I -h 2X -h Sx^ -h 2X^ -h X
I + 3x + Qx^ H- 7a?3 -H 6x^ -h 3x^ H- x^ I -h 4a; -h loa?^ -+- ii)x^ -+- 19^^ -+- i6a:^ + loa:^ -f- Ax' -h a;*
des développements des diverses puissances de (i H- a? -f- x^y, et se propose de déterminer l'expression du coefficient moyen. Or il est évidemment celui de x", et en mettant le développement sous la forme
, cc"(i -h x)" -h G;,,ia:«-^(ï -h x)''-^ -+- ... on trouve cette formule
I + Gn.jC„i,, H- G„,2C„2,2 + ...
qui, pour n ^= i, 2, 3, Zj, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, i3,... donne les valeurs i. i, 3, 7, 19, 5i, 241, 393, i IQ7, 3 i39, 8963, 25653,
Ed. Lucas, qui a retrouvé cette formule, remarque que chaque coefficient est égal à la somme de celui qui se trouve au-dessus et de ceux qui sont à droite et à gauche de celui-ci (Th. des n.)
On pourra s'exercer sur les tableaux suivants de M. de Rocquigny et de Césaro (M. i883)
5, 6, 7, 8, 9, 9, II, i3, i5, 17, II, i3, i5, 17, 19, 21, 23, 26,
ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE l53
et sur le suivant, qui paraît inédit,
I, 5, i4, 29, 49, 71, 90, lor, loi, 90, 71, A9, 29, il\, 5, 1 ;
les termes étant formés, de rangée en rangée, au moyen de la relation
^n^Uk == «n.ft ■+■ «n.^-i -^ ^n,h-i ~^ ••• + ««,A-n-i
et donnant les coefficients des développements successifs du produit
(i -{- a?) (l + 03 -h CC^) (l + 0? + ^2 ^ x"^)...
Les nombres figurés du quatrième ordre peuvent se représenter par le nombre maximum des points d'intersection des droites joignant n points d'un plan, car ce nombre est égal à SC^.^ (Steiner). De plus, les intersections comprises dans l'intérieur du polygone convexe formé par ces n points sont au nombre de G„,^ (Lionnet).
Des considérations géométriques très simples donnent souvent naissance à des questions très difficiles : on peut s'en assurer en cherchant, par exemple, combien on peut construire de tétraèdres différents avec six droites égales ou avec six triangles équilatéraux égaux (Ferriot) ; combien de cubes, avec douze droites égales ou six carrés égaux (Mac Mahon) ; de combien de manières un polygone peut être décomposé en triangles (Euler).
Dans les N. A. de 18G6, Dupain trouve qu'il y a Gj,,,,! parcours du sommet d'un carré au sommet opposé, ce carré étant partagé en TÎ^ cases et les parcours se faisant suivant les lignes de la figure et toujours de droite à gauche ou de bas en haut.
Ed. Lucas a étendu cette théorie à un quadrillage rectangulaire
quelconque, ce qui permet de représenter géométriquement G,„,„ en général ; il examine également les parcours d'un pentagone avec ses diagonales, d'un octaèdre, de l'ensemble des méridiens d'une sphère, d'un chemin de fer de ceinture à n voies se réunissant en p stations, etc. Il résout graphiquement un grand nombre de problèmes de combinaisons, en les représentant comme la fig. 8, qui figure la permutation badec ; par exemple trouver le nombre de permutations symétriques par rapport au centre, ou par rapport à une diagonale^ ou qui coïncident quand on fait tourner le carré de 90° autour de son centre.
M. Laisant (A. F. iSgS) a donné plusieurs figurations intéressantes, dont celle des permutations. Il les représente par le nombre de trajets qui mènent du point Aq aux points A^, Ag, A3,... ; les ^'o- ^ points Aq, A^ étant joints par une ligne,
les points A^, A2 par deux lignes, les points Ag, A3, par trois; etc.
Histoire des notations algébriques. — Bien que les notations ne constituent pas l'Algèbre, leur perfectionnement était tellement indispensable au progrès de l'analyse qu'il a marché avec ceux-ci à peu près parallèlement. A mesure qu'augmentait la difficulté des recherches, on éprouvait en effet le besoin de simplifier le langage et l'écriture, en remplaçant les longues périphrases qui revenaient fréquemment, par des abréviations conventionnelles. Les signes algébriques sont de deux sortes : les uns représentent les quantités sur lesquelles on raisonne, les autres indiquent les opérations qu'elles ont à subir.
Les problèmes que contient le manuel d'Aahmes, reproduit dans le célèbre papyrus Rhind (voir Eisenlohr, Ein math. Handb. der ait. Agypt., Leipzig, 1877; Cantor, Gesch. der Math. Leipzig, 1894; et un article de L. Rodet du Journal asiatique, année 1882), sont-ils ou ne sont-ils pas résolus algébriquement ? Toujours est-il que ce
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE l55
travail témoigne d'une science déjà ancienne et très avancée, ainsi que l'instinct de la nécessité de créer une langue et une écriture algébriques. Ainsi l'un de ces problèmes, qu'on énoncerait aujourd'hui
en demandant de résoudre l'équation — \- j -\- x =^ o, se représente comme l'indique la fig. ci-desspus (') :
et se traduit ainsi : un tas (d'objets) : sa moitié, son quart et luimême font lo. L'inconnue (tas) se note .> ii^v; ^ 21^' aussi en hiéroglyphes. Les quantités ad- //y^^^ ^ ^
ditives sont simplement juxtaposées ; les Fig. 9
M »»j -*^ quantités négatives, désignées par trois flèches ; l'éga- ^ ^ « » » lité par un signe ressemblant à notre «< (ensemble) ; '^' ^^ on trouve aussi, pour + et — , les hiéroglyphes de la figure 1 1 , qui signiûent venant et partant, j j\ ^
Les Grecs ont créé virtuellement sinon l'algèbre, Fig. n du moins l'art des transformations algébriques. Il leur a manqué, pour compléter leur découverte, et en faire une science spéciale, d'avoir des signes numériques indépendant de leur alphabet. Cependant Aristote emploie des lettres pour désigner les quantités indéterminées ; mais le plus souvent ils raisonnent sur des quantités figurées par des droites, et tous les calculs sont exposés en langage vulgaire, ce qui
(*) Rappelons ici les notations numériques égyptiennes :
Chiffres hiéroglyphiques Chiffres hiératiqu2s
Chiffres hiéroglyphiques
Chiffres hiératiques
Fig. la Les fractions ~ » 7» a» 3 on' t'es signes spéciaux. Les autres s'indiquent par un point ou un ovale. On voit bien plus tard, Héron noter d'une manière particulière les fractions 3» â' 8' 8 ®^ 8*
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l56 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
en rend la lecture extrêmement pénible (*) et a permis de supposer qu'ils avaient trouvé leurs théorèmes par une analyse que chacun s'était créée et qu'ils les avaient ensuite exposés dans la forme sévère que nous leur connaissons.
