I - C„„(i - ^y -4- C„,3(i - ^)* -... (J. Bertrand

Il peut arriver que le nombre des combinaisons favorables à un certain événement, quoiqu'infmi, soit dans un rapport fini avec le nombre également infini des combinaisons possibles : la probabilité peut alors se calculer. Il suffira de citer les quelques questions suivantes :

Quelles sont les probabilités quune pièce de monnaie, tombant sur un carrelage triangulaire, carrê^... rencontre une des divisions de ce car' relage? (Buflbn).

Quelle est la probabilité qu^une baguette tombant sur un plan divisé par des parallèles éqaidistantes, rencontre Vune de celles-ci? (id.) Réorcalions mathématiques, III. i3

ig/j kEGRÉAïlQNS MATHÉMA.T1QUES

Il y a en moyenne 6i contre 89 à parier que deux nombres quelconques sont premiers entre eux (Gesàro). Legendre, Gauss, Lejeune- Dirichlet, Liouville, Berger, Gesàro ont donné un grand nombre de propositions de ce genre (*).

Cette note sera terminée par l'énoncé de quatre questions, en apparence très simples,et qui cependant n'ont pas encore été résolues.

Quel est le minimum des opérations à effectuer pour élever un nombre donné à la n" puissance^ (Dellac). Question identique sm problème de Gergonne (t. I, p. 118).

Combien y a-t-il de manières de placer n carrés égaux se touchant par un, deux ou trois côtés^ (Gayley).

De combien de manières peut-on replier une bande ou une feuille de timbres-poste, de manière à ce qu'ils soient tous recouverts par Vun d'eux^ (Lemoine).

n hommes et n femmes sont placés alternativement autour d'une table : quelle est la probabilité qn aucun homme nest à côté de sa femme ? (Ed. Lucas).

On trouvera, dans la Th. des n. de ce dernier savant, un grand nombre de questions relatives aux dénombrements, et traitées par les méthodes les plus variées.

Sur les approximations indéfinies. — M. A. Hermann a reproduit, t. II, p. 35 1, une intéressante application de la méthode d'approximations successives au calcul des racines des équations cu-

(*) Par exemple, on a en moyenne

S/a ^^ 2cp(a:) ^

V" = n (Lej.^Dir.) ot -~r- = ^ (Perott)

(Voir Berger, Application de Id fonction giamma (Upsal, 1880); Gesàro, Sur div. quest. arith. (Bruxelles, i883); id. Excurs. arith. à V infini {9 9x\s. i885); Berger, Rech. sur les val, moyennes (Upsal, 1887); Torelli, op. cit.)

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE igS .

biques. L'idée de cette méthode, dite de Newton, est due à Archimède, qui l'a le premier employée dans son calcul du nombre - ; ce calcul d'Archimède a du reste reçu de nombreux perfectionnements, comme on le verra plus loin, de Snellius, d'Huygens, de Descartes, de Gregory, de Montucla, de Legendre et de Schwab.

L'extraction de la racine carrée, chez Théon, repose sur des idées analogues.

Chuquet (1. cit.) a enseigné à trouver la même racine au moyen de sa règle des moyens, appelée règle de médiacion par Estienne delà Roche (Arismetiqae, Lyon 1620) et aujourd'hui règle des médiantes{^).

On voit, dans Buteon (Opéra geometrica, Lyon, i554). cette méthode d'approximation de l'insertion de deux moyennes géométri* ques entre les longueurs a et 6 : construire un premier parallélipipède dont les dimensions sont a, a, 6 ; puis, par les procédés de la géométrie élémentaire, un second parallélipipède dont les dimensions sont a^ = s/ah, a^, h^r= a\ puis un troisième, dont les dimensions sont «2 = ^afi^^ a^, fej, = a^ ; et ainsi de suite. Tous ces solides ont même volume, et leurs dimensions tendent vers une limite commune, qui est yà^b ,

L'une des méthodes que propose Neper pour le calcul du logarithme vulgaire du nombre donné a revient à moyenner géométriquement deux limites de a, et arithmétiquement leurs logarithmes. Partant des deux puissances de 10 les plus voisines de a, on arrive ainsi, par des moyennes convenablement choisies, à resserrer de plus en plus le nombre a entre deux limites dont les logarithmes sont connus.

Briggs, entre autres moyens de calculer les logarithmes, a montré

(') On sait qu'on appelle médiante des deu* fractions -, f , la fraction

— r~^. Voir pour la mélhodç de Chuquet, En$. Math. 1906, p. 4^9.

comment on les obtient en utilisant la formule n^y/a — i), où n prend successivement les valeurs i, 2, 4, 8, 16...

G. de St- Vincent [Opus geom. Anvers, 1647), ^ montré comment, à la limite, on arrivait à la trisection d'un arc AB, en en prenant le milieu G ; puis le milieu D, de l'arc AG ; puis le milieu E, de l'arc DG ; puis le milieu F, de l'arc DE ; puis le milieu G, de l'arc FE, etc.

James Gregory (Vera circali et hyp. quad. Padoue, i6('8), fait voir que les termes des deux séries

A, B, C = \/AB, D = v/BG,...

tendent vers les limites — 0 — et /AB^. 11 montre aussi comment,

en prenant alternativement les moyennes géométriques et harmoniques de deux nombres donnés, puis de ces mêmes moyennes^ on arrive au logarithme d'un nombre, ou à l'arc correspondant à un sinus déterminés.

