VIII. h tendant vers zéro, on a

(9) Iim —, = I , lim -r = e«.

On a, en effet,

r::rh>{'-^n) -'>^'

d'où, h la limite

Sur les identités. — Leibniz a dit que « le fondement des

l'infini, ou jusqu'à une limite finie. Or c'est celte dernière hypothèse qui est la vraie. Car si on fait k = i, 2, 3,... n dans la relation suivante, où k> G,

ra + fe 4- I i } ^ an -f /c -f- I an — fc + a

il vient, après multiplication et réduction,

l8o RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

mathématiques est le principe de la contradiction et de l'identité, w Et en effet, il semble bien que toute la mathématique se réduit à <( exprimer une chose en deux façons » comme dit Descartes. On peut conclure de ceci qu'on ne saurait habituer trop tôt, à la théorie des identités, l'esprit des débutants. J'ai donné sur ce sujet en 1907, dans Malhesis, une étude élémentaire dont voici un extrait.

La source la plus féconde est l'utilisation d'identités évidentes ou déjà connues, au moyen de simples substitutions. Ainsi : i** la suivante

donne, en faisant

puis

l'importante identité de Fontaine (1770), résultant de la multiplication de deux déterminants de quatre éléments et dont la formule de Fibonacci est un cas particulier.

2" L'identité d'Euler

en fournit beaucoup d'autres de Nicole, Sterne, Eudoxe, Ed. Lucas, Jacques BernouUi, Brouncker, Laurent, Pascal, Stirling, etc. On citera seulement les substitutions suivantes :

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE l8l

3* De l'identité

I — a:'* I — a;"^ i — a?"'"^ i — x^^"-^^ i — x*^"'^ I — X I — x" l~^'x^ '*■ I ajaft..^ " "ï"^ x~

On tire, pour a == i, 6 = a, c = 3,... l = n,

[i-{-x){i-{-x^+x^)(i-hx^-\-x^^-hx'^){i-\-x^^~hx^^-i-x''^-\-x^^)... = l -h X -h x^ -^ x^ -h x^ -h x^ +...

ce qui fait voir qu'on peut peser avec des poids de i g., a g., 4 g-, 6 g., 12 g.,... n(nl) g. un nombre quelconque de grammes, jusqu'à

14-6+...-+- -^"-^— ^g- Pour a = b = c =...== n, on verra qu'en posant

Yix) = (i dz x'^^-0 (i zh x'^"')..,(i ± x'^'), m = L^

on a :

l82 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

d'où l'expression du produit

En attribuant diverses valeurs aux lettres n, k, on arrive à des identités qu'indiquent ces égalités

Y{x) r= I — rr, f{x) = i -{- x -\- x^

F (rc) = I -h X -\- x^ f{x) = i — X -h x^

et dont les trois premières sont d'Euler et de Catalan.

4° Posant /cF(cc^) — Y{x)= f{x)^ on obtiendra aisément une identité donnant la somme de la suite

F(x) +/(x) H- kj{x'-) + fcy(x') + fc'/(x«) +... Soit F {x) = -; suivant qu'on a A: =: i ou /c = 2, il vient :

-. V (a ~{- b)x -/ . ax — b

Le cas de a = o, 6 = I donne deux séries sommées par Catalan. On en a d'autres en posant « = 6=1; a=i, 6 = o; a = 2,

On pourra étudier les relations suivantes :

kF(x 4- i) — F (a;) =f{x), kF [ax) — F {x) =f{x), etc.

II. Ce théorème, énoncé explicitement pour la première fois, par Lagrâuge ; si la fonction entière F (x) s^ annule pour x = a, elle est divisible par x — a, et réciproquement, sert surtout à vérifier une identité proposée.

On a aussi de lui le suivant : Si une fonction entière du degré n

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE

prend la même valeur pour plus de n valeurs de la variable, elle est constante. Ainsi la fonction suivante de Leibniz

{x -\- b){x -hj) {x -I- g) (x -f- c) (oc -{- aH^c-i-J)) (a — b) (a - cj "^ (6 — ay{b — c) "^ (c—'a) (c — b)

étant du degré 2 et gardant la même valeur i , pour les trois valeurs — a, — b, — c, de x, sa valeur est constante et égale à i.