Diophante, qui écrivit le premier spécialement sur l'algèbre, fut ainsi amené à lui donner ses premières notations. Il appelle généralement l'inconnue àpSiioç ; il la désigne, ainsi que ses puissances successives, par les abréviations ç, 8^, x'^, 88'^, 8x^, x/.""*, des mots àpiô|jio (;(*), 8uva[Jiiç(3), X'jSo;, 8uva[Jio8uvafJitç, 8uva(Ji6xo6o(;, xuSoxuêoç; l'unité s'indique [i^ ([jiovac) ; les coefficients se placent à droite de l'inconnue ; les termes additifs sont juxtaposés, les termes négatifs précédés de la sigle du mot XsTtj^K;; le signe de Tégalité est le mot t<Tot ou son initiale.
Les Indiens, — à la différence des Grecs, pour qui l'Algèbre n'était guère qu'une auxiliaire de la Géométrie, — s'adonnèrent spécialement à la première de ces sciences. Aryabhatta (vers Z|Oo), et Brahmegupta (vers 63o), donnent des formules parlées, assez compliquées et assez générales pour qu'on puisse croire qu'ils possédaient des notations utilisées seulement dans leurs recherches. Quoi qu'il en soit, Baksali (vers 800) indique l'inconnue par un point et, — dans les calculs numériques, — l'égalité, l'addition, la soustraction et la division par les initiales des mots correspon-
(•) Dans leur admiration pour les Anciens, Newton et Huygens ont écrit leurs principaux ouvrages dans la forme adoptée par eux. Euler a dit n'avoir compris certains passages des Philos, nat. princ. qu'après les avoir traduits en langage algébrique.
(^) Ou peut-être de (jtopô^.
(3) Nom du carré en algèbre. C'est de là qu'est venue l'expression puissance.
On sait que pour économiser la place et le travail, les copistes de manuscrits mettaient beaucoup d'abréviations indiquées le plus souvent par des traits placés au-dessus.
Les manuscrits présentent d'ailleurs de nombreuses variantes, du fait des copistes.
ARITHMETIQUE ET ALGEBRE
dants placés à la suite des nombres sur lesquels il opère, et qui sont seulement mis ensemble dans un même rectangle ; pour la multiplication, il n'y a aucun signe, comme nous faisons aujourd'hui. — Baskara (vers 11 5o) a fait connaître une notation algébrique assez étudiée, dont il ne parait pas l'inventeur : il écrit les deux membres d'une équation l'un au-dessous de l'autre, en mettant zéro pour coefficients des termes manquants ; les coefficients sont à droite et surmontés d'un point s'ils sont négatifs. L'inconnue, son carré, son cube, son bicarré,..., un produit, un radical, sont
Fîg. ,3
Fiff. i5
Fig. i4
désignés par les . sigles des mots correspondants, nombre, nombre-carré, nombre-cube, nombre-carré-carré, produit, indicible. S'il y a d'autres inconnues, elles se représentent par les syllabes , initiales des mots kâlaka (noir), \ nîlaka (bleu), pîtaka (jaune), lôhitaka (rouge), svêtaka (blanc). Il sépare, par des barres verticales, les quatre termes d'une proportion. A cette même époque, Ibn-Esra représente ainsi la proportion 7 ; x = 19 : i3. il ne paraît pas l'inventeur de cette notation : on voit du reste qu'il représente l'inconnue par une sorte de zéro (galgal, roue) (*).
Les Arabes cultivèrent l'algèbre avec grand succès. Ils appelaient, d'après Al-Karizmi (vers 83o), l'inconnue, la chose (cherchée) ou la racine (à extraire de l'énoncé, où elle est pour ainsi dire enfouie) ; son carré s'appelle puissance comme chez les Grecs. Bien qu'il y ait lieu de croire qu'ils employaient une certaine notation algébrique, on admet qu'elle n'a paru d'abord que dans les écrits d'Ibn Al- Banna (vers 1220) et qu'elle est telle que la donne Al-Kalçadi (vers 1480) : les proportions s'indiquent en séparant par trois points
Fi- iG
(») Les traités de VAbaciis, du x« siècle, désignaient également le petit cercle représentant le zéro par les mois rota ou rotula.
chaque terme de son voisin ; l'inconnue, son carré et son cube, l'égalité, une racine, par les initiales des mots correspondants
Fig. 17
Fibonacci introduisit en Italie l'algèbre des Arabes en 1202, avec son célèbre Liber Abaci. Il appelle comme eux une constante numerus, l'inconnue res ou radix, et son carré census. Il met et ou additus et demptas ou minus pour H- et — . Il traite des proportions, en désignant les quantités, soit comme Euclide, par des droites, soit quelquefois par des lettres a, b, g, rf,... ; il représente môme la somme de a et de 6 par ab.
