II I

4 loo 4.IOO loo^ 4.100^ 100' 4.100^

On voit, sans peine, que cette loi se poursuit indéfiniment, de sorte qu'en considérant un nombre infiniment grand d'années, le rapport du nombre des années bissextiles au nombre total des années peut se mettre sous la forme

100'^ "" 4.100^ lOO^

et la question revient à démontrer que cette expression tend vers

Or, elle revient à

4\ 100 100^ loo^ '■*/ Foo\ 100 100^

lOO"* /

ou bien encore à

Trouver une formule donnant tous les quantièmes (Vannées dans lesquelles le mois de février a cinq dimanches (•).

Il est évident que les années demandées sont bissextiles, et que le i'^'" février doit y être le dimanche ; d'ailleurs, quand le i" février est un dimanche, le i®^ janvier est un 'jeudi. La question est donc ramenée à la suivante :

(1) Question 128 des Nouvelles Annales de Mathématiques (T. V. p. 448). Nous reproduisons la solution donnée par M. E. Goupy. (T. XIF, p. 126).

Quelles sont les années bissextiles commençant par un jeudis

i. — Résolvons d'abord la question pour le calendrier Julien, ce qui est beaucoup plus simple ; et nous passerons ensuite au calendrier grégorien. On sait que dans le calendrier Julien, les dates de l'année reviennent périodiquement aux mêmes jours de la semaine, après une période de vingt-huit ans, dite cycle solaire. Supposons que, par un moyen quelconque, on ait trouvé dans ce calendrier une année répondant à la question, et soit A le millésime de cette année ; il est clair que A -h 28 n, n étant un entier quelconque positif ou négatif, répondra à la question. Il faut prouver qu'entre A et A -f- 28, il ne s'en trouve aucune de bissextile commençant par un jeudi ; or le jour de la semaine qui commence l'année avance de 5 rangs en 4 ans, ou de bx rangs en lix années, et la plus petite valeur de x qui rendra 5a; multiple de 7, est évidemment œ = 7. Ce sera donc seulement après 4-7 = 28 ans, que l'année bissextile commencera par le même jour de la semaine que la bissextile A. Donc enfm A -\- 28 n est la formule demandée ; reste à déterminer la constante A.

jNous remarquerons d'abord que les jours de la semaine se correspondent aux dates prises dans les deux calendriers, Julien et Grégorien; car Grégoire XIII, par son ordonnance de i582, fit dater vendredi 1 5 Octobre le lendemain du jeudi 4 Octobre ; l'accord des jours de la semaine a donc continué à régner dans les deux calendriers. Or, on sait que l'année Julienne est maintenant en retard de 12 jours sur la nôtre; le i*^"" janvier i85i a donc été, dans ce calendrier, le même jour que notre i3 janvier, c'est-à-diro un lundi ; partant de là, il est facile de trouver que l'année Julienne bissextile 1876 a commencé par un jeudi, donc 187G -h 28 n est la formule cherchée ; mais 187G est un multiple de 28, ce qui réduit simplement à 28 n la formule demandée.

2. — Résolvons maintenant la question pour le calendrier grégorien. Supposons encore que, par un moyen quelconque, on ait pu déterminer dans ce calendrier la date B d'une année répondant à la question.

126 RÉCHÉ AXIONS MATHÉMATIQUES

Nous appellerons aimées grégoriennes, les années séculaires qui ne sont pas bissextiles. Cela étant, il est clair que B + 28/1, n étant entier positif, sera encore une date convenable, pourvu que B H- 28/1 pour la valeur donnée à n, ne passe pas par dessus une ou plusieurs années grégoriennes ; s'il en était autrement, voyons quelle correction devrait subir la formule. Dans le calendrier Julien le jour de la semaine qui commence l'année avance, avons-nous dit, de bx rangs en 4^ années ; mais si nous passons par une année grégorienne, il n'avancera plus que de (5a; — i) rangs ; expression qui est un multiple de 7 pour x = 3, ou a: = 10. Or x = 3 donnerait ^x = 12, et ce nombre <r 28 doit être rejeté comme on verra plus loin ; reste donc seulement a; r=: 10, d'où ^x = lio. Donc quand on passera -sur une grégorienne, il faudra augmenter de 4o ans, au lieu de 28, la date qui répondait à la question, pour avoir la date immédiatement suivante qui y répond aussi ; et comme 4o = 28 + 12, il faudra donc augmenter B -f- 28 n d'autant de fois 12 qu'il y aura de grégoriennes depuis B. Avant d'établir la formule cherchons la constante B. Comme le calendrier grégorien ne date que de 1 582, nous la chercherons dans le xvn" siècle. Or on sait (voir Francœur, Uranogrophie page 111) que le T'" mars 1600 était un mercredi ; donc, comme l'année était bissextile, le i*^'" janvier iGoo était un samedi, d'où il est facile de conclure que le i'*'' janvier i6o4 était un jeudi. On peut donc prendre pour B la valeur B = i6o4, et par conséquent i6o4 -f- 28 /i ; n étant égal à 1, 2, 3, c'est-à-dire i632, 1G60, 1G88, répondent à la question ; mais ensuite 28 années, ajoutées à 1688, faisant passer sur la grégorienne 1700, il faut ajouter 4o à .1688, ce qui donne 1728 ; puis ensuite on aura 1756, 1784, puis 1784 -f- 40 = 182/1, parce qu'on passe la grégorienne 1800 ; et ainsi de suite,

