaire. Le réglage pour le temps de l'année s'effectue comme il suit : les anneaux entre lesquels la bande pCut glisser portent sur leur surface convexe les noms des mois et la bande centrale doit être déplacée entre eux jusqu'à ce que le trou soit opposé au mois pour lequel le cadran doit être employé.

On peut se fier aux indications de l'instrument pour déterminer

Fig. 76

le temps dans le voisinage de midi, mais pour les autres heures de la journée, il n'est exact que si le temps de l'année est convenablement choisi, généralement dans le voisinage des équinoxcs. Ce défaut peut être corrigé en marquant les heures sur une bande courbe de laiton fixée à la surface concave des anneaux. Nous avons en notre possession deux spécimens de ces sortes d'anneaux.

Ces anneaux étaient très répandus, l'un de nos deux spécimens a

Il8 REGREATIO^S MATHEMA.TIQiJES

été acheté dans le ïyrol autrichien et l'autre à Londres. Les Astrolabes peuvent être employés pour le même usage.

Les clepsydres (ou horloges à eau) et les sabliers (ou horloges de sable) nous fournissent d'autres moyens de mesurer le temps. Le temps mis par une certaine quantité de liquide (ou de sable) pour s'écouler par un orifice donné, dans les mômes conditions, est toujours la même, et en notant le niveau du liquide qui s'est écoulé par l'orifice, ou qui reste à passer, on peut obtenir une mesure du temps. L'usure de bougies graduées nous donne encore un autre moyen d'évaluer le temps.

Les horloges modernes et les montres Q) consistent en un système de roues mises en mouvement par un poids, un ressort, ou partout autre système, etrégléespar un pendule, un balancier, un volant, ou un autre corps en mouvement dont les déplacements sont périodiques et le temps des oscillations constant. Le sens de la rotation des aiguilles des horloges a été choisi à l'origine le même que celui de la marche de l'ombre sur un cadran solaire dont la face est horizontale ; le cadran étant situé dans notre hémisphère.

L'invention des horloges à roues est attribuée par la tradition à Pacificus de Vérone, vers 85o, et également à Gerbert qui en aurait construit une à Madebourg, en 996 : mais on a des raisons de supposer qu'il s'agissait d'horloges solaires. La plus ancienne horloge à roues dont l'histoire est certaine fut celle envoyée par le sultan d'Egypte, en 1282, à Frédéric II, bien qu'il paraisse hors de doute que des horloges semblables se fabriquaient en Italie au moins cinquante ans plus tôt.

En Angleterre, la plus ancienne horloge dont nous pouvons parler avec connaissance est celle érigée en 1288, dans, ou près du château de Westminster à la suite d'une amende infligée à un premier Président prévaricateur. Les cloches et probablement l'horloge, furent jouées et perdues par Henri YIII, sur un coup de dés, mais

(') Voir : Cloch and Walch MaJcing, par Lord GuiMiionrE, 7® édition, Londres, i883.

nV TEMPS ET DE SA MESURE ItQ

l'emplacement fut marqué par un cadran solaire, détruit il y a environ cinquante ans, et qui portait l'inscription : Discile jasticiam monili. L'horloge de la cathédrale de Canterbury contruite en 1292 coûta 3o £. Celle érigée à l'Abbaye de Glastonburg en 182 5, est actuellement au musée de Kensington et fonctionne régulièrement Une autre, construite en 1826 pour l'Abbaye de Saint-Alban, indique tous les phénomènes astronomiques et paraît avoir été l'une des plus anciennes horloges ainsi perfectionnées. L'horloge de Douvres montée en i348 marche avec régularité. Les horloges de Peterborough et d'Exeter sont à peu près de la môme époque et plusieurs de leurs organes demeurent m situ. La plupart de ces anciennes horloges étaient régjécs par des balanciers horizontaux ; le pendule étant alors inconnu. Parmi les horloges soignées d'une époque moins reculée, celle de Strasbourg construite par Dasypodius en 1571, et celle de Lyon construite par Lippeus en iTxjS, sont principalement remarquables : la première a été restaurée en 18/^2, de telle manière qu'il est resté peu de chose de l'ancien travail. En 1870, Vick construisit pour Charles V une horloge a contre-poids et h échappement. C'était un grand perfectionnement apporté aux anciennes et grossières horloges.