Il est remarquable qu'à la même époque, Jordanus employait leâ mêmes notations dans les démonstrations des théories arithmétiques et les solutions des problèmes algébriques, [Algorilhmus et De numeris datis) ; ces notations servaient d'ailleurs uniquement à abréger le langage, et l'idée n'était pas encore venue d'en faire l'objet d'opérations semblables à celles qu'on effectuait sur les nombres ; autrement dit, la notion de formule, qui paraît si simple aujourd'hui, ne s'était pas encore fait jour.
Il va être, une dernière fois, question des Orientaux. Il a paru, chez les Chinois, aux environs de i 3oo, deux traités d'algèbre, où on voit de véritables équations écrites, en mettant les coefficients les uns au-dessous des autres, les positifs en rouge et les négatifs en noir. On trouve aussi des expressions algébriques figurées par leurs coefficients rayonnant autour du terme connu. Ces travaux ayant été sans influence sur le perfectionnement de la science, il n'est guère utile d'en parler davantage.
Un grand progrès est dû à Oresme (vers i35o), qui inventa les puissances fractionnaires et une notation générale des puissances. Il
écrit -, ôi'" pour a una média, una tertia,... » ; 2'**, S'^,... pour
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE 1^9
la « proportio dupla, tripla (*),... » ; i-^-, 1-^3^ 1-^3 ♦ 2.^^,... pour la (( proportio sesquialtera, sesquitertia, superpartiens duas
tertias,... » Les expressions ^74*, v/ 9 — » v ^ / '*** ^® i^otent chez lui T 4-'% - 9-^ — » 0 6.^^ ,... {Algorismus proporiionum.) Cet
opuscule, imprimé en 1868 seulement, fut cependant assez connu et eut une influence considérable sur la théorie des puissances, jusque-là très obscure.
Dans un manuscrit allemand, retrouvé récemment et paraissant dater de i46o, on voit l'inconnue et ses puissances o, i, 2, 3, /i> appellées zall (nombre), dingk (chose), zensi, chubi, wiirzell von ivurzell (racine de racine) et s'indiquer par les initiales gothiques
Fig. 18
l'addition, la soustraction se notent encore par les mots vimd, (et), minner (moins) et mal (fois).
Nicolas Chuquet, dans son Triparty écrit en i484, rnais publié seulement en 1880, emploie pour /) /us, moins et racine, les abréviations p, m, i^, qui paraissent dues aux Italiens. Ainsi il écrit i\^. 7. m. K,^ 5, pour y 7 — )/5. Il a imaginé l'exposant zéro et la
puissance négative; il les note ainsi ; 7^^, 7*". 12^ est mis pour I2t'. Les symboles -}- et — apparaissent, imprimés pour la première fois, dans le Compendium arithmeticœ mercaloruni, d'Eger (Leipzig, 1A89), qui les donne comme déjà connus. On pense qu'ils ne sont autres que des contractions ou des abréviations des mots et ou plus et minus, ou encore des signes commerciaux indiquant des excédants ou des déficits de poids.
(M On sait que les Anciens appelaient propor^/on double, sesquialthrc,... les produits de rapports tels que r ?, r \/i>'«^
ï6o RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Le premier traité imprimé sur l'algèbre se voit dans la Summa Arithmetica, de Pacioli (Venise, i494). H emploie les dénominations et les symboles suivants : cosa ou res, co. ou i,; censOy ce. ; cuboj eu. ; censo censo, ce. ce. ; censo de cubo, ce. eu. ; i^ ou i^a, i^3 ou 1^ eu. ; i^ ^ ou ^4, pour les racines carrée, cubique et bicarrée ; piu ou p, meno ou m, pour plus et moins. La racine d'un polynôme s'indique par les lettres RV (radix vniversalis).
Dans l'ouvrage de Rudolf, die Coss (Leipzig. i525), on voit les signes /, y/y/, \/^^ désigner les racines : ils provenaient d'une déformation de l'initiale du mot radix. Il emploie les signes représentés ci-dessous, en les combinant, de manière à représenter les neuf premières puissances de l'inconnue.
é s^ ^é m cre
Recorde [Grounde ofaries, Londres, i54o), indique l'égalité par le signe z.} et dans The Wehtstone of witte (id. 1657), ^^ donne le signe actuel =, qu'il trouve symboliser au mieux une égalité. On a avancé que ce dernier signe était usité avant lui et résultait d'une contraction du mot est. Adopté aussitôt par les Anglais, il ne le fut sur le continent, qu'après les écrits de Leibniz.
Stifel, dans sa célèbre Ariihmetica universalis (Nûrnberg, i544), a vulgarisé les signes -j- et — et ceux de la fig. 18, qu'il a complétés comme Rudolf, pour les puissances supérieures à la quatrième :
Il représente les racines arithmétiques par les notations de Ru- ^ i 1/ ^^^^ ®^ P^'' ^^^ symboles ci-contre. Fig. 20 C'est Stifel qui a eu le premier l'idée de mettre
tous les termes d'une équation dans un membre et zéro dans l'autre, idée dont d'ailleurs il n'a pas compris la portée.
Tartaglia et Cardan utilisèrent peu les nouvelles notations : ainsi le second écrit : « cubus et 6 positiones œquatur 20 » et « Rv : eu.
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE l6l
R io8 p : 10 m : Rv : eu. R io8 m : lo » ce que nous écririons aujourd'hui
a;3 -f- 6a; = 20 et \/\/^^ -h 10 — \/^ïô8 — 10
Cependant Tartaglia emploie * pour plus, ainsi que ^ ; et Cardan, les abréviations p, m, L, pour plus, minas et radlx ligaiay racine d*un polynôme comme 2 H- v^3. Les inconnues s'appelaient posita, dignita^ quanlila, poslposila^ secunda poslia^ etc., leur carré, potenzQt etc. Nonius a imité Cardan dans ses notations.
Xylander a employé en 1676, dans son édition de Diophante, le signe II pour indiquer une égalité, d'après un manuscrit où ce signe était mis pour uoi. Il a été imité par Clerselier {Lettres de Descartes) et Sluze (Mesolabum).
