II. Résoudre le système x^ -^ y = z^t x^ — y = lu^ (id.) On

trouve

^^' I z = X» — n« 4- ilfi, w = X2 ^2 3\ii.

III. Trouver un triangle dont la seconde bissectrice soit rationnelle (Diophante).

IV. Trouver trois triangulaires en progression arithmétique (A. Boulin). Posant 2t„ =z n{n -\- i), on a :

3^n= Ip -^ tq, p = 1^ — 2ll'^ — 2fX — I,

2° Uaire d'un triangle ne peut être un carré (Fermât.) 3" Trouver un triangle ayant même hypoténuse quun triangle donné (Diophante.) La relation de Fibonacci

(6) (a2 -+- 62) («2 i p2) ^ (^a ±: b^f H- (a? zp at6)a

résout immédiatement la question.

Rem. I. La relation précédente a été généralisée de plusieurs manières :

(7) (a^ -i- kb^) (a2 -+- /,f 2) ^ ^a% ■± A-6?)2 + /f (ap qz a6)» (Euler) ^ M A = ax — /p6. B == a? + 6a + /f6p (Lagrange)

(a'~ -^b^ -i-c'^ ^ d')(oi^ -hP -hf -h^^) = {a'x -h b? ~h c^ -hd^y -+- (a? — 6a — co + dv)^ H- («Y "^ 6o — ca — d^y -4- (a8 — 6y + c? — rfa)2 (Euler)

(lo) (a* ^- 62 + c2)2 = (a2 + 6^ — c2)2 -^ (206)» + (26c)» (Euler)

(«2 H- 62 -f- ... 4- c2)2 = (û2 + 6^ -+- ... - c^y -+- {2acy 4- (26c)2 -f- ... (Catalan)

;a2 + 6« + c2) (a2 H- p2 ^ 7«) = (aa -f- 6? -+- cy)^

-f- (a? — «6)2 4- (6y ~ c^y -\- {ca — ^af (Lagrange)

II. Trouver une somme de trois carrés égale à une somme de trois carrés donnés. Solution de M. de Rocquigny. On fait /c = /^ zt m*

dans l'équation a?^ + ky^ = z^ 4- kw^ tirée de (7). Voici d'autres solutions :

4(c -h 6 — 2a)2 4- 4 (c 4- a — abf + (c — 2a — iby ^^ ^ = (3a)2 4- (36)2 + (3c)2 (E^le^)

a^ 4- (a 4- 56)2 ^ (^ ^ 7^)2 :^ (« 4 6)-^ -+- (a 4- 36)^ ^'^^ 4(a4-86)* (Proth)

(a 4- 26)2 4- (a 4- 36)^ 4- (a H- 76)^ = (« 4- 6)^ ^^ ^ -h {a -h 56)2 4. (a 4- 66)'- (Pi-oth)

(a2 62 c2 4- ci-)' ^ l^(ac — hdf 4- 4 (a6 4- cc/)^ ^^ («2 62 H- c2 - £i^)2 4- 4(aci 4- 6c)2 4- 4 («6 — cci)^ (B. af Gennâs)

III. Trouver un carré égal à la somme de trois autres. Solutions diverses :

(17) (a^ 4- 262)2 = a' -^ 4«'^' + 46^ (Diophante)

(18) (a2 4- <H- 1)' =r «2 4- (a 4- i)^ + (a^ 4- af (id.)

(ii)

(«2 4- 62 4- c2 4- «6 4- 6c 4- caf = (a 4- c)^ (a + 6)2 4- (6 4- c)2 (a 4- 6)2 4- (c2 4- ac 4- 6c — a6)2 (Catalan)