H- hcy 4- 4 (ac — 6d)2 (Ed. Luces
(«2 4 ^2 | ^9 q5 ^c ca)2 =r= (6 — c)2 (c — a)2 + (c af (c — 6)2 4- (a — 6)2 (6 — cf (J. Neuberg)
4° Trouver trois triangles dont les aires soient égales (Diophante). Il troiive les trois triangles 4o, 43, 58; 24, 70, 74; i5, 112, ii3.
Fermât annonce qu'il y a une infinité de triangles dans ce cas.
5** Déterminer un parallélipipède rectangle dont les trois diagonales superficielles soient rationnelles (Euler).
ARITHMETIQUE ET ALGEBRE
as
6^ Le plus petit triangle dont Vhypothénase est un carré ainsi que la somme de ses deux cathètes est le triangle 4565486027761 et 106 165229352 (Fermât.)
7° Trouver les triangles dont la différence dés catfièîes e&l égalé à 7 (Ozanam). Il trouve les triangles 5, 12, i3;8, i5, 17; 21,28, 35; i4o, 147, 2o3 ; 297, 3o4, 4^5; 396, 4o3, 565; 833, 84o, î i83; 4873, 4879, 6895; 284i3, 28420, 40187; 117110, 117117, 18 717; 5626320, 5626327, Il 252 647;...
8° Trouver les triangles dont les hauteurs sont des carrés (id.) Solutions 9, 4o, 4i : 25, 3i2, 3i3 ; 49. i 200, 1 201 ; 81, 3 280, 3281 : 121, 7320, 7321 ; 169, 14280, 14281 ; 225, 25 3i2, 25 3i3 ; 289, 41760, 4i76i;36i, 65 160, 65i6i;44i, 97240, 97241; 529, 139920, 139921 ; 625, 195312, i953i3;... (id.)
9° Trouver trois triangles dont les aires forment un quatrième triangle (Fermât.)
10° Trouver le plus petit nombre qui soit n fois hypoténuse et non davantage (Frénicle.) *
II® Combien de triangles ont-ils un nombre donné comme hypoténuse'^ (id.)
i3° Trouver n triangles ayant même surface (id.)
Figurations arithmétiques- — Les Anciens ont ét6 amenés à l'étude des propriétés des nombres par la considération de divers groupements d'objets, dont les suivants, qui leur ont donné ces théorèmes :
Fig. 3
L addition des nombres impairs donne les carrés (fig. 2)(*) La somme de deux triangulaires successifs est un carré (fig. 3) (2). Ils connaissaient les nombres figurés, mais leur usage dans la théorie des combinaisons et du développement de l'expression (a -H 6)" n'a été connu que beaucoup plus tard. La sommation des n premiers carrés est due à Archimède ; sa démonstration s'appuie sur la considération de droites coupées arithmétiquement (fig. 6), et sa formule parlée revient à
(*) Ed. Lucas (N. A. 1870) a étendu ce mode de sommation aux fig. 4 et 5, ce qui lui a fourni les développements de Sg et de S3. Appliquant la même méthode aux carrés et aux cubes des nomlares de la fig. ^, il est arrivé aux formules suivantes, dont la seconde avait déjà été trouvée par Jacobi,
Fig 4
Fig.
(*) On prouvera de même les propositions suivantes :
Tout carré impair est Voctuple d'un triangulaire augmenté de Vunité (Plutarque), et en même temps, la différence de deux triangulaires (Marchand).
Tout nombre de la forme n^ dr n -|- i est la somme de deux triangulaires (de Rocquigny). En général tout nombre de la forme a^ + aô -f 6^ est en même temps de la forme /a + 3(/2 (Euler).
Tait a remarqué que tout cube est la différence de deux triangulaires consécutifs.
ARITHMETIQUE ET ALGEBRE
C'est vers la fin du premier siècle, qu'on voit pour la première fois les formules i -{- 3 -i- 5 +...+ (2/1 -h i) = n' et S, = {^,y {%
Fig. 6
que firent connaître Nicomaque et Epaphroditus. Cette dernière se
Ar- 1 \ 1 \ — nD
CD
tO
en
Fig. 7
(») On peut obtenir une puissance quelconque par la sommation de certains impairs consécutifs (des Ourmes, Encycl. méth.) Les cxem])les suivants de M. Mansion, tiennent lieu de démonstration :
35 + 37 + 29 = 3.37 = 3S 61 + 63 4- 65 + 67 = 4.64 = 4*. Récréations roathématiquei, III. jo
l46 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
trouve démontrée dans le Fakri d'Al-Karki, et revient à faire voir que dans la fig. 7, qui n'est autre qu'une table de multiplication, le gnomon des 6, ADREFB, par exemple, est égal à 6^.