Bombelli (VAlgebra, Bologne, 1579), a imaginé un ensemble de notations assez complètes et assez expressives. I^'inconnue, qu'il appelle tanto ou quantitOt son carré, son cube, son bicarré, se représentent ainsi : i, 3, 3, 4 ; à la place des signes y/, y, {/, y/» +» — » ^ — i, il met les suivants R. q., R. c, RRq., Rq. c, p., m., p. di m. ; il met, entre les deux signes L, j('), les quantités auxquelles s'applique une mcme opération. Ainsi, pour indiquer l'expression X* -h a;^ H- 9 = 8a;', il écrit « agguaglisi i 4 p- i 2 p. 9 à 8. 3. » L'expression
s'écrit chez lui « R. c. LR. q. 435a p. 16 jm. R. c. LR. q. 4352. m. i6j », au courant de la ligne.
Quelle que soit la valeur de ces abréviations, on comprendra le grand pas qui restait à faire, quand on essaiera de se rendre compte de l'expression « R. q. L di R. q. L R. c. L 4608. p. R. q. 445 644
(•) Radice quadraia (ou cubica) legata,
Uécréations ua thématiques, III. XI
t62 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
68. p. 2 J p. R. c. L R. q. 68. m. 2 jj », écrite à môme le texte.
Stévin (Aritli. Leyde, i585), au lieu du signe souscrit de Bom-
belli, met dans un petit cercle (*) les chiffres o, i, 2, 3,..., - , pour
désigner l'unité, l'inconnue et ses potences (puissances) carrée, cubique,..., sesquialtère. On voit qu'il réinvente les puissances fractionnaires, idée qui n'eut du reste aucune suite immédiate. Il met M et D pour multiplier par et diviser par. Il il^diq^€! d'auj;res ificonnues par les annotations sec, ter, etc.
Viète adopte les signes +, — et y^ ; il met = pour la différence de (2) ; les quantités en facteur commun sonf sijirrjipiitées du yin^ulum, barre horizontale que Ghuquet mettait au-dessous et encore souvent employée aujourd'hui. A l'exemple des premiers algébristes, il écrit le mot in entre deux quantités à multiplier (^j. Mais il a surtout bien mérité de la science, en indiquant par des symboles, non seulement les inconnues, mais encore les donnéçs ; il désigne (In Artem Analyticam isagoge. Tours, iSgi), les premières par les voyelles A, E, 0, U, Y, et les connues par les consonnes I^, G, D... Le carré, le cube,... de l'inconnue s'indiquent chez lui A quad. ou Aq., Ac, Aqq., Aqc.,... Plus tard, il a aussi écrit N (nmnerus), Q (quadratiis)(^), G (cubas), QQ, QG,... Voici par exemple une équation traitée par lui : u B solido in A — G piano in A quad. — X quad. quad. œquetur Z plano-plano. » On sait que c'est à Agiote qu'on doit l'algcbre littérale : Jordanus, Maurolicus et Nonius ef-
(*) Côtes a employé celte notation pour désigner les différences premières, secondes. Van Romen et Briggs l'ont employée dans le sens de Stévin.
(2) Viète a été imité en cela par Albert Girard et Schooten.
(3) Ductas in dans Jordanus, Oresme, Campanus, Regiomontanus, ctc ; multiplicalo nella, dans Tartaglia ; multiplicados por, dans Nonius.
(^) Viète désapprouve les nouvelles dénominations introduites par les Arabes, et dit Analyse, numems ou latus et quadratns, pour «igèbre, res et census.
ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE l63
fectuaîent des calculs sur des lettres, mais les résultats successifs étaient à mesure affectés de nouveaux symboles, ce qui fait que le résultat définitif ne présentait plus auci^ne trace des (|pnnées.
Dans son Harmonice mundi (Linz, 1619), îCepler expose, au sujet de l'étude des polygones réguliers, des équations, où 'jx"'y par exemple, est figuré par la notation 7"^. Bûrgi employait déjà cette dernière : seulement l'indice de la puissance était placé au-dessus du coefficient.
Albert Girard (Inv. nouv. en alg. Amsterdam, 1629), écrit ff, S pour > et <; 2, (i), (2),... i (3) esgale à — 6(1) -h 20,
- )49, pour v/, y, y, v/49^ ; B(Bp + Cq') pour B(B^ + SC');y{2 4-/7) pour V 2 H- y^j ; AB pour A X B. On n'a gardé de toutes ces notations, que les parenthèses,
Harriot, dans son ouvrage posthume, Arte analylica praxis (Londres, i63i), remplace les grandes lettres de Viète par des lettres minuscules, et indique ainsi l'inconnue et ses puissances a, aa, aaa,... On lui doit les signes ]> et <<.
La même année, Oughtred publia, à Oxford, sa Clavis Maihematica, où il perfectionnait grandement le système des notations employées jusque-là. 11 écrit 8.J2 y, 18.27 pour ut 8 ad 12, sii 18 ad 27 ; il indique une progression géométrique en la faisant précéder du signe -^ , il jmagme les signes X , ± et qz ; il représente les troisième, quatrièrfie,... puissances par les nombres 3, 4,-.. placés dans un carré. C'est à lui qu'on doit l'idée de représenter par la lettre t^ le rapport de la circonférence au diamètre. 11 donne un certain nombre d'autres signes dont certains pourraient ôtre utilisés (').
(*) Il écrit oj56, pour o,56. Viète soulignait simplement la partie décimale. Bûrgi indiquait le chiffre des unités par un zéro placé au-dessus. C'est Neper qui a imaginé de séparer par un point» le» décimales des unités.
Hérigone (Cuî^sus mathematicast Paris, i634), met 2/2, 3/2, 3/3, pour =,;>,<<; a2, a3,... pour a^, a',... ; <^, j, — et =, pour angle, perpendiculaire, droite et parallèle.
