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Contribution à l'étude des hexagones inscrits

et circonscrits à une conique

Par le capitaine Reinhart

piéorèmç. 1. — Si Voï\ joint deux à deux les sommets non opposés d'un hexagone circonscrit à une conique, on obtipnj; un hp^agone inscrit dans une autre conique.

Soit un hexagone ABGDEF, circonscrit à une conique joignons les sommets non opposés le nouvel hexagone MNPQRS est inscriptible.

En effet, si nous joignons BE, FG, AD, d'après le théorème de

Brianchon, ces 3 drojtes sont concourantes. Les 2 triangles BFD, ACE, ay^nt leprs sommets sur les 3 droites concourantes, d'après la réciproque du théorème de Desargues, les points de repcontre de leurs côtés opposés sont en ligne droite.

Par suite, d'après la réciproque du théorème de Pascal, l'hexagone MNPQRS est inscriptible dans une conique.

Théorème IL — Si l'on prolonge deux à deux les côtés non opposés d'un hexagone inscrit, les 6 points obtenus forment un hexagone circonscrit.

Soit en effet un hexagone inscrit MNPQRS ; prolongeons les côtés non opposés nous obtenons l'hexagone ABGDEF.

L'hexagone MNPQRS étant inscrit dans une conique, les côtés opposés des deux j,^^jangles BFD, ACE, se coupent, d'î^près le théorème de Pascal, suivant 3 points en ligne droite, donc, d'après le théorème de Desargues les (Irpites qui joignent leurs sommets opposés FG, BE, AD concourent en un même point ; donc d'après le réciproque du théorème de Briançhoo, l'hexagone ABGDEF est circonscrit à une conique.

F bo. s:

CONTRIBUTION A l'ÉTUDE DES HEXAGONES INSCRITS, ETC. l35

Théorème III. — Si on joint les sommets non opposés d'un hexagone inscrit dans une conique l'hexagone intérieur ainsi formé est circonscrit à une autre conique.

Soit un hexagone inscrit ABCDEF, joignons les sommets non opposés, nous obtenons un hexagone MNPQRS.

Appliquons le théorème de Pascal au contour hexagonal inscrit CEBFDAG ; il en résulte que les 3 points MTQ sont en ligne droite ; par suite les 3 droites EB, AD, MQ sont concourantes (*).

Considéronsmaintenant l'hexagone DBMAEQD, d'après ce qui précède les diagonales opposées de cet hexagone EB, AD, MQ sont concourantes, donc d'après le réciproque du théorème de Brianchon l'hexagone MNPQRS qui est le môme que celui ci-dessus est circonscrit à une conique.

Théorème IV. — Si l'on prolonge deux à deux les côtés non opposés d'un hexagone circonscrit à une conique, on obtient 6 points formant un hexagone inscrit.

Soit l'hexagone circonscrit à une conique MNPQRS en prolongeant les côtés non opposés de cet hexagone nous obtenons l'hexagone ABCDEF.

Si nous considérons le contour hexagonal DBMAEQD, ce contour étant par hypothèse circonscrit à une conique, les diagonales opposées EB, AD, MQ sont concourantes donc les 3 points MTQ sont en ligne droite.

Ces trois points étant précisément les 3 points de rencontre de côtés opposés du contour hexagonal CEBFDAG, il en résulte d'après la réciproque du théorème de Pascal que les 6 points ABCDEF sont sur une même conique.

Fig. 84

(^) Les lettres M et N manquent sur la figure.