III. Si une fonction change de signe en gardant la même valeur absolue quand on permute deux quelconques a,b,dé$ lettres qui la composent, elle est divisible par a — b (Gauchy). Ainsi la fonction a2 (6 — c) H- b^{a — c)-h c^{a — b) est divisible par a — b, par b — c, par c — a ; on a donc cette identité donnée géométriquement par Stewart (1763) :

Les fonctions (a — 6)=» -h (6 — c)' -h (c — af et — 36c (6 — c)

— 3ac(c — a) — 3a6(a — 6) sont dans le même cas et ont même somme. Quant à la fonction a^ (6 — c) -h 6' (c — a) -h c^ (a — b), qui est dans le cas du théorème, elle est également divisible par

— (a — 6) (6 — c) (c — a), mais elle a en outre un autre diviseur P, sans quoi elle ne serait pas du quatrième degré. P est évidemment symétrique en a, 6, c et ne peut être que a -+- b -\- c.

IV. L'exemple suivant enseignera encore un moyen de déduire dé nouvelles identités d'autres déjà connues. Dans l'identité de Ste- ^vart, changeons successivement par permutations tournantes, a, 6, c en 6, c, d, en c, d, a, et d^ a, b\ puis multiplions respectivement par d^, — a*, 6^ et — c^, les quatre relations résultantes ; il viendra, en ajoutant, une identité trouvée par Chasles et donnée plus généralement par Euler (voir plus loin).

V. L'identité a^ — ^^ = (a -\~ P) (a — p) est souvent employée. 1° On a : Aï» -h B^ = (A -t- B)» — 2AB, d'où, pour A = a\ et

(a) a* -h 46* = (a2 4- 2b' -h 2ab) (a^ -h 26^ — aa6)

l84 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

d'où on déduit, avec Sophie Germain, qu.' aucun nombre a* -h 4, saufs, n^ est premier.

On a aussi en particulier cette identité d'Euler

qui lui a servi à démontrer cette proposition de Goldbach : aucun nombre 46* -H i n'est premier,

Leibniz avait donné antérieurement un autre cas particulier de (a), celui où 6 = v^2a:. Catalan l'a généralisé ainsi :

a^ 4- 2/ca2 + /2 ^ (^2 ^. a \/2(l '-^kj + /) (a^ - a \/2{l — k) 4- l),

et Le Lasseur a signalé le cas remarquable où on fait, dans (^), 6 = 2^, et en a tiré la décomposition immédiate en facteurs du nombre 2^^ 4- i, que Landry n'avait pu effectuer qu'avec les plus grandes peines à l'aide des méthodes générales. Catalan a de même trouvé la relation

2° Changeons le produit {kx^ 4- Bx^ 4- Ca; -h D) (kx^ — Bx^ 4 Gœ — D) en une différence de deux carrés et identifions-le à x^ — I ; on trouvera A = D = i, 2C — B"^ = o, C^ — aB = o, B = G = 2. L'identité ainsi obtenue est due à A. Boutin.

3* On a identiquement (i 4- x 4- x'^y — 2ic (i 4- x)* = £ — x^ 4- ic*. Pour X = 20^, on aura la décomposition de i — 4«* — i6a® en deux facteurs. En particulier, si a = 2", on obtiendra une identité numérique donnée par Ed. Lucas.

VI. On se sert aussi beaucoup de la méthode des coefficients indéterminés. Voici quelques exemples très simples.

i*^ Soit à développer -, t-t vx — en une suite de la forme

r4-... Avec Euler, on multipliera parce — aies

ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE l85

deux membres de l'égalité et on fera x = a, ce qui donnera A, puis de même B,...

2° Posons, d'après Stirling,

F(/i) = (i H- a?) (i -[- 2x)...{i -\-nx — x) = i -+• A„aj-i- B^œ^-i-...

Il viendra, en changeant x en x -\~ i,

F(/i-h i) = (i -\-nx)¥{n),

d'où, en développant et identifiant,

An^i =An-bn, B„^j = B„ 4- /iA„,...

Stirling décompose de même x^ en une suite de la forme

Aa; -\-Bx{x — i) -h Cx{x — i) (x — 2) 4-...

et donne beaucoup d'autres sommations très remarquables. 3" Avec Euler, posons

(i -hax){i -h a^x) (i + a^x) ... = i -+- Aa; -+- Bx^ + Cx' + ...

Changeons x en av dans le second membre et égalons le résultat à ce même second membre multiplié par (i 4- ax) ; il viendra sucsivement les expressions de A, B, G,... Il agit de même sur

(i — ax) (i — a^x)...

VII. Voici une autre théorie due à Euler et basée sur cette remarque que deux quantités de la forme x -h ^y ne peuvent être égales que si les parties rationnelles sont égales, de même que les parties irrationnelles.