Descartes, en même temps qu'il rénovait l'algèbre, en lui don-
œquale - simile smr majus c~ proxime majus cm mihus .^jproxime minus -JD non mâjus ^œquale vel minus fc non minus Ja œquale vel majua =3 proportio .T
major ratio -^ mînor ratio iA continue proportion aies H* commensurabilia Ti.
încommensurabilia "a.
commensurabilia potentia Tj.
incommensurabMia potentia 'xa.
ration aie RvelK irrationaîe \^
médium sive mediaie m"^
major ejus portio C '
minor ejus portio Z
Zest A+E 3 est a*e
XestA-E Testa-e
Z,estAq+Eq âestaq + eq
iOestAq-Eq ]2es*aq-eq
/EestAErectang. asestaerect.
Qreotangulum a quadratum
Atriang. ^ latus,sive radi»
m média proportionalis
c/aest differentia duarum magnitu;]inum
Bt-oCsignificat vel B C,veI C-B
/^signiflcat superf^ciem curvam Fig. 21 nant son vrai caractère, la dotait de notations à peu près définitives. Dans sa Géométrie (Leyde, 1637), il représente les inconnues par les dernières lettres de l'alphabet, z, j, x,..., et les données, par les premières a, 6, c,... ; les puissances sont indiquées par des exposants, X, xx{^)j x^, a;*,... ; les racines, par les signes \/, /c. Les termes manquants, dans une équation, sont signalés par une astérisque. Le signe de l'égalité est ])o, abrégé de œqiiare{^). Il écrit ses
(1) On a écrit, jusqu'au commencement du xix« siècle, xx au lieu de x^, probablement pour ce motif que x^ nécessite autant de caractères typographiques que XX. C'est l'avis de Gauss, qui du reste écrivait même a'"'" au lieu de a^*.
(2) Schooten, Hudde, Huygens, Rolle, Jacques BernouUi, Ozanam ont employé le même signe, Dans ses deux positions renversées, il était mis pour =b et =F.
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE l65
équations sur une ligne spéciale, usage qui n'a été établi que bien plus tard. Il indique plusieurs quantités en facteur commun en les mettant les unes au-dessus des autres et les séparant de leur facteur par une accolade ; la multiplication de deux quantités littérales s'indique en les juxtaposant.
Fermât utilisa peu les symboles algébriques. Il écrit, par exemple, (( lat. cub. (2 in A qu. — A cub.) — L. cub. (Ac + Bq. in A) œquari D », pour J^aA^ — A» — J/p"^""B*Â = D.
Wallis (Arithmeiica injinilorum , Oxford, i655), donne le signe 00 , Dans son De mota (1669), il emploie omn pour S, ou si l'on veut, pour /. Dans le troisième volume de ses œuvres (1693), est publiée pour la première fois, la formule de Newton, pour le développement du binôme, laquelle est exprimée ainsi :
rq:pQ^=pH+^AQ+:^BQ+™-^"CQ+'^-^'DQ+etcC)
les lettres A, B, G, D,... désignent les coefficients précédant immédiatement. C'est là qu'on voit également les notations de Newton pour les fluxions ou différentielles : il employait ou les signes 0, o^,... ou bien il surmontait d'un, de deux,... points, les quantités différenciées.
A signaler ici, la notation a" pour a!^ de Gavalieri {Exercitationes Geometricx, Bologne 1647).
Leibniz s'est beaucoup occupé du symbolisme algébrique, à l'aide duquel il voulait créer une algèbre indépendante de toute idée de grandeur. Dès 1666, (De complexionibus) , il propose, en outre de -H ct —, les signes ^n, v^, t: et c/(2), pour marquer la multiplication,
(') Mercator (Logarithmotechnia, Londres, 1668) termine sa série par l'annotation m infinitum, qu'on voit déjà chez les Anciens, par exemple chez Théon de Smyrne, qui écrit piè/p'-C ctTzdpo'j,
(*) Il y a lieu do remarquer que Leibniz écrit d, en caractère droit, comme sin, cos, et non en italique, comme on fait aujourd'hui. Il distingue ainsi avec raison les symboles d'opération de ceux des quantités.
l66 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
la division, riégalité, la différenciation; \J]{ab, -+■ cd); a ; b^ : c;
a -\- b, c -h d ; a, b -h~c, ef -^ g ; /a + ^6 (c -f- d)) ; -:^, ^r-, cv:),
f::f; pour (ab M- ccf)^ -|^, (a + 5) (c + d), a[(6 -h c) -H e(/+^)]i
^, <;, semblable, semblable et égal. Il fit connaître en 1686, le signe f, qu'il avait trouvé en 1675. Il représente un multiple d'un entier en le surmontant d'un point et désignait les équations successives par des signes astronomiques (^). Il avait imaginé, en 1693, les indices et les déterminants sous leur forme actuelle, mais l'écrit où il consignait ces notations est resté longtemps inédit (2).
Newton, dans ses Prlncipia (Londres, 1687), a mis la, 2a, 3a,... et dans sa Melhodus differentialis (id., 171 1), «1, «2, a3,... en place de ce que nous écririons aujourd'hui a,, a^, a^,... C'est lui qui a généralisé tout à fait la notion des puissances, en l'étendant aux exposants irrationnels, par exemple a/2(3).
Les points remplaçant les mentions « usque ad » ou autres analogues datent de Jacques Bernoulli, ainsi que les points multiplica-
tifs. En i6q2, il écrit — ^-^-— * l'inverse d'un nombre fi-
guré, et en 1702, Leibniz indique également par des points, la fin d'un polynôme, a + Pa? + -^x^ H- ...
(1) Jacques Bernoulli, en 1701, les désigne par des numéros en chiffres romains ou arabes.
(2) Il représente aussi la division par une barre horizontale ou deux points, comme aujourd'hui. Cependant de même que les Bernoulli, il remplace le vinculura et la barre de division, en multipliant les parenthèses, ce qui rend la lecture de leurs œuvres assez pénible.