La méthode de Newton a été divulguée dans VAlgebra, de Wallis (Oxford i685). Lagny, Rolle et d'autres en ont donné des applications élémentaires au cas du troisième degré.

Dans les Acta erad. de 1689, Jacques Bernoulli calcule, par des constructions géométriques successives, les racines des équations x^ = zç: apx zp a^q, x^ = «^6, x^ = a^b, x'' = a^b. Gcs constructions, qu'il a expliquées plus tard, reviennent à la considération des expressions telles que

\/a\/a\/a..., \/ a ^ [/a -h- \/a +..., \ a \/ a \/b s/a... , sjp i s/f'-^s/f^Z L'Hospital (Secl, con. Paris, 1707) a reproduit cette élégante

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE I97

méthode sous une forme plus correcte, qu'on peut présenter ainsi : a désignant une première approximation de la racine de Véquation

x^ q= 2px = ry, posons f(x) = /qp p H- \^p^ -h qx, les valeurs des expressions b =f(d)f c =f{b), d =f(c)f... tendent {^) vers la valeur de x.

Il convient de citer ici la méthode de D. Bernoulli, pour le calcul des racines des équations, basée sur la considération des séries récurrentes. Euler l'a mise dans tout son jour dans son Introd. in anal. inf. et elle a été amenée à son entier perfectionnement par Gracf [Die Auflôsung der hôheren numerischen Gleicliungen, Zurich,

Legendre (Suppl. à la th. des n. Paris, 1816), appelle fonction omale une fonction telle qu'un polynôme à coefficients entiers, qui croît ou décroît constamment quand la variable croît de o à 00 . Si a est la limite supérieure des racines de l'équation x" -\~ fx^~^ -f--. — ax"-^ — ...-i-...= o, faisons passer tous les termes négatifs dans le second membre et considérons la fonction omale

les termes de la suite a, a' = ^//(a), a" =2 v// (<*')•• Rendent vers la valeur de la plus grande racine.

Sarrus (Ann. de Gergonne, 1820), a traité la résolution de l'équation cubique, en faisant d'abord remarquer qu'on peut toujours la ramener à l'une des formes y^ — 3/)y liz ^ = o, j^ -h 3pj zhq = o. Posant, dans le premier cas, j = db 20; v/jo , et dans le second, y = di 2 \/p[x^ — i) , on la ramènera à la forme unique ^x^ — Sx ==■ a. Si on écrit :

Xk = 2a:\i — I, 2a\ = i -h fl/;i,

(*) De manière à n'en différer qu'aussi peu qu'on veut,

198 RÉCRÉATTOIKS MATHÉMATIQUES

on aura, en général,

kx^k — 307/, == a,,, -^——~ < 7 •

Les termes a^, «g,.., se rapprochent donc rapidement de la valeur I . Or comme on a identiquement

il est donc facile de mettre la racine sous forme de fraction continue. Sarrus tire de là une méthode de trisection de l'angle par approximations successives extrêmement rapides.

Cauchy (Anal. Alg.) a modifié ainsi l'élégante méthode de Legendre : soient ^ (x) et — ^ (x) l'ensemble des termes positifs et celui des termes négatifs du polynôme F (x) ; si F (x) = o a des racines réelles entre a et b, les termes des deux suites

convergent vers la plus petite et la plus grande des racines comprises dans les limites indiquées. On applique cette théorie en ajoutant à chacun des polynômes 'f {x) et '\i {x), une expression telle que ç devienne de la forme A (rr -j- B)" -\- G.

Cauchy a donné aussi, en i836, cet autre procédé encore plus élémentaire, mais peu rapide : soient ^(rr) et ']>{x) V ensemble des termes positifs et celui des termes négatifs du quotient de F (x) -7- F (a) par x — a; si on pose

yw— F(x) — F(6)'

les termes de la suite a' =/(a), a" =f(a')..., tendent vers la plus petite racine comprise entre a et b.

Les séries, les produits infinis, les intégrales définies, le calcul des

ARITHMÉTIQUE ET ALGEBRE IQQ

logarithmes (*) et des fonctions trigonométriques et hyperboliques, certaines approximations géométriques dont il sera parlé plus loin, etc. , pourraient apporter de nouvelles contributions à la présente étude ; mais ce qui en a été dit suffit pour montrer l'importance des théories qui y sont rappelées.

Quelques amusettes. — Dans un bal où ily avait 42 personnes^ une dame a dansé avec 7 cavaliers, une seconde avec 8, une troisième avec 9, et ainsi de suite jusqu'à la dernière, qui a dansé avec tous. Combien de danseurs ? Combien de danseuses^ La première a dansé avec 64-1, la deuxième avec 6 -h 2,... la ic^ avec 6 + rr; d'où ic 4- (6 4- ic) = 42 et x = 18.

Pour creuser trois puits de même section a et de profondeurs h, h', h", on a payé respectivement les sommes s, s', s". Combien paiera-t-on pour un puits semblable de profondeur h'"^ Soient x la dépense nécessitée pour l'installation des appareils destinés à l'extraction des terres ; j, le prix du piochage de i mètre cube de terre ; z, le prix du montage de i mètre cube de terre à i mètre de hauteur. La

hauteur moyenne d'élévation des terres du premier puits est - h, ce

qui fait, pour la dépense de ce même puits