Les plus anciennes horloges réglées au moyen du pendule paraissent avoir été inventées d'une façon accidentelle en 1G21, par un horloger de Covent-Garden à Londres, nommé llarris, mais la théorie de ces horloges est due à Iluygens (^). Galilée avait découvert antérieurement l'isochronisme des oscillations du pendule, mais ne l'avait pas appliqué à la régularisation du mouvement des horloges. Ilooke construisit de semblables horloges et il est possible qu'il découvrit, lui aussi, l'usage du pendule.

Une montre peut se défmir une horloge qui marche dans toutes les positions. Des montres, un peu grossières il est vrai, étaient fabriquées à Nuremberg par P. llele dès le commencement du xvi° siècle. Le mouvement était donné par un ruban d'acier enroulé

(•) Ilorolofjium oscillaloriam, Paris, 1678.

120 RECREATIO>'S MATHEMATIQUES

sur une tige et relié par l'une de ses extrémités à une série de roues qui étaient mises en marche pendant qu'il se déroulait. Il est probable que quelques montres du même genre datent d'une époque antérieure mais h la fin du xvi° siècle elles étaient assez répandues. Il était d'usage à cette époque de leur donner des formes fantastiques, par exemple de têtes de mort ou d'énormes pendeloques, mais vers i 620 on commença à les fabriquer sur la forme plate et ovale qui permettait de les porter plus commodément dans une .poche ou suspendue à une partie du vêtement. Leur construction se perfectionna considérablement dans le xvii° siècle, notamment par l'introduction du ressort balancier proposé par Huygcns en 167/1, et indépendamment par Hooke^en 1675. Ces deux mathématiciens avaient découvert que les petites vibrations d'un ressort enroulé, ayant une de ses extrémités fixe, sont pratiquement isochrones. La fusée avait déjà été employée en i525 par R. Zech de Prague, mais elle fut réinventée par Ilooke.

Les horloges et les montres sont généralement mises en mouvement et réglées comme nous venons de l'expliquer, cependant on rencontre occasionnellement d'autres forces motrices et des inventions très ingénieuses pour régler le mouvement. Nous pouvons citer une horloge ayant la forme d'un cylindre (relié à un autre poids comme dans la machine d'Alwood) se déplaçant sur un plan incliné mais si lentement qu'elle met douze heures pour descendre et de telle façon que le point le plus élevé de la surface marque toujours l'heure (*). Ozanam décrit une horloge à eau, à peu près de la même forme, et qui au commencement du dernier siècle était une curiosité à Paris (^). L'horloge était constituée par un cylindre creux divisé en plusieurs compartiments contenant un peu de mercure et arrangés de telle sorte que le cylindre descendait avec une vitesse uniforme entre deux piliers verticaux sur lesquels les heures étaient marquées à des intervalles équidistants.

(*) OzA.NAM. — Édition de i8o3, vol. II, p. 89 ; cdilion de t8/jO, p. ai.?, ou La Nature, 28 janvier 1893, pp. 128, 124.

(2) Ozanam. — Édition de i8o3, vol. II, p. 68 ; édition de 18/10, p. 225.