A noter aussi que Jean Bernoulli désirait remplacer le signe /*, initiale du mot somme, par le signe l, initiale du mol inU'grale : par un compromis entre ces deux grands savants, le mot de l'un a été adopté ainsi que le signe de l'autre,
(3) Il indique l'intégrale de ax dx, ainsi |ax'. Taylor, outre les points de New^ton pour les différentielles, emploie les accents pour désigner les intégrales dés diveirs ordres.
Ainsi, à l'origine du xviii* siècle, l'écriture algébrique était arrivée à son entier dé/eloppement, et elle n'a guère été modifiée depuis. Pourtant, par suite des théories nou\elles, surtout la théorie des nombres et celle des fonctions, elle s'est accrue de nouveaux signes, dont il suffira de rappeler les plus élémentaires.
Jean Bernoulli a imaginé les notations X, ^ (1698) et ox, (17 18) pour désigner une fonction indéterminée de ce, et le symbole A des différences (1706), complété en 1750, par Euler, qui donna A^ A^,... Ce dernier a également doté la théorie des nombres des signes ]T, qui marque ime impossibilité ; fn, qui indique la somme des diviseurs de
l'entier n\ ( » j, pour la désignation du nombre combinatoire 0^,5.
Bougtier a donné le signe <, en 1784. et Vandermonde, en 1772, la notation [p] pour indiquer la factorielle p{p — i) (p — 2) ... [p — n -h i) et la suivante -v, pour le déterminant de quatre éléments.
La^rànge, cri 1770, indiquait par Bw la partie entière du nombre non entier t«i(^). En 1797, il a donné les symboles yîr, y (x, y),f'x, fitfiljyy'yii.. et plusieurs autres, qui n'ont pas été conservés. On lui doit atiS^i l'idée dé la notation dès indices.
Legendre, en 1798, a représenté par le signe ( r) , le reste de la
division de a ^ par b[^), et en 1808, le symbole ilbA pour désigner un multiple de A(^).
(') Gauss a ado|)lé le signe [w]j et Legendre, celui-ci E (w). Aujourd'hui celui de Gauss paraît devoir l'emporter.
(*) Jacobi et Ëisenstein ont designé par ( ( i ) ) et /, M*^^ mêmes restes,
V H fi. -v.ir.M.i/iJno > fh— i\* {h— î\*
dans le cas de puissances ( — t— | et l — « — 1 . . ...
(») Il a substitué plus takl un M gothlcjuë. t^ mfillîple d'un nombre s'indique aussi d'une manière très lisible en le riiétlàht en caràclèt-o gras.
On pciufraît ati?si mettre Q ,, U *, pour désigner le quotient et le reste de la division de a par 6.
l68 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Gauss, en 1801, indique ainsi a^b (mod. c), deux nombres a et 6 qui ne diffèrent que d'un multiple de c ; v^ — i par i ; le nombre des diviseurs de n, par 9 (n) (*), enfin la forme ax^ -h 2bxy •+- cy^ par l'abréviation [a, 6, c).
Kramp mettait a"*" pour désigner la factorielle a(a -h r)(a-h 2r) ... (a -h nr — r) ; il proposa, en 1808, le signe ni pour i.a.3.
Les conclusions qui semblent devoir se dégager de l'exposé qui précède, sont, d'une part, que l'bistoire du vocabulaire mathématique serait une chose très désirable en dehors de son intérêt linguistique, comme présentant, en quelque sorte, une histoire de la science mathématique en raccourci, mais expressive; — ensuite que la langue algébrique actuelle, malgré sa richesse, n'a pas atteint toute la perfection qu'elle pourrait avoir et que, en présence de l'extrême complication de son objet, une prudente révision de ses mots et de ses signes serait une œuvre de haute utilité.
Sur la lonction Eco. — Cette curieuse expression, dont Gauss, le premier, a fait comprendre l'importance, n'a pas encore été l'objet d'une étude systématique ; aussi peut-il être utile d'en réunir ici les propriétés fondamentales, ainsi que quelques exercices choisis.
On a
0«<w — Ea)<;i, E(0<;w'<l-4- Eu>,
(*) On trouvera des listes étendues de notations arithmétiques dans les ouvrages de Gesaro et la monographie de M. Torelli, Sulla totalita dei n«meri primi fino ad un limite assegnato (Naples, 1901).
(*) Hindenburg, Arbogast et Kramp ont donné de nombreuses notations elativcs à Vanalyse combina toirej mais ils n'ont guèro^u d'imitateurs dans oetle élude et leurs notations sont oubliées, " V*'-'?»'
arithmétique et algèbre 169
E(a — to) = a — Eco — I. E — ^ = E - ,- = E ,-, ^ ^ c 0 oc
Ew -f- /w Eu) U) <! 7 t
E"+E'!^+g+E^^+...+E'^-t%:ii)g=Eu.+(''-'X''-'). bob b a
/?A/r« w e/ a>', i7 j a (Eu) — Ew') entiers.
Dans les b premiers entiers, il y aE - multiples de a,
aE est le plus grand multiple de a inférieur à b,
Si w — Ew < - , E (nto) = /lEu).
Si a <C by on a :
('} La démonstration de ce cas fera aisément comprendre la marche à suivre en général.
On a :
^ ^l^ r? ^l* jy y. ^ a - cb a
or on peut écrire de même
o<jE--E(jE-^^)<.
d'où, en ajoutant,
Soit E /w = a; à mesure que n augmente, la valeur de l expression
/end l'ers la limite v'w .
S'e/o/i ((ue co — Eo) -^ -^ la valeur de £(210) — 2E0) est i ou o
(Gauss).
Posons
les deux sommes /{a, b) et /{2a, b) sont de même parité (id.) On a :
E \/aÇa -^ i) (â'+ 2). ..(a + 5) = a^ + 5a + 3.(0 (Goulard).
Le nombre de fois que le nombre premier p est facteur dans le pro- ' duit n ! d pouf expression
EJ; + EI;^-E^^+... (Legendre).