Si F désigne une fonction entière, la relation F (a 4- ^h) = A -f- B V^6 entraîne cette autre F (a — v^&) = A — B \/b. On peut ainsi poser :

(a ± V^6)" = A„ d: B„ \/h d'où (a» — 6»)" = X\ - ^B«n

l86 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Les expressions A„, B;, se calculent au moyen des récurrences suivantes, dues à Euler,

A„+i = akn + 6B,j, B„^j = A„ + aB„ A„4.^ = iakn — {a} — h) A„i, B„+j = aaB^ — {a^ — h) B„i

Pour obtenir l'expression qui précède dans le cas d'une puissance de degré très élevé, on se servira préférablement des relations de Genocchi

A2n = A „ -h 6B„, B^n = 2A;ii3rt.

VIII. La considération des racines des équations conduit à de nombreuses identités.

1° Soient a et ^ les racines de l'équation x^ — aj; H- 6 = o ; en posant

\ = xx' — hyy', Y = xy' -h yx' + ayy'

et remarquant que cl^ = ay- — h, on aura

[x 4- 3£j) {x' 4- a/)= X H- aY.

Gomme (rr + «j) (ac -f- (3j) = a:^ + axj + 6/^, on conclura que le produit de deux facteurs de la forme x^ H- axy -H by^ est de même forme (Lagrange). Euler avait antérieurement fait voir la même chose pour le cas de a = o. Voir p. i4i, les formules (8) et

2^ Ed. Lucas a tiré d'importantes conséquences arithmétiques de la considération des fonctions

U„ = ^^-^-'^ , V„ = a» + fc", A = P^ - 4Q,

a et 6 désignant les racines de l'équation x"^ — Px H- Q = o.

IX. Euler a montré le rôle que jouent les imaginaires dans la découverte d'identités démontrées jusque là a posteriori. Ainsi, de l'identité

a^ H- 62 ^ (a 4- bi) (a — bi),

on tire, en quarrant, cette relation de Platon, cas particulier de celle de Fibonacci,

De même, faisant de deux manières, le calcul du produit

(a -+- bi) (a àz pf) (a — H) (a =p pi)

on retrouve la formule de Fibonacci. On retrouve d'autres identités d'Euler en opérant de même sur les expressions (a^ -h 6^)^, (a^ 4- 6^)*, (a^ 4- /f6-'')(a2 H- /c32),...

Hermite a retrouvé) par des moyens semblables, la formule (9) de la p. i4i.

X. Bien que les identités s'appliquent à des nombres quelconques, elles sont souvent utilisées dans la théorie des nombres, comme fournissant des solutions élémentaires sur la forme de certains nombres. 11 suffira de rappeler ici, — outre diverses relations citées dans le cours des présentes notes, — les propositions suivantes, aisées du reste à démontrer.

Tout nombre premier ne peut être qu une fois la différence de deux carrés (Fermât).

Si k est positif, an nombre premier ne peut être qu^une fois de la forme x^ + ky^ (Euler). ^,,..^ ^,-.j^ ,

Tout nombre ka^ -\- Ib^ divise un certain nombre de la forme x"^ H- kly'^ (id.) Ainsi tout nombre de la forme a^ -\- i en divise une infinité d'autres de la même forme, et en clTet on a :

(a« + i) [{ka 4- 1)2 4- /c2] = [ka'' ^a-V-kf-^i.

Le produit de facteurs compris sous les formes ax' 4- by- et x* 4- aby^ est de la première ou de la deuxième forme selon que le nombre des facteurs de la seconde est pair ou impair (id.)

Tout diviseur commun aux nombres a^ — /c62 ^'2 — k'b''\... divise un certain nombre de la forme x^ — kk'..,y^ (Lagrangc).

l88 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES •

Si a* -h kb^ est divisible par le nombre premier oc^ 4- k^^^ le quotient est de même forme (Euler).

Toute somme de trois carrés peut se mettre sous la forme 7^{x^ -+- 2J*

-H Sz^) (Goldbach). Euler démontre cette proposition en écrivant X = 2a -j- b — c, y = a — 6-hc, z = 6-hc.

On résout l'équation x^ -h ay^ = 2^ + bw^ en posant :

x = bcL^ — «^2 {. ^2^ ^ 2^^^ 2; = fea2 a?2 — Y^ w = 20L-^ (Euler).

Si 8a 4- 4 est la somme de quatre carrés impairs, on peut en déduire la décomposition de lia -{- 2 et de 2a -\- i en sommes de quatre carrés (Euler). C'est une conséquence de l'identité (2a 4- i)^ + (2P H- i)2 = 2 (a H- p -}- i)2 4 a (a — ^f, et de ce que Aa 4- 2 ne peut être composé que de deux carrés pairs et de deux carrés impairs (id.)

Si 3a, 56, 7c sont des sommes de quatre carrés, il en est de même de a, de b et de c (Euler).