On trouvera bien d'autres ingénieuses façons de disi^imuler la force motrice dans les colonnes de La Nature (^). Parmi ces pendules mystérieuses, les suirantes sont peut-être connues de plusieurs de nos lecteurs. L'une d'elles consiste en un cadran en cristal suspendu au moyen de deux tiges très minces, les aiguilles sont en métal et tout le mécanisme est caché dans leur épaisseur ou dans le pivot. Une autre est formée de deux feuilles de verre réunies par les bords dans un même cadre contenant un ressort qui imprime à la feuille postérieure un très léger mouvement d'oscillation — mouvement qui n'est perceptible que pour ceux qui examinent attentivement l'appareil — et chaque oscillation fait mouvoir les aiguilles qui se déplacent de l'angle convenable. — Nous avons décrit précédemment, pp, 88, 89, 2^ ])artie quelques horloges destinées à produire le mouvement perpétuel. Nous avons vu dernièrement en France une horloge dans laquelle les aiguilles cachées derrière le cadran portaient chacune un aimant, de petits morceaux de fer représentant des insectes étaient placés sur le cadran, et indiquaient les heures en suivant le mouvement des aiguilles.

La position du soleil par rapport à la direction Nord -Sud détermine le temps solaire. Inversement, si nous considérons le temps indiqué par une montre comme étant le temps solaire (et il n'en diffère en réalité que de quelques minutes) et si nous observons la position du soleil, nous pouvons déterminer cette direction N-S (-)» Il suffit pour cela de diriger l'aiguille des heures vers le soleil et de tracer la direction qui partage en deux parties égales l'angle compris entre l'heure et le chilfre XII du cadran ; cette direction est celle du Sud. Par exemple, s'il est quatre heures après midi, on amènera l'aiguille des heures (qui marque IIll) dans la direction du soleil.

(') Voir principalement les volumes parus en 187^1, 1877 ^^ 1878.

(^) La règle est donnée par W. H. Richauds. — Military ToporjrapliY^ Londres, i883, p. 3i, bien qu'elle ne soit pas établie d'une façon absolument correcte. Nous ne savons par qui elle a été énoncée pour la première fois.

122 RécRÉATIO^S MATHÉMATIQUES

et le nombre II sur le cadran donne la direction du Sud. De mémo, s'il est huit heures du matin, on dirige vers le soleil la pointe de l'aiguille des heures (qui marque" VIII, et la figure X du cadran donne la direction Sud.

Entre six heures du malin et six heures du soir, l'angle qui doit être divisé en deux parties égales, et qui est compris entre l'heure marquée par la montre et XII est plus petit que i8o°; mais pour les autres moments de la journée, l'angle à hissecter est plus grand que i8o" ; ou peut-être serait-il plus simple de dire que la construction donne le point Nord au lieu du point Sud.

L'explication est la suivante. A midi, le soleil est dans la direction Sud et il fait un tour complet autour de la ligne méridienne en vingt-quatre heures. L'aiguille des heures fait également un tour complet en douze heures. Par suite, la montre étant tenue dans le plan de l'écliptiquc fivëc le cadran apparent, et le nombre XII du cadran étant dirigé vdrs le Sud, l'aiguille des heures et le soleil seront en môme temps dans cette direction à midi. Tous les deux tournent dans le même sens, mais la vitesse angulaire de l'aiguille des heures est le double de celle du soleil ; d'où résulte la règle. L'erreur la plus grande, pouvant provenir de ce qu'on a négligé l'équatioii du temps, est moindre que 2°. Il va sans dire que dans les applications courantes au lieu de tenir la face de la montre dans le plan de l'écliptique, on la dispose horizontalement, mais il ne résulte de ce fait, dans notre latitude, aucune erreur sérieuse.

Dans l'hémisphère du Sud, où à midi, le soleil est dans la direction du Nord, la règle est à modifier. Dans ce cas, l'aiguille des hdures d'une montre (tenue face apparente dans le plan de l'écliptique) et le soleil se déplacent en sens contraires. Par suite, en disposant la montre de telle sorte que l'heure XII soit dirigée vers le soleil, la bissectrice do l'angle formé par l'heure de la journée et le nombre XII du cadran donnera la direction Nord.

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