Le nombre des termes de la série i, 2, 3,... n non divisibles par les nombres premiers p, q, r,... est donné par la formule
■ „yE5+yEiL-yE-i+... (la.)
jLd P' ^ pq ^ pqr ^ ^
(0 Pascal a donné cette relation
On peut aussi écrire E(e ^n !)= h -j- i, (Voir Eus. Malh. 1906, p. 354).
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE ^ 7 ^
Soit a <'h ; le nombre des termes de la suite E — - — , E -,-,:..•• ^ rt + I a + 2
E . , égaux au premier est E j- — . (Berger).
On a :
Ve ''-:^-^ =2E -:^--- . (Hermile).
y E *'-±^ =y E — ?— (Césaro).
2e=| = « . (id.)
Sur les inégalités — La théorie des inégalités pourrait être davantage développée dans les éléments. Les inégalités de la forme a >» 6 ou F(a) > F (6) sont peu intéressantes; mais celles de ce genre F (x) >• a le sont presque toujours : elles fournissent une limite de la valeur delà fonction F, avec le sens de l'approximation, et inversement une fonction periiiettant de définir approximativement le nombre incommensurable a. Dans ce cas, l'habileté est de
J72 RÉCRÉATIONS MA.THÉMATIQUES
savoir choisir la fonction F, de manière à serrer l'approximation d'aussi près que possible, tout en conservant à cette fonction la simplicité désirable. Cette recherche ne laisse pas souvent que d'être délicate, le problème étant, par sa nature même, indéterminé.
Un autre genre d'inégalités importantes comprend celles de la forme /(a, k) >> F (a), où /s'approche d'autant plus de F que A* prend des valeurs de plus en plus grandes, le plus souvent celles des termes de la suite i, a, 3, 4.... ou de celle-ci 1, 2, A. 8, 16,... Telles sont les séries, les fractions continues, les fonctions récurrentes, les expressions de ce genre
La double inégalité A >» F (a) >» a permet de donner, comme approximation, la demi-somme -(A. -|- a); la limite supérieure de
l'erreur étant (A — a). Par exemple, soit - ;> X >> T; on prendra, pour la valeur de X, celle de l'une des expressions intermédiaires suivantes
ab 4- a? /ôg 2«^ a+ p
aab * \ ab* afi h- «6' «4-6*
Dans le premier cas, l'erreur est inférieure à ' ■■ "" ^"^ . Ainsi on
a:fi±:|j>idza;; changeons x en ~^^ , il viendra, si o<x< I,
La première et la troisième formules donnent les approximations
8 dz Srr + x^ . B.db i2ic -t- 4a;
et
^■±Lkx . 8±:8x
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE lyB
qui comprennent la racine cherchée, car leur produit est égal à I ziz or ; la quatrième formule fournit ensuite la relation
10 Zh Î2X -{- x^
avec une erreur inférieure à 7-7 — -r^ — . /^ . q — ; — ^\ . ou sensible-
4 (3 zb x) (8 =iz Sx H- x^)
ment wv. On peut tirer de là une formule donnant l'extraction de
la racine carrée, en changeant x en -^.
Soit encore la relation /(a, n) > F(a) > 9 (a, n), les fonctions/ et cp étant liées par une loi simple et telles que leur différence ou leur rapport tend vers une limite fixe et finie, quand n tend vers l'infini. Archimède, Huygens et Gregory ont donné de cette simple considération, de très belles applications, qui montrent combien elle peut jeter de jour sur les théories s'appuyant — ostensiblement ou non — sur l'idée de l'infini.
Il sera seulement question ici de deux inégalités très élémentaires mais fondamentales.
Théorème des deux moyennes. — Euclide a démontré géométriquement que a -f- 6 >> 2 /a5, et Eutocius, probablement d'après Archimède, que 2a -f- 6 > 3 \/a'^S. Ricci {Geometrica exercilaiio, Rome 1666), a fait voir que si x -{- y est constant, le produit
xvyi est maximum quand on a - = ^. Mac Laurin ( Treat of Flux
Edinb. 1742), a étendu ce théorème au produit œ^j'?.,. (a — x — V — ...)'*, et Cauchy (An. Alg., Paris, 1821), l'a présenté ainsi : la moyenne arithmétique de nombres positifs est plus grande que leur moyenne géométrique. J'ai donné récemment dans Mathesis, la démonstration do Ricci et diverses démonstrations du théorème de Cauchy, entre autres cinq nouvelles, dont celle qui suit.
La. somme des nombres a, 6,... l étant nulle, on a :
En effet, si la somme des k nombres a, oc^ 6,... c est nulle, on a par exemple, a > o, a •< o, d'où
Si (i) a lieu pour k — i nombres, on pourra écrire I > (i -h a H- a) (i 4- 6)...(i -h c) d'où multipliant par (2), ce qui est permis si i H- a ^ o,
i >(i -h a) (1 -H a) (i 4- 6)...(i + c), et comme i >> (i -+- a)[i — a), la relation (i) est donc générale. Changeant a, b,... l en ^, /-v,-.. q, (i) deyient
Théorème de Stolz- — Archimède a remarqué que dans la
T ) <C TT > OU que
(i H- x)^ > i -h 3a3. Huygens a démontré (De Circuli Magnihidine
inventa, Leyde, i652), que les trois points B, F, R étant en ligne
. ; j 1^ 1 ' ^' ' BF^ /3.BR-hRF\3
droite dans tordre indique, on a : ^^ > l 3~t)d~ — ) » ou que
(i 4 xy <; Ô-. Sluze {Mesolabwn, Leyde, 1668), a généralisé
ainsi le théorème d' Archimède : dans une progression arithmétique décroissante, la q^ puissance du rapport du {p -h i)" terme au premier est plus petite que la p* puissance du rapport du {p -+- qY terme au (p -h 1)° ; ce qui revient à écrire :
(i 4- pxY (i — (^xy < I
ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE 176
Jacques Bernoulli (/)e seriebiis infinitis, 1689), fait voir que si deux progressions, arithmétique et géométrique, ont leurs deux premiers fermes égaux, ceux de la seconde croissent plus rapidement qi^e c^u,x de [a première. Mac-Laurin {Treatise of Fluxions, Edinburg, 1742), a montré qu'on a :
Cauchy {Ex. d'anal, et de Phys. 1847), a étendu ce théorème de Mac-Laurin au cas de n fractionnaire positif ou négatif. Enfin Stolz (Algemeine Arithmetik, Leipzig, i885), a donné une relation qu'on peut présenter plus simplement ainsi :
(o, rationnel, et> 1, <i ^ <C -^ ) »
Ce théorème important, remis tout récemment en lumière par M. Gravelaar (Rekenkunde, t. ^, Groningen, 1907), est placé au seuil de l'analyse infinitésimale, à laquelle il peut servir d'initiation ; il peint, pour ainsi dire, la croissance de la fonction a^. Il a été utilisé par Ricci, Sluzc, Mac-Laurin, Cauchy, Schlômilch. On peut en tirer de nombreux théorèmes de maximum (voir Mathesis, 1904, p. 179)» de calcul infinitésimal (voir Pro^. mat. 1900, p. 407), ainsi qu'une théorie complète des logarithmes [Ens. math. 1906. p. 344)- En voici deux démonstrations très simples.