Soit a la somme des entiers f, g, h, j, et b, celle de leurs carrés, i\b — a^ est la somme des carrés des trois nombres f -{- g — h — j, /— g -h h -^j.f^g — h-^j (Cauchy).

Sur diverses énumérations. — De tout temps, les hommes ont trouvé utile et intéressant d'effectuer le dénombrement des objets en leur possession. Ils les classaient par tas d'abord quelconques, puis égaux ; ensuite par groupes d'un nombre fixe, cinq ou dix, et chez les savants, douze, vingt ou soixante. Leur conception du nombre s'élargissant, ils imaginèrent les groupes de groupes : ils aboutirent ainsi à la notion des progressions arithmétique et géométrique.

L'idée plus abstraite des combinaisons ne vint que beaucoup plus tard. Quoiqu'on en voie des traces chez les Anciens, ce n'est que chez les Indiens qu'on voit leur appliquer des méthodes de calcul exactes. C'est Pascal qui, dans le but d'établir les règles de certains

^ ARITHMÉTIQUE ET ALOèBRE 189

calculs relatifs aux probabilités, en a le premier donné des définitions nettes et en a démontré les formules.

Les propriétés des puissances et celles des combinaisons forment la base habituelle des énumérations.

Les nombres abstraits eussent fourni un nombre très limité de problèmes de ce genre, si les questions de probabilités n'étaient venues offrir à la sagacité des géomètres, des énumérations concrètes souvent très délicates à traiter. Les questions qui vont suivre ont été choisies de manière à faire comprendre rapidement le but de ces importantes théories aux commençants qui ne les connaissent pas.

Le nombre 2^^^^ se termine à droite par les chiffres 76. Le nombre 1 000 1 se termine par 2^9 zéros (de Rocquigny).

Dans un produit de n facteurs, on peut, de 2^ — i manières changer les signes les facteurs sans changer celui du produit (N. A. i85i).

Avec cinq dés» combien peut-on amener de coups différents^ (Montmort).

Combien y a-t-il de termes dans le développement de (a -{- b -^ .., 4- /j»? (Kramp).

De combien de manières peat-on décomposer un produit de Un fac" leurs en k produits de n facteurs^ (id.)

De combien de manières peut-on faire la multiplication de nfactéhrs^ (Catalan).

D'un paquet de n jetons on ôte le premier^ on met le second sous le paquet^ on ôte le troisième, on met le quatrième sous le paquet^ et ainsi de suite. Dans quel ordre les jetons ont-ils été tirés ? (Ribi).

Il y a dérangement ou inversion dans une permutation des n premiers nombres entiers quand un de ces nombres est suivi d*un autre

plus petit. Le nombre total des inversions est égal à - n\ C„,j (Bézout).

Parmi les combinaisons n à n de p lettres, il y en a C^,„ Cj,r,n-q qui comprennent q des lettres d'un groupe désigné de r lettres^ et

Cr,„^ Cp^r,n-k Çoî CM Comprennent au moins q (Liagre).

Dans une certaine permutation des n premiers nombres^ on connaît le

nombre des nombres supérieurs à i et placés avant i, celui des nombres supérieurs à 2 et placés avant 2, et ainsi de suite. Quelle est cette permutation^ (Brun).

Dans le développement du produit (l — a) (i — b) (i — c)..., quel est le signe du n' terme^ (Catalan).

On jette deux dés. Les probabilités d'amener les points 12, 11, 10,

9, o, 7 sont respectivement ^a, -^, — , -, 0?^, /..

Une urne renferme N boules dont n blanches, p noires, q rouges. La

probabilitç d'amener au premier tirage une boule blanche est ^ , et celle

a en amener une noire ou une rouge, ^-—t^—- .

k urnes renferment chacune p boules blanches et q noires ; / autres, chacune r blanches et s noires. La probabilité d'amener une boule

blanche, en prenant au hasard dans une urne, est jf-^ — j^r- A^- — ^

(Lacroix). ^ iVA

n urnes renferment chacune p boules blanches et q noires. La probabilité de ne tirer que des blanches en tirant une boule de chaque urne

est (-P—)\

\p -h ql * .'ivHVt^t^ji

Paradoxe de d'Alembert. La probabilité d'amener face au moins une

fois en deux jets d'une pièce de monnaie est - . En général, la proba-

bilité est -^~—.,

La probabilité d'amener, en un seul jet de six dés, le coup i, 2, 3, 4, 5, 6 est ^. (Monlmort).

On a six dés marqués chacun sur une face des chiffres i, 2, 3, 4, 5, 6. Quelle est la probabilité d^ amener en n coups : 1° toute la série, 2° toutes faces blanches^ (Montucla).