A cette démonstration géométrique, Ibn Almadjdi a substitué la démonstration analytique que voici : considérons les quatre premiers cubes I, 8, 27, 64 et les quatre premiers triangulaires i, 3, 6, 10; le quatrième carré 16 est égal à la somme 6 -t- 10 ou à 2.6 + 4- Le quatrième cube 4^ est donc égal à 4(2.6+4)= 2.4.64-4^; donc ce même cube, augmenté du carré du troisième triangulaire, donne une somme égale à 6^ + 2.4.6 + 4^ = (6 + 4)^ = 10*. De même 33 + 3^ = 6^ 2^ -j- V' = 3^ i3 -|- o« = i^, et par suite
Le triangle arithmétique et ses usages ont été connus des Orientaux. Ils le mettaient, comme plus tard Tartaglia et A. Girard, sous la forme
(^) Plus simplement. Appelant U le n" triangulaire, on a (fig. 3)
f„ + tn-i = rt^ fn — tn-i = n d'où t\ — tK-i = n». Les tableaux suivants de Wheatstone et de M. de Rocquigny,
7 + 9 + II i3 + i5 + 17 + 19 + 21 + 23 = 4.33 i3 + i5 + 17 + 19
donnent également d'autres solutions faciles à restituer.
ARITHMÉTIQUE ER ALGEBRE
On le voit imprimé pour la première fois dans YArilh. int. de Stifel (Nûrnberg, i5A4) qui l'écrit ainsi
lO
Briggs {Trig. bnt. Goude, i633) l'appelle ABACUS DAFXPilSTOS et lui donne la forme ci-dessous :
.. 21 i5 lo 6 3 .. 56 35 20 lo 4
Pascal l'a mis sous une forme générale, qui peut être présentée
ainsi :
avec cette loi, que cliaque terme est égal à la somme de celai qui est à sa gauche et de celui qui est au-dessus. Il a démontré tout ce qu'on savait jusque-là des nombres figurés, des combinaisons et du développement du binôme.
Si, dans ce triangle, on fait b = c = d = ... = — i et f z=z k = n = ... = I, on obtiendra le triangle de Delannoy^ donnant les coefficients du dévelop|5ement de (i — x) (i -|- x)», (Ed. Lucas, Th. des n.)
lis RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Le triangle arithmétique peut être continué en remontant, et on a ainsi les coefficients de (i — x)-^ (Laisant, A. F. 1891).
La somme des carrés des termes d'une hypoténuse est égale à la somme des termes, compris dans le carré inscrit dont un sommet s^ appuie au milieu de V hypoténuse (Desboves, Quest. d'Alg.)
Gauchy {Rés. anal., Turin, i833) l'écrit ainsi :
ixy
3xj2
4xj3
^xy
Zx^y
6rr2j2
' lOX^J^
kx'^y
jQ^3^,2
rr*
5aî*j
sommant par lignes, on a
et sommant suivant les hypoténuses,
i ^{x^y)-\-{x-^yf -\-{x-\- yY + ...
Si on égale, dans ces deux résultats, les coefficients de j, de j^, dej^,... on trouvera les développements de (i — a?) "^ (i — a*)"-,...
Ecrivant le triangle arithmétique comme Leibniz et Jacques Bernoulli,
les sommes des termes situés sur des parallèles à la bissectrice de
ARITHMETIQUE ET ALGEBRE
l'angle droit sont les termes de la série bien connue de Fibonacci, I, I, 2, 3, 5, 8, i3, 21,... (Ed. Lucas).
Leibniz s'est occupé à diverses reprises du triangle harmonique, formé des inverses des nombres figurés
ïô
A des facteurs constants près, chaque terme est la différence de son voisin de gauche et de celui qui est au-dessus : de là, la sommation des inverses des nombres figurés.
Tétraèdre arithmétique de M. Laisant(S. M. t. XIX et A. F. 1891). Multiplions respectivement par
les termes des triangles arithmétiques successifs i ; 1, i ; 1, 2, i ; 1,3, 3, I ; on aura, par ordre, les coefficients du développement de (a -+- 6 + c)". De même, attribuons, aux boulets d'une pile triangulaire, des valeurs qui soient, par tranches, celles qu'indiquent les figures ci-dessous :