On a identiquement :
q{zv-i)^p{zi-i)
::^[^(gP-./-l + ...H-Z^4-Z-hl)-(p-g)^"'^^~'^-''^^~'|g2g(g-l)
Soityj ^ q. Ecrivons z ^ i ; le premier terme de l'expression entre crochets est W^ ~" 7 ®* ^^ second 5 /> ~ jf. Cette expression
est donc ^ o, et son produit par z — i, toujours positif. Le premier membre est donc lui-même positif, si de plus 2 >> o (^). De même, on a :
7 if — i) —pzi'{z^-~ l)
Selon que z^ 1 , le premier terme de l'expression entre crochets est ^ p, et le second ^ p ; cette expression est donc ^ o et son produit par z — I toujours négatif. Il en est de même du premier membre si de plus 2 > o.
Posant ï = y/i -f- oî, on retrouve (4).
Autre démonstration, q, j, k, l étant positifs eik-{-l'^i,q-^ jx ^ Oy l '^ k, q -\- kx — X > o, 9 -f- /a: — x >• o, on a ;
q — jx q -^ kx — X q -h Ix — x'
Faisant k = i^ 2, S,.., q et multipliant, chose permise si tous les facteurs sont positifs, c'est-à-dire si on a ces nouvelles conditions
q — j'aî -h 35 >» o, q -\- kx ";> Oy 9 -h /a? >> o, on trouve :
Faisant maintenant j = i, 2, 3,... p; l == q -\- i, q -\- 2,... />, il vient :
\q —px/ ^^ ^ ' ^ ^ -^ \q -^ qxj
/ ^ q—px':>0 ou ç —px -+-x>o\
\P -^ "' q -\' px^O OU q -\~ px -^ x^o)
{*) Cette première partie de la dcmonslratîon est de Cauchy.
Ces limitations reviennent à — ^^ <^ x <i^ , et on peut donc
écrire :
I — ~ ~ ce
Application. I. Selon que le nombre positif t est -^ i, la valeur de t^ croit ou décroît en même temps que croît le nombre positif x, entier ou fractionnaire. En effet posons < = i di a et soit /c >» i , on aura
. ±(/c- i)x> j^^,^^^ > J' =(i ±«)(»-')'> I ±(fe- l)<r.
II. X tendant vers zéro, on a : lim. <^ = i. Conséquence de (4).
III. Si les nombres commensurables a, 6, c,... a, p, y>--« tendent vers une limite incommensurable x, les premiers en augmentant, les seconds en diminuant, les puissances /", t ,... t^, F,... tendront également vers une même limite, qu'on désignera par le symbole F, et cette limite sera indépendante du mode de croissance ou de décroissance des nombres donnés. Les rapports
'** ,a-(x ' fb—^
tendent en effet vers l'unité, quel que soit ce mode^ d'après I et II.
IV. Si X et x' désignent deux nombres incommensurables définis
(*) On a une troisième dcmonstration indirecte, mais plus simple en remarquant que si les n + ç facteurs du produit (i + axj" (i + ^x)i sont positifs, ce produit est inférieur à la (n + g)* puissance de leur moyenne
arithmétique, i H ~-^ ■ . On n'a qu'à faire :
t»« = i,p = — ^»n = p, et a°a = o, p = ^,n=p — g. Récréations mkthématique), III. ta
comme dans III, on a : tH^' = P+^', ce qui résulte de ce que les rapports
FF' FJ'""
tendent vers l'unité en même temps que vers la limite -^rp-.
Le calcul des puissances fractionnaires s'étend donc aux e]çpressions symboliques de forme F. La relation (4) a donc lieu pour a quelconque mais plus grand que i.
V, Si le nombre positif quelconque m tend vers 00 , on a :
Faisant, dans (4), x = —, prenant les inverses, multipliant par
et élevant à la puissance m, on trouve :
I H j et ( I H j tendent à acquérir les mêmes valeurs. Mais la limite de ( i H J est fixe et finie (*) ; en l'appelant
e, on peut ainsi écrire :
(6) lim(i + «)"■=..«
(*) En effet, d'après (4) on a pour a > i
(i\a I,. / l\ma / i\m
I H > I + - , d'où I + - > I + - )
m%/ 'm' \ ' ma/ \ m/
ce qui fait voir que la valeur de ( i + ~) augmente toujours jusqu'à
ARITHMETIQUE ET ALGEBRE I79
VI. Posons e'^ = a, e^ = p, et écrivons La = a, L[i = 6 ; on aura :
(7) L(ap) = La + LP, Li=o. l%^=iiU,
Il désignant un nombre quelconque, positif ou négatif, commensurable ou non.
VII. Le cacul de La peut se traiter à l'aide des considérations suivantes. De (6) on tire :
(8) limjiH — -j = cty d'où La = lim n (^a — i).