Problème de Méré. La probabilité d'amener avec un dé au moins

une fois un point donné en n jets étant 1 — Ia] , le nombre de jets

ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE igi

permeitani de parier de V obtenir est n = . ~o i — c î (^^ même le

nombre de jets qui peut faire parier équitablement pour V arrivée d'un

double donné est égal à -. ^a ] „ uf • ^^ ^^ '^ moyen de connaître

en combien de coups on peut espérer de voir les six faces avec un seul dé, ou les six doubles avec deux dés (Moivre).

On jette n fois en Vair une pièce de monnaie. La probabilité que les

piles et les faces alterneront est l-j ; celle que les coups se succéderont

dans un ordre déterminé est l-\ .

Problème des parties. Partager Venjeu entre deux joueurs à qui il manque, le premier p parties ei le second q parties, pour avoir gagné (Pascal).

On a un tas de n objets dont on prend une certaine quantité au

hasard : la probabilité qu'on en a pris un nombre impair est —

(Bertrand, de Genève).

La probabilité d'un événement est a. En p épreuves, la probabilité quHl se produira q fois, dans un ordre déterminé es/a = aî(i — oc)p-9; celle qu'il se produira q fois dans un ordre quelconque esi A = Gy^y,a;

celle quil se produira au moins q fois est ^ A; celle qu'il se prO'

duira au moins une fois est i — (i — cf.y (Jacques BernouUi). La probabilité d'obtenir avec un dé n fois de suite un même point est

(jtj ; de même celle d'obtenir avec deux dés nfois de suite le point 7 ;

ou, avec trois dés, nfois de suite le point 5; ou, avec six dés, nfois de suite le point 7 (Montmort).

En jetant n dés au hasard, on a autant de chances d'obtenir un total de points supérieur à 7n -j- 3 qu'on en a d'en obtenir un qui soit inférieur (id.) Montmort a donné la table des coups de un h neuf dés et celle des coups simples, doubles, etc. ; il s'appuie sur la tliéorie des combinaisons avec répétitions. Moivre a repris la môme recherche,

en y appliquant la considération du développement de la puissance (a + a2 4 «3 + a* 4- a^ H- a«)".

La probabilité d'obtenir une fois unique un point donné par n jets

d^un dé est — ^^f- (Moivre).

Une urne contient p boules, dont q blanches et le reste noires. On en

tire k au hasard : la probabilité quelles sont toutes blanches est j^ . La

..ce

probabilité d^ amener k boules blanches puis l noires est — *^— ?^?^'. Pour

k= I, 2, 3,... k -\- l — I, on a une suite de probabilités dont la somme doit être l'unité, puisque l'une des hypothèses doit forcément se réaliser. On a ainsi une démonstration du théorème de Vandermonde (Gournot).

On ak billets d'une loterie qui en comprend p ; chaque tirage est de

q billets. La probabilité qu'il en sortira r est rfci*;3--=r^*'r (Euler).

Une première urne contient une boule blanche et p noires; une deuxième^ une blanche et q noires; une troisième, une blanche et r noires; ...On tire une boule de la première : si elle nest pas blanche, on en tire une de la seconde ; si celle-ci n'est pas blanche, on en tire une de la troisième, etc., jusqu^à ce quon en trouve une blanche. Quelle' probabilité a-t-on de trouver une boule blanche? (H. Laurent).

n personnes sont assises autour d'une table : quelle probabilité y a-til : V que deux amis sont à côté Vun de l'autre ? (Garnier) ; 2" que lune de ces n personnes est entre deux de ses amis? (Liagre).

On tire successivementf sans les remettre, n jetons marqués i, 2, 3, ... 71 ; la chance R„ qu'on a de retirer au moins un numéro au rang qu'il occupe dans le tirage est déterminé par les relations

(Montmort),

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE îgS

Le nombre des combinaisons de n objets dont k ne sont pas à leur place primitive est

"'(■-rr + Tf--) (Laplace).

En particulier, entre les P„ = n ! permutations et les Q„ de cellesci oà aucune nest à sa place, on a les relations symboliques suivantes :

P" = (Q + i)n^ qn =. (P - i)n (j. Neubcrg). Q„ est également le coefficient de a^a.^...an dans le produit

(«2 + «3 -^...+ an) («i H- Oj +...+ «„)•••(«! +«2 +--.H- «n-i)

(Koeliler).

On a un tas de jetons marqués i, 2, 3,... n; on en tire successive^ ment k en les remettant à mesure : la probabilité quun numéro est sorti est

et celle que les n numéros le sont tous est