Ainsi on peut former facilement le tableau suivant des années répondant à la question

i6o4 1728 i8a4 1920 3oo4 etc.

1682 1766 iSSa 1948 2o32

DU TEMPS ET DE SA MEStRE I27

Tannée 2004 = 197C -+- 28, parce que 2010 n'est pas grégorienne. Arrivé à la cinquième colonne de ce tableau, il est facile de le prolonger indéfiniment d'après la loi que nous avons indiquée, ou plus simplement, en se rappelant que dans le calendrier grégorien, après 4oo années, la date de l'année répond au môme jour de la semaine, car

365 X 4oo -I- 97 = 146097 jours = exactement 20871 semaines ;

ainsi retrouvons-nous, pour les dates de la cinquième colonne, les dates de la première augmentées chacune de 4oo ans ; de même, les dates de la sixième colonne seraient celles de la deuxième augmentées de l\oo ans, c'est-à-dire 2128, 21 50, 218/}, et ainsi de suite. Nous voyons aussi, par ce tableau, que i6o4 est la première année, depuis l'établissement du calendrier grégorien, qui réponde à la question. On voit [encore, pourquoi on doit exclure l^x = 12, car 12 ajouté à 1688, ou à 1784, ou h 1880, ou enfin h 1796, ne fait passer pardessus aucune année grégorienne. Enfin, on voit encore, par ce tableau, qu'il n'y a que 3 années par siècle, répondant à la question, excepté dans le siècle contenant la séculaire bissextile qui en renferme /i, ce qui fait i3 ans en ([uatre siècles.

Dans le calendrier Julien, elles reviennent 'périodiquement tous les 28 ans, et il y en a i4 dans le môme laps de temps.

3. — Il résulte des considérations précédentes, que la formule demandée est

11 est facile de voir que tant que n est inférieur à !;, p est nul. Faisons /i — 3 = 1 2 /;i -+- r ; nous aurons

z = I 6o4 4- 28 rt -i- 12 (3m -h R).

R dépend de r de la manière suivante :

ne dépasse pas 3 i,

dépasse 3 et ne dépasse pas 6 . , . , 2,

dépasse fi 3.

C'est ce que qu'on voit en donnant à n, successivement, les i3 valeurs de la suite 4, 5, 6, ..., i6 ; et A: étant un de ces nombres, la valeur de R revient la même pour les valeurs de ^ = A; -{- i3. Exemple. — Faisons

11 = 8, Il — 3 = 5, m = o, r = b, R = 2 ; donc

Cette formule convient tant que le calendrier grégorien n'aura pas besoin de correction.

Déterminer combien il y a de vendredis 13 dans une période de 28 ans ? Dans une période de quatre cents ans ? (^)

Voici la solution de cette question donnée par M. Brocard dans ï Intermédiaire des Mathématiciens (t. iv, 1897, p. 19).

Soient A, B, C trois jours consécutifs de la semaine. On sait que l'année grégorienne ordinaire de 365 jours commence et finit par un même jour A ; donc l'année suivante commence et finit par le jour G si elle est bissextile, ce qui arrive tous les [\ ans (à part une exception pour le millésime de certains siècles). Il en résulte que, dans le cours d'un siècle, les années de môme rang par rapport aux multiples de 4 commencent à tour de rôle par les mômes groupes de 4 jours consécutifs de la semaine et que pour épuiser le cycle, il faudra 7 fois 4 ou 28 ans. Ainsi, tous les 28 ans, dans le cours d'un môme siècle, les vendredis i3 reviendront aux mêmes dates. Le dénombrement de ces dates est l'affaire de quelques minutes, et l'on arrive ainsi, en partant de l'année i852, par exemple, à dresser le tableau suivant de 28 années, commençant respectivement par jeudi (JJ mercredi (N), et dans lesquelles les vendredis i3 surviennent au mois de février (2), août (8), mai (5), etc. L'astérique <*) indique les années bissextiles.

(1) Intermédiaire des Mathématiciens. — Question 806. Tome IV, 1897, p.p. 16-19 ^^ ^1^'