II II

3 3 I etc.

RECREA.TIONS MATHEMATIQUES

Chaque terme est égal à la somme de ceux qui sont au-dessus de lui et le touchent. La somme de ces nombres est égale à 3". Opérant comme sur le triangle arithmétique, on obtiendra les coefficients du développement de (a + 6 -t- c -h dyK Les mêmes nombres, disposés suivant un trièdre tri-rectangle, obéissent à la loi suivante :

Les sections du trièdre arithmétique, perpendiculairement à sa pseudo-bissectrice, sont :

10 3o 3o lo

5 lo lo 5 I

et perpendiculairement à une face,

I I I I 1 II 2 345 I 36ioi 4ioi 5i

I 3 6 10 3 12 3o 6 3o lo

Dans son traité De seriebus infinitis (Bâle 1689), Jacques BernouUi est arrivé à sommer diverses séries par une méthode analogue

(*) On arrive immédiatement à cette conclusion en cherchant le nombre de parcours du sommet à une intersection quelconque d'un quadrillage tétraédral, comme on le fera plus loin, pour un quadrillage plan

En général, on a : iip,q,r,„... = Up-i,q,r,,,... + ... pour les coefficients de(a + 6 + .,.)"•

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE

à celle de Leibniz. Soit — i < 3^ < i, et sommant par lignes puis par colonnes la série double

-nr» 1 /v»2 I /Y»J I

il vient

De même, de la suivante

i -\- X -\- x^ -h ac" +

on déduit

(i-xy

(2) I -h Sx -H 6^2 + lox' H- ...=